2023-2024学年人教A版必修第二册 7-1-2 复数的几何意义 学案.docx

7.1.2复数的几何意义新课程标准解读核心素养1 .通过实例了解复平面的点与复数一一对应关系直观想象2 .通过复平面，把复数与向量建立起紧密的联系直观想象3 .通过向量的模表示复数的模数学运算知识梳理读教材基础落实高效学习UM情境导入.我们知道，实数与数轴上的点一一对应，也就是说，数轴可以看成实数的一个几何模型.问题（1）你能否为复数找一个几何模型？（2）怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系？新知初探。知识点一复数与复平面内点的关系1 .建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，X轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2 .复数集C中的数与复平面内的点建立了一一对应关系，即复数z=+8i<一一对应A复平面内的点Z（,b）,这是复数的一种几何意义.提醒复数z=。+历（,Z>R）对应的点是（出/?）,而不是（,b）.知识点二复数与复平面内向量的关系如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=。+8i,连接OZ,显然向量被由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量次唯一确定.因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系（实数0与零向量对应），即复数z=+bi平面向量透.为了方便起见，我们常把复数z=+bi说成点Z或说成向量被，并且规定，相等的向量表示同一个复数.知识点三复数的模1.定义：向量旗的模叫做复数z="+历的模或绝对值.2 .记法：复数z=+力i的模记作IZl或I+川I.3 .公式：IZl=Ia-bI=J2÷b2（，R）.知识点四共枕复数1 .定义:当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共规复数.虚部不等于O的两个共腕复数也叫做共聊虚数.2 .表示：复数Z的共辗复数用2表示，即如果z=+bi,那么Z=af.提醒（1）互为共轲的两个复数在复平面内对应的点关于实轴对称；（2）IzI=IzI.回做一做1 .复数一l+i在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：B复数一1+i在复平面内对应的点为（-1,1）,故在第二象限.故选B.2 .已知O为复平面中直角坐标系的坐标原点，向量两=（-1,2）,则点M对应的复数为（）A.l÷2iB.-l+2iC.2-iD.2+i解析：B因为。为复平面中直角坐标系的坐标原点，向量两=（-1,2）,则点M对应的复数为一l+2i.故选B.3 .设z=l2i,则lZl=,Z=.解析：因为z=l2i,所以IZl=Jl2+（-2）2=5,z=l÷2i.答案：西l+2i.G题型突破析典例-技法归纳活学活用题型T复数与复平面内点的关系【例1】在复平面内，若复数Z=(112-2/n8)÷(w2+311-10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二、四象限；分别求实数次的取值范围.解复数Z=(w2-2m-8)+(wz2÷3n-10)i在复平面内对应的点为(加22?一8,112÷3n-10).(1)由题意得加22?一8=0.解得加=-2或4.(2)由题意，(p2W8)(n2÷3?!-10)<0.2<w<4或一5VwV-2.Ia母题探究1 .(变设问)本例条件不变，若复数在第二象限，求机的取值范围.解：由题意,2<w<4.(m2-2m-8<0,Im2+311-10>0,2 .(变设问)本例条件不变，若复数在宜线y=x上，求机的值.解：由已知得加一2加8=/+31-10,故m=.通性通法利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示即复数z=+加(凡jR)可以用复平面内的点Z(,h)来表示，这是解决此类问题的根据；(2)列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解.提醒复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示.G跟踪训练1 .已知复数Z=I2i,则Z在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是()A.(1,-2)B.(1,2)C.(-2,1)D,(-1,-2)解析：DZ在复平面内对应的点为(1,-2),关于虚轴对称的点是(一1,-2).故选D.2 .已知复数zi=2i(WR,i为虚数单位)对应的点在直线y=，+：上，则复数Z2=。+2i对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：B复数z=2-i(rR)对应的点的坐标为(2,一。)，该点在直线y=3:+9上，故一=：+%解得。=一2,所以复数Z2=-2+2i,它对应的点的坐标为(-2,2),在第二象限.故选B.题型二复数与复平面内向量的关系【例2】在复平面内的长方形ABCQ的四个顶点中，点A,B,。对应的复数分别是2÷3i,3+2i,-2-3i,求点O对应的复数.解由题意得函=(2,3),OB=(3,2),OC=(-2,-3).设而=(x,y),则而=(-2,y-3),BC=(-5,-5).由题意知，AD=BC,所以/一2=5,则/3,故点。对应的复数为一3一公.Iy-3=5,(,y=2f通性通法复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量；(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.E跟踪训练1.在复平面内，复数1+i与l+3i分别对应向量而和丽，其中。为坐标原点，则线段AB的中点所对应的复数为.解析：由复数的几何意义可得A(1,1),B(l,3),所以线段AB的中点为M(1,2),故线段AB的中点所对应的复数为l+2i.答案：l+2i2.把复数1+i在复平面内对应的点向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点A,把向量而绕点O按逆时针方向旋转90。，得到向量而，则点8对应的复数为.解析：复数1+i在复平面内对应的点为（1,1）,将其向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点A（2,0）,所以为f=（2,0）,所以痈=（0,2）,即点8对应的复数为2i.答案：2i题型三复数的模与共鸵复数【例3】已知复数zi=3-i,Z2=-1÷¾.（1）求I/I,Iz2I的值并比较大小；（2）设zC,且Z在复平面内对应的点为Z,则满足Iz2IIzIIz1I的点Z组成的集合是什么图形？并作图表示.解（1）IZI=I3÷iI=J（3）2÷12=2,R十”制=丁丁+（-争所以I为I>I%I.（2）由IZ2IWIzI<IZiI,得IWlZl2.不等式IWlZlW2等价于不等式组2,因为满足IZIW2的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为2的圆及其内部（包括边界）,而满足IZl21的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为1的圆的外部（包括边界），所以满足条件的点Z组成的集合是一个圆环（包括边界），如图中阴影部分所示.通性通法复数的模的计算（1）计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小；(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解.口跟踪训练1 .已知i为虚数单位，复数z=-2i2+i,则|彳|=.解析：.z=-2i2+i=2+i,z=2-i,/.zl=J22+(-l)2=5.答案：62 .设复数z=x+yi,x,yR,且Ixl=IyI,则满足IzI=I的复数Z共有个.解析：法一(代数运算)由Izl=1,得f+y2=l.又IxI=IyI,联立，解得Z=iii法二(几何意义)由Izl=1,知复数Z在复平面内对应的点构成一个单位圆.又Ixl=IyI,故复数Z在复平面内对应的点落在直线y=±x上，显然直线y=±r与单位圆有四个交点.答案：4一随堂检测,1 .在复平面内，复数z=-3+4i对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：B依题意，在复平面内，复数z=-3+4i对应的点为(-3,4),位于第二象限.2 .已知z=z1+(W+2)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数机的取值范围是()A.(-1,2)B.(-2,1)C.(1,+)D.(8,-2)解析：BVz=W-1÷(11+2)i在复平面内对应的点在第二象限，.m-1VO,11÷2>0,解得一2VmVl,故实数机的取值范围是(一2,1).3.已知i为虚数单位，若复数Z=I一百i,则IZl=()A.2B.2C.4D.8解析：BIzI=m=2.故选B.4 .已知复数Zl=65i,Z2=-2+3i,若,Z2在复平面内对应的点分别为A,B,线段AB的中点C对应的复数为z,则5=()A.2÷iB.2-iC.l+iD.li解析：A由题意得4(6,-5),B(-2,3),则线段A8的中点C的坐标为(2,-1),其对应的复数z=2i,贝吃=2+i.5 .复数z=2+i,则5的虚部是.解析：因为z=2+i,所以5=2-。所以5的虚部是一1.答案：一1