2023-2024学年人教A版必修第二册 8-5-3 第二课时 平面与平面平行的性质 学案.docx

8.5.3第二课时平面与平面平行的性质新课程标准解读核心素养1 .借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的性质定理，逻辑推理并加以证明2 .能用平面与平面平行的性质定理解决一些简单的空间线面位置关直观想象系问题知识梳理读教材A基础落实高效学习I.、：'IIb情境导入.当平面平面时，与没有公共点，此时，若/U,wC,则根=0,这就是说，/与W的位置关系是异面或平行.问题那么在什么情况下，/与机平行呢？Ia新知初探.知识点两个平面平行的性质定理文字两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行语言符号,a=a,=Z?=>ab语言图形语言提醒(1)用该定理判断直线。与人平行时，必须具备三个条件：平面a和平面P平行，即Ct。；平面和a相交，即aly=a;平面Y和。相交，即0=%.以上三个条件缺一不可.(2)在应用这个定理时，要防止出现“两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面内的一切直线”的错误.口做一做1 .已知长方体ABCD-AEO,平面平面ABCO=ER平面a平面ABCTT=E尸,则E尸与EF的位置关系是（）A.平行B.相交C.异面D.不确定解析：A因为平面ABCO平面A5O,所以Ef£F.故选A.2 .已知直线相，平面a,。，若ap,小Ua,“up,则直线机与的关系是（）A.平行B.异面C.相交D.平行或异面解析：D<a“,Ja与无公共点，又ZMUa,"U,；,与无公共点，相与平行或异面.3 .如图，平面a平面B，ZkPAB所在的平面与a,分别交于。，ABf若尸C=2,CA=3,CD=1,则AB=.解析:平面a平面,a平面PAB=CDi-sPSPAB=ABt：.CD/AB,则鲁=黑，b-PA×CD_5xl_5PC22答案G题型突破析典例口-技法归纳活学活用kM.,一【例1】如图，在三棱锥P-ABC中，D,E,尸分别是PA,PB,上一点，连接MP,MaN是PM与DE的交点,连接FM求证:1.证明因为。，E分别是PA,PB的中点，所以。EAA又OEU平面ABC,ABU平面A8C,所以OE平面ABC,PC的中点，M是ABFN/CM.题型一两平面平行性质定理的应用同理。尸平面ABC,OECDF=D,所以平面OE/平面ABC.又平面PCM平面DEF=FM平面尸CM平面ABC=CM,所以FNCM.通性通法应用面面平行性质定理的基本步骤J)审题看是否有平面与平面平行找（或作）第三个平面与已知两个平面相交确定交线的位笈W)得两条交线互相平行Cf跟踪训练如图，在四棱柱ABCDAlBIG中，底面ABC。为梯形，AD/BCf平面ANCE与58交于点E求证：ECAD.证明：易知8EA4,AAlU平面A4Q,引尔平面AAI。，所以BE平面AAlD因为BCAO,AoU平面AAQ,BCe平面A4Z),所以BC平面AAD.又BECBC=B,BEU平面BCE,BCU平面BCE,所以平面BCE平面AAiDt又平面AOCE平面BCE=EC,平面ADCEQ平面AAiD=AiD,所以EC/7AQ.题型二与两平面平行的性质定理有关的计算【例2】设平面平面P，A,C,B,O,直线AB与CO交于点S,且S位于平面a,之间，AS=S,BS=6,CS=12,求5。的长.解根据题意作出图形，VAB,CD交于点、S,AB与Co确定一个平面，又Y平面平面3,：ACDB,:&SACs4SBD、SD=9.通性通法关于平行平面分线段成比例定理类比平面内的平行直线分线段成比例定理,在空间中有平行平面分线段成比例定理.Cf跟踪训练1 .如图所示，尸是8C所在平面外一点，平面平面ABC,分别交线段尸A,PB,PC于A',B',C,若PA,:AA,=2：3,则SA人力C：Sabc=.AB解析：平面a平面ABC,平面PAB与它们的交线分别为ABBi.ABA,B,t同理8'C8C,易得AABCsAABC',SabcSabc=(空)2=(M)2=答案喧2 .如图，已知平面平面乐网且N仇过点P的宜线相与,分别交于A,C,过点P的直线与,P分别交于8,D,且EA=6,AC=9,PD=8,求Bo的长.解：.”",平面PC0=A8,平面尸COp=C0,.MB皿可得冷得VPA=6,AC=9,PD=8,【例3】线、线面、面面平行的转化如图，己知四棱锥RABCO的底面AeCo为平行四边形，M,N分别是棱AB,尸C的中点，平面CMN与平面PAZ)交于PE.(1)求证：MN平面尸A。；(2)求证：MN/PE.证明(1)如图，取OC的中点0,连接MQ,NQ.P在APCO中，N,Q分别是PC,OC的中点，所以NQ尸O,又NQe平面PADfPoU平面PADf所以NQ平面PD.因为M是AB的中点，四边形ABS是平行四边形，所以MQAO,又MQC平面PAO,AOU平面PAO,所以MQ平面PAD.因为MQNQ=Q,MQiNQU平面MNQ,所以平面AfNQ平面PAD.因为MNU平面MNQ,所以MN平面PAD(2)由(1)知，平面MNQ平面PA。，且平面PECrl平面MM2=MN,平面PEC平面PAD=PEt所以MNPE.通性通法空间中各种平行关系相互转化的示意图线面平行性质定理判定定理线线平底面面平份提醒判定是用低一级的平行关系证明高一级的平行关系；性质是用高一级的平行关系推出低一级的平行关系.口跟踪训练如图，三棱柱A8C48G中，D,E,产分别为棱AB,BC,GB的中点.(1)求证：AC平面BiDE;(2)求证：AF平面80E证明：(1)因为在三棱柱ABC-AlBlG中，D,E分别为棱AB,BC的中点，所以DEHA3因为OEU平面&DE,ACU平面BQE,所以AC平面BiDE.(2)在三棱柱A6CABG中,BCBCi,因为E,F分别为BC,SG的中点，所以CEHFBlf所以四边形SEef'是平行四边形，所以尸C"8E,因为FeC平面BIoE,SEU平面SOE,所以/C平面BQE,由(1)知4C平面8QE,又ACfC=C,AC,尸CU平面AC广，所以平面ACF平面BiDE,又AZ7U平面AC凡所以A/7平面8QE.但随堂检测.1.两个平行平面与另两个平行平面相交所得的四条直线的位置关系是()A.两两相互平行B.两两相交于同一点C.两两相交但不一定交于同一点D.两两相互平行或交于同一点解析：A根据平面与平面平行的性质可知，所得的四条直线两两相互平行.故选A.2 .平面平面,点A,C,B,D,则直线AC直线8。的充要条件是（）AAB/CDBAD/CBC.A8与CO相交D.A,B,C,。四点共面解析：D充分性：A,B,C,。四点共面，由平面与平面平行的性质知AC3D必要性显然成立.故选D.3 .如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFG”为截面，长方形ABCO为底面，则四边形EFG的形状为（）A.梯形B.平行四边形C.可能是梯形也可能是平行四边形D.不确定解析：B由长方体的性质：各对面平行，易知HG"EF,EH/FGy工四边形E尸G”为平行四边形.故选B.4 .如图所示，正方体ABeD-AlBIGDl的棱长为3,M,4分别是棱Ai1.,BlG的中点,P是棱Ao上的一点，AP=I,过P,M,N的平面交上底面于尸Q,。在C0上，则尸。t-7NMB1解析：因为平面ABCO平面Alscol,平面ABCO平面PQNM=PQ,平面AlBlClD11平面PQNM=MM所以MNPQ.连接4G,AC（图略），则MNAlG,AiCACf所以PQAC又AP=I,所以登=粤=；，所以PQWACwX3=2A1.）A1.333答案：2四11三维微虑l截面定义：用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面,与几何体表面的交集（交线）叫做截线，与几何体棱的交集（交点）叫做截点.（1）已知三点E,F,G中任意两点的连线都在几何体的表面上：Ea4B图作法：如图，直接连线即可得到截面.（2）已知三点E,F,G中任意两点的连线恰有两条在几何体的表面上:作法一（平行法）：如图，D、EB图连接E尸，GF,在平面ABBA内过点E作E/GR并交AAl于点/,连接G/,则四边形EFG/为所求的截面.作法二（相交法）：如图，连接广上并延长交DA的延长线于点“，连接G交AAi于点/,则四边形EFG/为所求的截面.（3）已知三点E,RG中任意两点的连线恰有一条在几何体的表面上：作法（平行四边形法）：如图，连接FG并延长，交DCh的延长线于点P,连接PE交AQi于点H,则点为截面上一点，以PE,尸产为邻边做平行四边形尸EQF,则。尸与BC的交点/也为截面上的点，则五边形以尸G”即为所求的截面.R（4）已知三点£,F,G中任意两点的连线都不在几何体的表面上:作法（辅助平面法）：如图，在平面AiBGG内过点G作G"小场，交BICl于点H,连接H3并延长交GE的延长线于点/连接"1交BC于点心连接即并延长交OC的延长线于点3交OA的延长线于点K,连接KG交AA于点连接1.F并延长交。IG于点N,则六边形EJFNGM为所求的截面.【例】（多选）已知过Bol的平面与正方体ABCz）-AI8G。相交，分别交棱A4,CC于点M,M则下列关于截面BMdN的说法正确的是（）A.截面BMDiN可能是矩形B.截面BMDlN可能是菱形C.截面BMnN可能是梯形D.截面8Mf>N不可能是正方形解析如图，当M,N分别与对角顶点重合时，显然四边形BMDlN是矩形.如图,当N分别为A,CG的中点时，显然四边形BMQN是菱形,由正方体的性质及勾股定理易知四边形BMQN不可能为正方形.根据对称性，其他情况下四边形8MDN为平行四边形.综上，C中说法不正确.故选A、B、D.答案ABD团跟踪训练1 .在正方体A88hBGd中，点M,N分别为边囱。，CQ上的动点（点不在顶点Dl处），若M,N,。三点确定的平面截正方体的截面为,则下列命题中为真命题的是（）A.对任意点M,存在点N使截面为三角形B.对任意点M,存在点N使截面为正方形C.对任意点M和N,截面都为梯形D.对任意点M存在点M使截面为矩形解析：A因为点M在BQi上，所以截面为BlQ与点N确定的平面，当N与C重合时，截面为三角形，故A正确，C错误；只有当M与8重合，N与。重合时，截面为矩形，当N不与C,。重合时，截面都为等腰梯形，故B、D错误.故选A.2 .如图，在正方体ABCDA由CNl中,P,Q,2分别是C1DpAAl的中点，试过P，。，R三点作其截面.解：如图，取BC的中点为凡延长尸R,OA交于点E,连接故交A8于点G,则G为AB的中点，延长GF,OC交于点“，连接HQ交CG于点/,所得六边形尸RGF/Q即为所作截面.E