2023-2024学年人教A版必修第二册 7-3 复数的三角表示 学案.docx

7.3复数的三角表示新课程标准解读核心素养1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系数学抽象2.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义数学运算知识梳理读教材匚基础落实高效学习此情境导入.设复数z=l+5i在复平面内对应的点为Z.问题（1）写出点Z的坐标，并在图中描出点Z的位置，作出向量被；（2）记，为向量成的模，夕是以X轴非负半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，求r的值，并写出6的任意一个值，探讨，。与z=l+8i的实部、虚部之间的关系./新知初探,知识点一复数的三角形式1.定义：任何一个复数z=+8i都可以表示成厂示osO+isin。）的形式.其中,/是复数Z的模：。是以X轴的非负半轴为始边，向量被所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z=a-b'的辐角.r（cose+isin0）叫做复数z=a-bi的三角表示式，简称三角形式.2.辐角的主值：规定在0W6V2兀范围内的辐角。的值为辐角的主值.通常记作argz,即Oargz<211.提醒辐角和辐角主值的区别与联系：区别，辐角。是指以X轴的非负半轴为始边，以复数Z所对应的向量方所在射线（射线OZ）为终边的角，显然辐角有无数个，而辐角主值是指在0W6V2兀范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个；联系，=2k11÷argz,Z.知识点二复数三角形式的乘、除运算1.乘法运算法则设Zi二门(cos÷isin仇)，Zi=艺(cos电+isin优)，则Z1Z2=n/lcos(仇+仇)+isin(仇+仇).即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的2.除法运算法则设Zi=ncos-4risin)»Zi=rz(cos82+isin2)-BZ20,则II=cos(仇一仇)+isin(仇一。).即：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.自做一做1.复数1+i的辐角主值为()A.-B.-63C-D-42解析：C因为复数1+i对应的点在第一象限，所以arg(1+i)=：.2 .将复数i对应的向量而绕原点按逆时针方向旋转会得到向量而?，则57对应的复数是()at+Iib-t+?c,-D.1T2222解析Bi=cosm+isi11B将前绕原点按逆时针方向旋转5得到而对应的复数为cos+223o.511311.,sm=÷?-3 .计算(COS11+isin11)÷(cos÷isin)=.解析：(cos11÷sm11)(cos-+sn-)=cos-÷sn=-÷-1333322答案：W+争技法归纳活学活用百G题型突破析典例匚题型一复数的代数形式化为三角形式【例1将下列复数的代数形式化成三角形式：(1) 3+i:(2) I-1.解(1)r=J(3)2÷12=2,所以COSe=苧，因为对应的点在第一象限，所以arg(3+i)=E故J+i=2(cos,+isin,).(3) r=Jl2÷(-D2=2,所以COSo=4，因为对应的点在第四象限，所以arg(l-i)=?，故1i=2(cos÷isin).通性通法将复数的代数形式转化为三角形式的步骤(1)求复数的模；(2)确定辐角所在的象限；(3)根据象限求出辐角；(4)求出复数的三角形式.口跟踪训练下列复数是复数三角形式表示的是()A.-(cos-isin-)B.-fcos-÷isin-)244/233/C.sin11+icos11)D.cos11÷isin11解析：D选项A,cos：与isiW之间用“一”连接，不是用“+”连接；选项B,一;V4420不符合厂20的要求；选项C,是icos,与sin,用“+”连接而不是cos,+isin,的形式.故A、B、C均不是复数的三角形式.故选D.题型二复数的三角形式化为代数形式【例2复数z=3(COSm+ising)化为代数形式为()Al+ib-1+c-+?d；争解析z=3(cos+isiny)=3cos÷(3siny)i=3×()÷3×yi=-y+Ii-答案C通性通法将复数的三角形式化为代数形式的方法是：复数三角形式为z=r(cosA+isinA),代数形式为Z=X+yi,对应实部等于实部，虚部等于虚部，即X=rcosA,y=rsinA.Z跟踪训练复数(CoSj11÷isin11)的代数形式为.解析：2(cos÷isin;兀)=2cos(11÷)÷isin(11÷)=2(-cos(11-isin11)=2(4一争)=I-1.答案：1-i题型三复数三角形式的乘、除法运算【例3】计算:(1) 2(COSm+ising)xV5(cos*+isin*);(2) 6(cos160o+isin160o)÷2(cos25o+isin25o).解(1)2(cos-÷isiny)×V3(cos÷isin)=23(COs,+isin引=-23i.(2)原式=3cos(160o-25o)÷isin(160o-25o)=32(cos135o+isin135o)=32(-y+yi)=-3+3i.通性通法在进行复数三角形式的乘、除法运算时，注意先将复数化为三角形式，再按法则进行运算，当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示.口跟踪训练计算：2i÷(cos30o÷isin30o).解：2i÷g(cos30o+isin30o)=2(cos90o÷isin90o)÷(cos30o+isin30o)=4(cos60o÷isin60o)=2+23i.产型，复数三角形式乘、除运算的几何意义【例4】在复平面内，把复数3-5i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转?求所得向量对应的复数.解因为3-5i=25(当一为=23(COS/11+isin号r).所以25(cos£r+isin孩Tr)X(COS：+isin)=2gs(11+三)+isin偿”+联=23(CoS11÷isin11)=23(COSF+isin)=3+V5i,23(COS11÷isin£冗)÷(CoS÷isinE)=2Jcos偿D+isin偿1.J=23(COSlTr+isinI11)=-25i.故把复数35i对应的向量按逆时针旋转;得到的复数为3+5i,按顺时针旋转与得到的复数为一23i.通性通法两个复数Z,Z2相乘时，先分别画出与Zi,Z2对应的向量两，沟，然后把向量谆绕点。按逆时针方向旋转角仇(如果aVO,就要把两绕点O按顺时针方向旋转角I仇I),再把它的模变为原来的-2倍，得到向量粒，应表示的复数就是积ZZ2.即ZZ2=r2c0s(4+62)÷isin(a+。2),当Zi,Z2相除时,=cos(仇一仇)+isin(仇TDCf跟踪训练在复平面内，把与复数¥+不对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转会然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数.解：(cos÷isin7)*44266/由题意得N(cos-÷isin-)×2(cos-÷isin-)26633=×2cosg+2)+ising+2)=3(CoSl+isin)=3i,即与所得向量对应的复数为3i.周随堂检测.1.复数z=l+i(i为虚数单位)的三角形式为()A.z=2(sin45o÷icos450)B.z=2(cos45o÷isin450)Cz=2cos(-45o)-isin(-45o)D,z=2cos(-45o)÷isin(-45o)解析：B依题意得r=J12+12=&,复数z=l+i对应的点在第一象限，且cos。=当,因此，argz=45°,结合选项知B正确.故选B.2 .已知i为虚数单位，z=2(cos6()o÷isin60o),Z2=22(sin30o-icos30o),则Z1z2=()A.4(cos90o+isin90o)B.4(cos30o+isin30o)C.4(cos30o-isin30o)D.4(cos0o+isin0°)解析：DVz2=22(sin30o-icos30o)=22(cos300o÷isin300o),zz2=2(cos60o÷isin60o)×22(cos300o+isin300o)=4(cos360o+isin360o).故选D.3 .若IzI=2,argz=p则复数Z=.解析：由题意知，z=2(cosg+isi碟=l+5i.答案：l+3i,.(3+l)(cosj÷isinj)4 .计算.与”的值sin-+ICOS-(3+i)(cosH÷isin¾用牛.11l.11Sl11-÷ICOSj_2(CoS"isi唠X(CoS畀isi唠TTITTcos-+sm-66-2cos得W)+isin伊W)Tll.TTcos-+sn-662(COS畀isi吗)HI.Ilcos-+ism-OO=2(cos三+isin)=l+3i.