2023-2024学年人教A版必修第二册 8-3-2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 学案.docx

8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积新课程标准解读核心素养1 .知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式直观想象2 .能用公式解决简单的实际问题数学运算G知识梳理读教材D-基础落实高效学习此情境导入.在日常生活中，我们经常遇到下列各类实物或它们的组合体.这些物体分别可以抽象出圆柱、圆锥、圆台及球，它们均属于立体几何中的旋转体.问题你会求上述几何体的表面积及体积吗？R新知初探,知识点一圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积图形区圆柱I表面积和体积5an：=211r（r÷）”是底面半径，/是母线长）；VBl柱=11r2h（r是底面半径,是高）提醒圆柱、圆椎、圆台的关系：侧面积公式间的关系，SIe往例=2t*SiS台例=Ttr0O-(r÷rr)IMWM=11r:体积公式间的关系上底1上底I1融画驾主S，=SS'=0V=Sh'V=(5,+SiS+5)h'v=5.知识点二球的表面积和体积公式1 .球的表面积公式S=(R为球的半径).2 .球的体积公式Y=抑3回做一做1 .一个高为2的圆柱，底面周长为211.则该圆柱的表面积为,体积为.解析：由底面周长为211可得底面半径为1.S底=211=2兀，Sm=211ri=411,所以S&=Sfi÷S<w=611.V=11r2z=11×l2×2=211.答案：6112112 .若圆锥的底面半径为5,高为1,则圆锥的体积为,表面积为.解析：V=1S力=IXTtX3Xl=11.S=11r(H)=311(3÷2)=(3÷23)11.答案：11(3+23)113 .直径为1的球的表面积为,体积为.解析：.球的直径为1,球的半径r=g,表=411=4jcX()2=11,V球=*X(；)T26答案：11*技法归纳活学活用题型突破析典例柱、圆锥、圆台的表面积【例1】（1）若圆锥的高为3,底面半径为4,则此圆锥的表面积为（A.40兀B.3611C.2611D.2011（2）圆台的上、下底面半径分别为IOCm,20cm,它的侧面展开图是扇环，其圆心角为11,则圆台的表面积为c11（结果中保留11）解析（1）圆锥的母线长/=Js2÷42=5,所以圆锥的表面积为11X42+11X4X5=36兀（2）如图所示，设圆台的上底面周长为/cm,因为扇环的圆心角是11,所以=11SA=211×10,所以SA=20cm.同理可得S8=40cm,所以A8=S8-S4=20cm,所以表面积S=11(10+20)×20+11×102+11×202=l10011(cm2).答案(I)B(2)110011通性通法解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴极面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：（1）得到空间几何体的平面展开图；（2）依次求出各个平面图形的面积；（3）将各平面图形的面积相加.Zftl踪训练1.（多选）如图，四边形8CGS是圆柱的轴截面，A是圆柱的一条母线，已知A5=4,AC=22,AAl=3,则下列说法正确的是（）A.圆柱的侧面积为2511B.圆柱的侧面积为6611C.圆柱的表面积为6611÷1211D.圆柱的表面积为211+611解析：BC因为A8=4,AC=22,所以BC=JAB2+AC2=25,即r=5,又因为AAI=3,所以圆柱的侧面积是2口/=2兀XX3=6t,圆柱的表面积是2兀”+2兀7=6S11+1211.故选B、C.2.用一张4cmX8cm的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则该圆柱的表面积为cm2.解析：有两种不同的卷法，分别如下：以矩形8cm的边长为母线长，把矩形硬纸卷成圆柱侧面，设底面半径为r,此时底面周长为2"=4cm,得r=2cm,则两底面面积11之和为勺cm又S)=32cm故此时该圆柱的表面积为(32+反)cm?.以矩形4cm1111的边长为母线长，把矩形硬纸卷成圆柱侧面，设底面半径为，此时底面周长为2兀，=8cm,得/=±,则两底面面积之和为必c11又S例=32Cm2,故此时该圆柱的表面积为1111(32+-)cm2,11答案：32+色或32+-1111题型聿柱、圆锥、圆台的体积【例2】(1)已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16注兀，则圆锥的体积是()a6411n12811A.B.33C.6411D.128211(2)已知圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4,母线长为10,则圆台的体积为.解析(1)设圆锥的底面半径为广，母线长为/,圆锥的轴截面是等腰直角三角形，2r=J2÷Z2,即=Ir,由题意得，侧面积S消=11r=11=1611,.,.r=4.=42,高=J/2一丁2=4.,.圆锥的体积v=fz=11424=g11,故选A.(2)设上底面半径为r,则下底面半径为介，高为4，如图.母线长为10,102=(4不2÷(4/一r)2,解得r=2.；下底面半径R=8,高力=8,，Y固&=呆(r2÷r?+/?2)h=22411.答案（I）A（2）22411通性通法圆柱、圆锥、圆台体积的求法求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.G跟踪训练1.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3,则该几何体的体积为（）A.511B.611C.2011D.10兀解析：D用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为11X22><5=2011,故所求几何体的体积为10兀C.311DG3解析：D设圆锥的母线长为/,高为h,底面半径r=l,则h=J/2r2=3,所以V=11r2z=*XAxJJ=苧I故选题型三球的表面积与体积例3（1）一平面截一球得到直径为25Cm的圆面，cm,则该球的体积是（）A.l211cm3B.3611cm3由2兀Xl=兀/得/=2,所以球心到这个平面的距离是2C.64611cm3D.l0811cmA.B.争2.已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（）(2)半径为2cm的小金属球共有125个，熔化后铸成一个大金属球，如果不计损耗，可铸成的大金属球的表面积为()A.100B.400C.10011D.40011解析(1)设球心为。，截面圆心为01,连接0。，如图所示，在RSoaA中，。凶=V5cm,00=2cm,，球的半径H=OA=J22J(5)=3cm,；球的体积V=×33=3611c11故选b设大金属球的半径为r,则亨乂23乂125=亨，=10,其表面积为4-=400兀故选D.答案(I)B(2)D通性通法因为球的表面积与体积都是球的半径的函数，所以在解答这类问题时，设法求出球的半径是解题的关键.Gf跟踪训练1.若两球的表面积之差为48兀，它们的半径之和为6,则两球的体积之差的绝对值为.4tiR24*2=48,即/?+r=6,(R+r)(Rr)=12,整理，得j7?r=2,解得y=%故两球的体积之差的绝对S+r=6,(R+t=6,G=2.值为×4'-,X23=11(4323)=等兀.答案：争2.长、宽、高分别为2,3,通的长方体的外接球的表面积为.解析：该长方体的体对角线长为,22+(5)÷(5)=25,设外接球的半径为上：.2R=2瓜R=5,S球=411R2=1211.答案：1211但随堂检测.1.球的体积是安，则此球的表面积是（A.1211B.1611解析：B设球的半径为R,3=y11,.R=2,JS球=411W=1611.2 .若圆锥的底面半径为1,高为5,则圆锥的表面积为（）A.11B.211C.311D.411解析：C设圆锥的母线长为/,M=3TT=2,所以圆锥的表面积为S=11XlX（1÷2）=311.3 .已知圆台的体积为711,上、下底面的半径分别为1和2,则圆台的高为（）A.3B.4C.5D.6解析：A设圆台的高为心由题意知V=3（12+1X2+22）z=711,故h=3.4 .我国南北朝著名数学家祖咂提出了祖昭原理：“幕势即同，则积不容异”.即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，若截得的两个截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.在数学上运用祖晒原理推导球的体积公式时，构造了一个底面半径与高都为R的圆柱内挖掉一个等高、等底的圆锥的几何体（如图所示），则该几何体的体积为.解析：圆柱的体积V=11R2R=11R圆锥的体积V2=tR所以所求的几何体的体积为V-V2=113-3=.答案：1111=维微虑探究空间几何体上两点间路径最短问题计算空间几何体上两点间路径最短问题时，一般转化为平面几何方法求解，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为宜”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状.类型1旋转体表面上两点间的最短路径问题【例1】(1)如图，圆柱的高为2,底面周长为16,四边形AcDE为该圆柱的轴截面,点B为半圆弧的中点，则在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为()S：BA.217B.25C.3D.2(2)如图，圆锥的母线AB长为2,底面圆的半径为心若一只蚂蚁从圆锥的点3出发,沿表面爬到AC的中点。处，则其爬行的最短路线长为石，则圆锥的底面圆的半径为()A.lB.23C.3D,-解析(1)圆柱的侧面展开图如图所示，由题得AC=2,BC=×16=4,所以AB=4j22+42=25.所以在此圆柱的侧面上,从A到8的路径中，最短路径的长度为2遍.故选B.E,AE(2)如图为半圆锥的侧面展开图，连接BD,则的长为蚂蚁爬行的最短路线长，设展开图的扇形的圆心角为,根据题意得8G=I,AD1=1,AB=2i在AB2+ADl=BD所以nOA8=,所以扇形弧长=X2=兀，所以圆锥底面圆的周长为2=211,即211r=211,得r=l.故选A.答案(I)B(2)A类型二多面体表面上两点间的最短问题【例2】如图，长、宽、高分别为3,2,1的长方体木块上有一只小虫从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点G，则它爬行的最短路程是.解析根据题意，将长方体的长、宽、高所在相邻两个面按照三种不同的方式展开，如图.结合长方体的三种展开图，求得AG的长分别是3,26,25,所以最小值是3.故小虫爬行的最短路程是32.答案32口跟踪训练1.在直三棱柱A8C-A8G中，A41=3,AB=BC=,AC=2,E是棱8以上的一点，则44CE的周长的最小值为（）A.TT÷3B.TT+23C.11÷13D.11÷14解析：C由题意得4C=5"=I1.将三棱柱的侧面5CG5展开至平面ABBAi内，如图所示，当A,E,C三点共线时，4CE的周长最小，此时AE+CE=T4=13,即CE的周长的最小值为IT+*,故选C.C12.若圆台上底面半径为5cm,下底面半径为IOCm,母线43（点A在下底面圆周上，点8在上底面圆周上）长为20cm,从A8中点拉一根绳子绕圆台侧面转到4,则绳子最短的长度为cm.解析：如图是圆台侧面展开图，。是圆心，由已知得其圆心角NAoA'=*2兀由瑞三得焉=茅°B=2。，C是AB中点,AC=jA=2+c>2=5°(cm+答案:50