2023-2024学年人教A版必修第二册 8-2 立体图形的直观图 学案.docx

8.2立体图形的直观图新课程标准解读核心素养能用斜二测画法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及直观想象、数学其简单组合体）的直观图抽象白知识梳理读教材口-基础落实高效学习U.一Ib情境导入一图中的国家游泳中心（又称“水立方”）可以抽象成一个几何体长方体.问题你能画出一个长方体吗？/新知初探“知识点一水平放置的平面图形的直，的画法1.直观图的概念直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤提醒对斜二测画法的再理解：“斜”：把直角坐标系X变为斜坐标系x,oyf使OP=45°（或135°）,即），'轴是斜的，反映投影线是斜的；“二测”：平行于X轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，即有“两种测度”.知识点二空间几何体直观图的画法1.画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个Z轴，直观图中与之对应的是J轴.2 .画底面：平面Xey表示水平平面，平面yo'z'和'0'z表示竖直平面.3 .画侧棱：已知图形中平行于Z轴（或在Z轴上）的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.4 .成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.提醒画空间几何体的直观图时，需特别注意实虚线的应用，被遮住的线必须用虚线，体现层次性和立体感.国做一做1.用斜二测画法画水平放置的AABC时，若角A的两边分别平行于X轴，），轴，则在直观图中角4=（）A.45oB.135oC.45°或135oD.90o解析：C在画直观图时，角A两边依然分别平行于V轴，V轴，则z%ey=45。或135°.故选C.2 .利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的是（）Cls''口Z73333ABCD解析：C正方形的直观图应为平行四边形，且相邻两边的边长之比为2：1.3 .水平放置的MBC的斜二测直观图如图所示，已知AC=3,BC=2,则AB边上的中线的实际长度为.解析：由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC=A=3,BC=2B'C'=4,计算得48=5,所求中线长为提答案：视技法归纳活学活用&题型突破析典例题型一平面图形的直观图的画法例1画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.解画法：(1)如图所示，取AB所在直线为X轴，A8的垂直平分线OE为y轴，两轴交点。为原点，建立直角坐标系，在图中画对应的坐标系x'0')/,使ZXey=45°.(2)在图中，以0,为中点在V轴上取AB=A8,在y轴上取OF=ToE,以£'为中点画C7TV轴，并使CD=CD.(3)连接3'C,D,A并擦去辅助线x'轴和V轴，所得的四边形ABCfr就是水平放置的等腰梯形ABC。的直观图，如图所示.通性通法画平面图形的直观图的技巧(I)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点：(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段.口跟踪训练用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图.ABC解：(1)如图所示，以BC边所在的直线为X轴，以BC边上的高线A。所在的直线为)，轴建立直角坐标系.OCXB,C（2）画对应的/轴、y轴，使oy=45°.在£轴上截取O,B,=O'C'=2cm1在）轴上截取O：/T=TOA.（3）连接AB,AC,则BC即为正AABC的直观图，如图所示.题型二空间几何体的直观图的画法【例2】用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体ABCo-ABCD的直观图.解（1）画轴.如图，画X轴，y轴，Z轴，三轴相交于点0,使ZXoy=45°,NXOZ=90°.眩7_7p（2）画底面.以点。为中点，在X轴上取线段MN,使MN=4cm；在y轴上取线段尸Q,使尸Q=ICm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点尸和。作X轴的平行线，设它们的交点分别为A,B,C,D,则M5C。就是长方体的底面ABCD的直观图.（3）画侧棱.过A,B,C1。各点分别作Z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段A4,RB,CC,DD'.（4）成图.顺次连接AM"，C,D并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图.通性通法画空间图形的直观图的原则（1）首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyzt并且把它们画成对应的广轴与y'轴,两轴交于点O',且使xO'y'=45°（或135°）,它们确定的平面表示水平面，再作z'轴与平面X'。'），'垂直；（2）作空间图形的直观图时平行于X轴的线段画成平行于V轴的线段并且长度不变：（3）平行于），轴的线段画成平行于），'轴的线段，且线段长度画成原来的一半；(4)平行于Z轴的线段画成平行于z'轴的线段并且长度不变.(3.跟踪训练画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图.解：(1)画轴.画Qr轴，0y轴，OZ轴，使xy=45°,ZXoZ=9()。，如图.(2)画底面.以。为中心在Xay平面内，画出正方形的直观图ABCD(3)画顶点.在OZ轴上截取。尸使0尸的长度等于四棱锥的高.(4)成图.顺次连接HA,PB,PC,PD,并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图.题型三直观图的这鬲而【例3】如图，矩形0；AEC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O7=6cm,O,C,=2cm,C,D,=2cm,则原图形的形状是,其面积为.cm2.4解析如图，在原图形OABC中，应有OO=2O7=2X2=4(cm),CD=C,D,=2cm,所以OC=JoD2+c)2=J(4)2÷22=6(cm),所以OA=OC=BC=A乱故四边形OABe是菱形.S醛形owe=OAXo0=6X4=24(cm2).答案菱形242通性通法1.直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与V轴，V轴平行的直线或线段，且平行于V轴的线段还原时长度不变，平行于）轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.2.直观图与原图形面积之间的关系若一个平面多边形的面积为S,其直观图的面积为S',则有S'=立S或S=2S'.利用这4一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积.Cf跟踪训练1.如图，zABC是水平放置的zA8C的直观图，其中AE,AC所在直线分别与x,V轴平行，且A5,=AV7,那么AABC是（）A.等腰三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形解析：D因为水平放置的AABC的直观图中，NYoy=45°,A,B,=A,C'f且AB广轴,AC'歹轴，所以A8_1.AC,ABAC,所以4A8C是直角三角形.2.已知等边AABC的边长为小那么AABC的直观图4ABC的面积为（）a32d32A.crB.cv48C显2n遍2C.-ciD.a816解析D法一建立如图所示的平面直角坐标系Xoy.如图所示，建立坐标系£0旷,使/Xoy=45°,由直观图画法，知A5A8=a,Oc=ToC=$口过点C作CDuot法二于点D','="*z=*z2宿随堂检测。1.若把一个高为IOCm的圆柱的底面画在roy平面上，则圆柱的高应画成（）A.平行于z且长度为IOcmB.平行于z，轴且长度为5cmC.与Z轴成45。且长度为10cmD.与Z釉成45。且长度为5cm解析：A平行于Z轴（或在Z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致.故选A.2 .如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图形是解析：A根据斜二测画法知，在y轴上的线段长度为直观图中相应线段长度的2倍,故选A.3 .（多选）关于斜二测画法所得到的直观图，下列说法正确的是（）A.三角形的直观图是三角形B.平行四边形的直观图是平行四边形C.正方形的直观图是正方形D.菱形的直观图是菱形解析：AB斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变,因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形.4.如图，是用斜二测画法画出的AAOB的直观图，则AAOB的面积是.解析：由图可知0B=4,则对应AAOB中，0B=4.又和），釉平行的线段的长度为4,则对应AAOB的高为8.所以AAOB的面积为:X4X8=16.答案：16