2023-2024学年人教A版必修第二册 8-6-2 第二课时 直线与平面垂直的性质 学案.docx

8.6.2第二课时直线与平面垂直的性质新课程标准解读1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系核心素养数学抽象2.归纳出直线与平面垂直的性质定理逻辑推理3.了解直线与平面、平面与平面的距离直观想象G知识梳理.读教材A基础落实高效学习I.、：'IIb情境导入.问题（1）如果直线。垂直于一个平面,直线b与直线。平行，那么直线b与平面是否垂直？猜测结果并说明理由；（2）如果两条宜线同时垂直于一个平面，那么这两条直线具有怎样的位置关系？猜测结果并说明理由.町新知初探知识点一直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线一符号语言；j=»abab图形语言/11/平行侈想一想在长方体ABCD-A,8C7中,直线又有什么样的位置关系'棱4T,8"所在直线与平面ABCO位置关系如何？这两条Dl<C,、Ji。线面垂直=线线平行：作平行线提示：棱4,BZr所在直线都与平面ABCO垂直；这两条直线互相平行.知识点二线面距与面面距1.直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离.2 .平面与平面的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等.给想一想是不是任意的直线与平面、平面与平面间都有距离？提示：不是.只有当直线与平面平行、平面与平面平行时才涉及距离问题.自做一做1SA5C所在的平面为,直线1.1.AB,1.1.AC,直线m_1.BGm±AC,则直线/,加的位置关系是（）A.相交B.异面C.平行D.不确定解析：CVZ±AB,±AC,A3AC=A,/_1.平面A8C,同理6_1_平面ABC,，/九3 .若直线A8平面a,且点A到平面a的距离为2,则点B到平面a的距离为.答案：24 .如图，°ADEF（l½AF±5FJMABCD,且A/=2,CO=3,则CE=.解析：因为四边形ADEF为平行四边形，所以A尸0E且AF=DE.因为AF_1.平面ABCD,所以OE_1.平面ABCD所以OEJ_OC.因为A7=2,所以。E=2.又CD=3,所以CE=JCD2÷DE2=9T4=13.答案：13&题型突破析典例-技法归纳活学活用题型一线面垂直有关性质的理解例1已知直线怙和平面a,若_1.a,则"ua”是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件C.充要条件解析若_1.a,mU,则_1.m,故充分性成立，若11±,则mUa或ma,故必要性不成立，故“mUa”是“_1_机”的充分不必要条件.故选A.答案A通性通法1 .线面垂直的性质定理揭示了“垂直”与“平行”这两种特殊位置关系之间的转化.2 .常用的线面垂直的性质还有：6J_a,aUa=OJ_a;q_1.a,ba=b工aa_l_a,a_1.p=ap.（3,跟踪训练（多选）如图，在正方体ABCD-ABiG。中，M是A6上一点，N是AIC的中点，MNA.平面AQG则下列选项正确的是（）A.A。与平面AQC相交3 .4G_1.平面AloCC.A。与MN异面D,ADMN解析：ABD因为A0AO=O,则点O平面AloC且点A阵平面AQC,A正确；因为Aoll.40,AD±CD,且CQnAi。=。，所以ADl_1.平面AQC,B正确；又因MNJ1.平面AoC,则A£>iMN即D正确，C错误.故选A、B、D.题型二直线与平面垂直的性质的应用【例2】在正方体A8CD481G。中，点E,F分别在AN，AC上，EF±AlD,EFYAC,求证：EF/BD.证明如图所示，连接AIG,GD,BD,BD.,ACACtEF±ACf：.EF±ACl.又£7UA,AlonAIG=4,EF_1.平面AICI0,平面A/IGO,AlGU平面AHGO1,B1±AlC.I四边形A/CQl为正方形,AAiCi±BiDh又3O8B=8,AiG_1.平面BBiOQ,而8。IU平面BB1DiD,"iG同理。G_1.BDi.又OGAC=G,8£)|_1.平面AIG0,由可知EFBO通性通法证明线线平行常用的方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行基本事实：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.0跟踪训练如图，在四棱锥P-ABCQ中，底面ABC。是矩形，A3_1.平面PAQ,AD=AP,E是PO的中点，M,N分别在A8,尸C上，且MAT1.AB,MNJ_PC.证明：AE/MN.证明：因为A8_1.平面PA。，AEU平面抬0,所以Afi1.1.AB,又A8C£>,所以AE_1.CD因为AD=AR七是尸。的中点，所以AE_1.PD又CDePD=D,CD,PoU平面Pe。，所以AEJ_平面PCD因为MN_1.A6,AB/CD,所以MA1.1.CD又因为MN_1.PC,PCCCD=C,PC,CQU平面PC0,所以MNJ_平面PC。，所以4EMN.间中的距离问题例3如图，在棱长为a的正方体ABCD-ABCQl中求出下列距离:（1）点A到平面5BD。的距离；（2）点C到平面60G的距离.解（1）连接AC（图略），易证ACj_平面88DO,所以点A到平面8所。的距离为面对角线AC的3，即日（2）设点C到平面80G的距离为h,三棱锥CBOG的体积为V,在G中，BD=DC=BC=g,则ABOG的面积为苧X（2）2=y2,由等体积法可得Vr=IXlXaXaXa=I义与力，解得=争.所以点C到平面BDCi的距离为争.通性通法求点到平面的距离的两种方法（1）构造法：根据定义构造垂直于平面的直线，确定垂足位置，将所求线段化归到三角形中求解；（2）等积变换法：将所求距离看作某个几何体（多为棱锥）的高，利用体积相等建立方程求解.无论是求直线与平面的距离还是求平面与平面的距离，最终都转化为点到平面的距离.团跟踪训练1 .已知正方体A8CD-48GA的棱长为近，平面ABA到平面BGo的距离为（）A.立B.在C.在D.渔2 236解析：C因为两平面平行，所以原问题等价于求解点Cl到平面ASn的距离力，由等体积法可得嗅棱锥Ci必=A棱叱配必，即A×××22×sin600=×i×2×2×2,解得仁M即平面AOG到平面BGD的距离为当2.如图，在底面是直角梯形的四棱锥RABCO中，侧棱PAJ_底面A8CZnA8C=90。，PA=AB=BC=2fAD/BC,求A。到平面PBC的距离./多-)dBljY解：因为AOBC,Aoe平面P5C,8CU平面PBC,所以A。平面PBe所以AO到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离，因为侧棱PA_1.底面A6C。,所以尸A_1.A8,PA1.BCf因为n48C=90°,BPABlBCf因为PA48=A,所以Be1.平面P48,所以BC.1.PB,因为PA=AB=8C=2,所以P8=2,设点A到平面PBC的距离为d,则由Vp-abc=V幡搂A/8C得"ASaa8c=%S"8c,所以;X2XJX2X2=JdX2X2,55J/04得d=,所以A。到平面PBC的距离为一随堂检测.1 .在空间中，到一圆周上各点距离相等的点的集合表示的图形是()A.一个点B.一条直线C1.个平面D.一个球面解析：B过圆的圆心作此圆所在平面的垂线，则垂线上的点到圆周的各点距离相等,所以到一圆周上各点距离相等的点的集合是一条直线.故选B.2 .已知直线/D平面于点O,Ma,B4a,且OA=A8.若ACJ_平面a,垂足为C,8O_1.平面a,垂足为。，AC=If贝J80=()A.2B.1C.-D.-22解析：A如图，因为AC1.平面a,以U平面a,所以4CBD.连接0。所以的=MOBBD因为OA=A&所以器=；.因为AC=I,所以8£)=2.故选A.OB23 .已知PA垂直于平行四边形A3C。所在平面，若PC±BD,平行四边形ABCO一定是.解析：易知8。_1_平面PAe，3O_1.4C又四边形ABCQ是平行四边形，,平行四边形ABa一定是菱形.答案：菱形4 .如图，已知底面是正方形的四棱锥，一条侧棱与底面垂直，它的长与底面边长相等,长度均为1,那么该棱锥中最长的棱长是.解析：如图，尸Cl平面A8CO,则PA是最长的棱，连接AC,因为PU1.平面ABCdACU平面ABCD,所以PC_1.AC,因为四边形A8C。为正方形，且边长为1,所以AC=,所以PA=JpC2+y4C2=T2=3.答案：百