2023-2024学年人教A版必修第二册 8-6-3 第二课时 平面与平面垂直的性质 学案.docx

8.6.3第二课时平面与平面垂直的性质新课程标准解读核心素养1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空直观想象间中平面与平面的垂直关系2.归纳出平面与平面垂直的性质定理逻辑推理G知识梳理读教材口一基础落实高效学习蛇情境导入一1 .在教室里，黑板所在平面与地面所在平面垂直，黑板的左右两边也与地面垂直.2 .如图，在长方体A8CD-A%GQ中，平面AIAODl与平面ABCO垂直，直线AIA垂直于其交线AD问题通过上述实例，你能总结出面面垂宜的一条性质吗？/新知初探.知识点平面与平面垂直的性质定理文字语两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么言这条直线与另一个平面±,a=/,a1l=>a1符号语图形语提醒(1)定理成立的条件有三个：两个平面互相垂直；直线在其中一个平面内；直线与两平面的交线垂直;(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直;(3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.侈想一想如果aJ_p,则a内的直线必垂直于。内的无数条直线，正确吗？提示：正确.自做一做1 .若平面a_1.平面,平面0J_平面丫，则()A.7B.a±Ca与相交但不垂直D.以上都有可能解析：D在正方体中，相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D.2 .已知在长方体ABCD-48Gn中，在平面A88A上任取一点作ME1.AB于E,则()A.E±平面BCDB.EC平面ABCDC.ME平面ABCDD.以上都有可能解析：A=MG平面ABBA,EA8,即Ee平面A88A,工MEU平面ABBiA,又平面ABBA_1.平面ABCD,平面ABBiAi平面ABCD=ABtMElABiMEl平面ABCD.故选A.3 .平面a_1.平面,a=/,"U,_!_/,宜线m_1.a,则宜线机与的位置关系是.解析：因为a_1.p,a=/,U,_!_/,所以_1.a.又?a,所以?.答案：平行.G题型突破析典例O-技法归纳活学活用U-.广题型一垂直关系的相互转化【例1】已知加，表示直线，a,p,y表示平面，给出下列三个命题:若a=n,Ua,_1.m,则_1.。；若a-1.,a=M,=n,则1.；若WIJ_a,n±tz_1.，则aJ_p.其中正确的命题为（）A.B.C.D.解析对于，依据线面垂直的判定定理，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,才能得到该直线与此平面垂直，而只与P内的一条直线，”垂直，不能得到j_p,故不正确；对于，如图所示，在长方体ABCO-ABO中，平面。CCDU平面A8CD,平面A8CQ,与平面OCezy的交线为CZ,与平面ABC。的交线为A6,但C7ZA8,故不正确；对于，由于mJ_a,则在平面内或.若在平面内，由_1.p可得a_1.。；若a,过作平面与a交于直线/,贝J“/,由_1.p得/_1.p,从而a±,故正确.答案B通性通法空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的，它们之间的转化关系如下：判当到专线线垂直1线面垂直混同面面垂直口跟踪训练（多选）若m,是两条不同的直线，a,仇是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若TWU,a±,则1.aB.若a11="z,=n,mn,则C”C.若n1.,?a,则a_1.pD.若a_1.y,a,则PJ_y解析：CD由线面平行、垂直的有关知识可排除A、B；对于C,因为za,过团作平面Y交a于“，则Wz,由于z_1.p,故”_1.0,又WU%则a_1.0,所以C正确,对于D显然正确，故选C、D.题型二平面与平面垂直的性质及应用【例2】如图所示，四棱锥P-ABCO中，底面ABCQ是NDA8=60。且边长为a的菱形,侧面PAO为正三角形，其所在平面垂直于底面A8。，G为AO边的中点.求证：B'c(1) 8G_1.平面PAD；(2) AD±PB.证明(1)由题意知aPAO为正三角形，G是A。的中点，PG_1.AD又平面尸Ao_1.平面A8CQ,平面PAO平面ABCO=A。，尸GU平面尸A0,，尸G_1.平面ABCD,由BGU平面ABCDiPGlBG.又四边形ABCD是菱形且,DAB=60°,；AABO是正三角形,：,BG.1.AD.又ADCPG=G,AO,PGU平面总。，,BG1.平面PAD(2)由(1)可知8G_1.AD,PG-1.ADiBGCPG=G,BG,PGU平面P8G,.从。，平面PBG,又PBU平面PBG,：.AD1.PB.通性通法直我垂直两平面交线.1.面面垂直线面垂直f线线垂直.由面面垂直证明线面垂直，一定注意两点：直线必须在其中一个平面内；直线必须垂直两平面交线.2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线.Cf跟踪训练如图，在三棱柱ABC-A山IG中，BC=CG,平面AlBG_1.平面8CG8.证明：平面ABC.平面A/G.证明：在三棱柱ABC-A山IG中，四边形3CG8为平行四边形,因为BC=CG,所以四边形BCGa为菱形，所以BiClBCi,又平面ABC，平面BCG8,且平面AI8GC平面BCG8=BG,囱CU平面BCGb,所以BiCJ_平面ABG,因为BICU平面A5C,所以平面A8iC_1.平面AiBG.题型三空间垂直关系的综合应用【例3】如图，在四棱锥P-ABC。中，ABCD,AB1.ADfCD=IABf平面尸4£)，平三ABCD,PA1.ADiE,F分别是C。，尸C的中点求证：(1)PA_1.平面A8C0；(2)BE平面PAD；(3)平面BE凡1.平面PCD证明(1)因为平面PAo_1.平面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线A0,所以尸A_1.平面ABCD.(2)因为A8C。，CD=2AB1E为CO的中点，所以A8OE,且A8=0E,所以四边形ABEO为平行四边形，所以8EAD又BEC平面PA。，AoU平面PA。，所以3E平面PAD(3)由(2)知四边形ABEO为平行四边形，因为A8J_A。，所以四边形ABEO为矩形，所以1.CO,AD1.CD.由(1)知PA_1.平面A3CO,所以PA_1.CD因为PAAO=A,所以CE)J_平面P4。，所以CoJ_PD因为点E,尸分别是CO,尸C的中点，所以PDEF,所以CCE凡又EFCBE=E,所以CO_1.平面BEF.因为CQU平面尸8,所以平面BEZ1.1.平面尸CD通性通法1.熟练掌握垂直关系的转化，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化是解题的常规思路.2.垂直关系证明的核心是线面垂直，准确确定要证明的直线是关键，再利用线线垂直证明.Cf跟踪训练如图，平面PA8，平面ABC,平面尸Ae1.平面A5C,A£1平面PBC,点E为垂足.（1）求证：PA_1.平面A8C；（2）当点上为APBC的垂心时，求证：AABC是直角三角形.证明：（1）如图，在平面ABC内取一点。，作。尸_1.AC于点EV平面PAC1.平面ABC,且交线为AC,.,.DF±平面PAC.,：PAU平面PAC,：,DF1.P.作OG_1.AB于点G,同理可证OG_1.pAVDG,OF都在平面ABC内，且OGnoF=。，.PA1.平面ABC（2）如图，连接8E并延长交PC于点”.点E是APBC的垂心，JPC±BE.又AE上平面PBC,PCU平面P5C,：.PClAE.YAEBE=£,：.PC1平面ABE.又ABU平面ABE,PC±AB.由（1）知PAj_平面A5C,又ABU平面A5C,.PA±AB.9：PAQPC=Pf平面PAe又ACU平面PAC,AfilAC,即AABC是直角三角形.因随堂检测C1.下列命题中错误的是（）A.如果平面aJ_平面,那么平面内一定存在直线平行于平面B.如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面C.如果平面aJ_平面,平面平面,a=/,那么/平面YD.如果平面aJ平面,那么平面a内所有直线都垂直于平面P解析：D如果平面a_1.平面,那么平面内垂直于交线的直线都垂直于平面,其他与交线不垂直的直线均不与平面P垂直，故D中命题错误.2 .在四棱柱48CD-AIlGd中，已知平面AAlGCJ平面ABC。，S,AB=BCfAD=CDt则BO与CG（）A.平行B.共面C.垂直D.不垂直解析：C如图所示，在四边形ABCo中，*：AB=BC,AD=CDt,BO1.ACY平面A4iGC_1.平面ABCZ),平面AAIGC平面ABCO=AC,80U平面A8CO,BO1.平面AAIGC又CGU平面AAlGC,eo_1.CG.故选C.3 .如图，在斜三棱柱A8CABG中，n8AC=90。，BG_1.AG则点G在底面A8C上的射影点”必在（）印、A.直线A5上B.直线BC上C.直线AC上D.A46C内部解析：A连接AG（图略）.AC_1.A5,AClBCi,AB8G=B,AC1.平面ABG.又YACU平面A8C,平面ABGJ平面A8C,点C在平面ABC上的射影点“必在平面ABG与平面ABC的交线AB上，故选A.4 .如图，空间四边形ABCO中，平面A3。_1.平面BCD,zBAD=90o,RAB=AD,则AD与平面BCD所成的角是.解析：如图，过A作A。_1_8。于点。，平面A8O_1.平面8CO,，AOJ_平面SCO,则NAO。即为A。与平面BCD所成的角.n5AO=90°,AB=AD.:.zADO=45o.答案：45°三维徽城的求法方法一定义法求二面角【例1】如图，在三棱锥V-ABC中，VA=AB=VB=AC=BC=2fVC=3,求二面角V-AB-C的大小.解取AB的中点。，连接VD,CD,在AV8中，VA=VB=AB=If忆"为等边三角形，V0_1.A8且VD=V3t同理CD_1.A8,CD=3,.nV7)C为二面角V-AB-C的平面角,而ZkVOC是等边三角形，NVOC=60°,二面角V-AB-C的大小为60°.方法总结利用二面角的定义，在二面角的棱上找点，过点在两个平面内作棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角，解题时应先找平面角，再证明，最后在三角形中求平面角.方法二垂面法求二面角【例2】如图所示，在正方体ABCQ-AI8GU中，E,F,M,N分别是A8,BC,GU和BG的中点.（1）求证：平面MNE1.平面NEB（2）求二面角M-ERN的平面角的正切值.解（1）证明：TM尸均为所在棱的中点，,N口1.平面4SGOl.而MNU平面A1B1CiDi,：.NFIMN.又TM,E均为所在棱的中点，©和48NE均为等腰直角三角形,；nMNG=BNE=45°,；nMNE=90°,：.MNj1.NE.又NFCNE=N,工MNj_平面NEF.而MNU平面MNF,平面MNFl,平面NEE（2）在平面NEF中，过点N作NG_1.E产于点G,连接MG如图所示.由（1）得知MN_1.平面NEE又MU平面NEF,：MN±EF.又MNCNG=N,.E7，平面MNG,：.EFA.MG.：/MGN为二面角M-EF-N的平面角.设该正方体的棱长为2.在RtANEF中，NG=S=窄=递，EF63/.在RsMNG中，tan，MGN=吧=凛=%NG2323二面角M-E尸-N的平面角的正切值为当方法总结二面角中如果存在一个平面与棱垂直，且与二面角的两个半平面都相交，那么这两条交线所成的角即为该二面角的平面角.方法三垂线法求二面角【例3】如图，平面内一条直线AC,AC与平面所成的角为30。，AC与棱3。所成的角为45°,求二面角-BD-的大小.解如图，过A作AF_1.3O,尸为垂足,作AE1.平面,E为垂足，连接ERCE,由三垂线定理知BD_1.E/，.*.zAFE为二面角-BD-的平面角.依题意ZACr=45。，NACE=30°,设AC=2,F=CF=2,AE=9 .1.1._AE_1_2 snzAFEp,AF22JnA产£=45°. 二面角a-BD-的大小为45°.方法总结如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，应用三垂线定理可证明两垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角.方法四射影面积法求二面角【例4】在四棱锥P-ABC。中，四边形ABC。为正方形，PA_1.平面ABCO,PA=AB=小求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小.解如图，TPA,平面A6C0,ADCjFSABCDiPA1AD,AD1.ABi且PAA8=A,PA1A8U平面PA8,AOJ_平面PABi同理3C_1.平面PAB.ZkPCO在平面P8A上的射影为设平面PBA与平面尸C。所成的二面角为0,cosO-SAPAB-I0?_2VUbVI1.SAPeD-××22=45o.故平面PBA与平面PCo所成的二面角的大小为45°.方法总结若多边形的面积为S,它在一个平面内的射影图形的面积为S',且多边形与该平面所成的二面角为,则cos=.口跟踪训练1.如图，已知正三棱柱ABC-AiBG的各棱长都相等，则二面角4-8C-A的平面角的正切值为（）atB.3解析：D由正三棱柱48C-ABG的各棱长都相等，设棱长为mBC的中点为E,连接AiE,AE（图略），可得AIEj_8C,AElBC,所以二面角A-5C-A的平面角为nAEA,在RtAAE中，AE=-a,所以tanzAEA=-=-三-2AEy竺，即二面角AdaA的平面角的正切值为苧.2.九章算术是我国古代数学名著，书中将四个面均为直角三角形的棱锥称为“鳖膈”.如图，四面体P-ABC为鳖麻PAJ_平面A5C,A8J_BC,且PA=A8=1,BC=2,则二面角A-PC-B的正弦值为.解析：因为PAJ_平面A6C,PAU平面PAC,所以平面PACV平面ABC.过点8作60_1.AC于点。，过点。作。EJ_PC于点E,连接因为平面PACj_平面A8C,平面ACrl平面ABC=ACt60U平面ABCt所以80_1.平面PAC因为PeU平面PACt所以80_1.Pc因为OE_1.pC,BDCDE=D,BD,DEU平面BDE,所以Pc1.1.平面BoE因为BEU平面80E,所以PC_1.8E,所以二面角A-PC-8的平面角为/8ED因为A8_1.8C,且PA=AB=ItBC=2,PAj1.平面ABC,所以P8=,AC=3,PC=2,PB_1.3C又因为BE上PC,所以E为PC的中点，所以BE=1.由等面积法得30=孚因为5Q_1.平面PACt所以SinNMQ=翌.所以二面角A-PC-B的正弦值为第BE33答案：手