2023-2024学年人教A版必修第二册 8-6-3 第一课时 平面与平面垂直的判定 学案.docx

8.6.3平面与平面垂直第一课时平面与平面垂直的判定新课程标准解读核心素养1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系数学抽象2.了解二面角的相关概念，平面与平面垂直的定义逻辑推理3.归纳出平面与平面垂直的判定定理数学运算G知识梳理.读教材时基础落实高效学习U-.JII蛇情境导入.如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”变大的感觉.问题你认为应该怎样刻画不同的面面“夹角”呢？/新知初探.知识点一二面角1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.2.相关概念二面角的棱二面角的面AB(Z),记法二面角a-AB-;二面角a-;二面角P-IQ二面角P-AB-Q3.二面角的平面角(1)定义：在二面角-B的棱/上任取一点。，以点。为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱I的射线OA和08,则射线OA和OB构成的“。8叫做二面角的平面角;(2)范围：0°WaW180°；(3)直二面角：平面角是直角的二面角.白想一想二面角与平面几何中的角有什么区别？提示：平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图形；二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.知识点二平面与平面垂直1 .平面与平面垂直的定义(I)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直；(2)画法：(3)记作：al己，2 .平面与平面垂直的判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的那么这两个平面垂直符号语言aUQ,6t±=>J.«a-图形语言I_1./I提醒判定定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线.想一想“过平面外一点，有且只有一个与已知平面垂直的平面”对吗？提示：不止一个，事实上有无数个，过平面外一点可以作平面的一条垂线，过该垂线可以作出无数个平面，由平面与平面垂直的判定定理可知这些平面都与已知平面垂直，所以过平面外一点，可以作无数个与已知平面垂直的平面.口做一做1 .如图所示的二面角可记为（）A.-ZBM-I-NC.l-M-ND.-a解析：B根据二面角的记法规则可知B正确.故选B.2 .在二面角a-的棱/上任取一点0,若NAO8是二面角a-0的平面角，则必须具有的条件是（）AA0±B0,AOUa,BOUBB.A0.1.1.BO1.lC.AB1/,AoUa,BoUPDAO-1.lfBO±lf且AoUa,80U答案：D3.已知1.1.a,则过/与a垂直的平面（）A.有1个B.有2个C.有无数个D.不存在解析：C由面面垂直的判定定理知，凡过/的平面都垂直于平面a,这样的平面有无数个.技法归纳活学活用题型突破析典例题型+面角大小的计算【例1】如图，四边形A8C。是正方形，PAJ_平面A8CO,且PA=A8.（1）求二面角A-PQ-C的大小;（2）求二面角RPAC的大小.解（1）%_1.平面ABCf>,PA±CD.又四边形ABCO为正方形，：.CDlAD.*：PAQAD=i.C0_1.平面PAD又CQU平面PCD,平面PADl平面PCD.工二面角A-PD-C的大小为90°.（2）PA_1.平面A8C0,.AB±P1AC1.PA.n8AC为二面角B-PA-C的平面角.又四边形A5CD为正方形，BAC=45o.即二面角RPA-C的大小为45°.通性通法求二面角大小的步骤4>作出平面角一J证明所作的角满足定义，即为所求二面角的平面1!将作出的角放在三角形中，计算出平面角的大小简称为“一作二证三求”.提醒作平面角时，要清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要，选择特殊点做平面角的顶点.M跟踪训练在正四面体A-BCO中，二面角A-CD-8的平面角的余弦值为（）解析：B由A-BCD为正四面体，取8的中点E,连接AE,5E（如图），则AEICQ,BElCDiAECBE=E,，8_1_平面/15£：,ZAEB为二面角A-CZ）-8的平面角，设正四面体的棱长为1,则AE=BE=立,AB=1,在AABE中，作AH1.BE于H,则cosAEB=-,2AE由AB2-Bl2=AE2-HE2且BH=BEHE,可得HE=咚,.coszAE3=±故选B.63A题型二平面与平面垂直的证明【例2】如图所示，在四面体A-BCS中，已知n8SC=90。，5A=C5=60o,S=S8=SC.求证：平面A8CJ_平面SBC.ASAC证明法一（定义法）因为n5SA=CSA=60°,SA=SB=SC,所以AASB和AASC是等边三角形，则有SA=SB=SC=AB=ACf令其值为a,则AABC和ASBC为共底边BC的等腰三角形.取BC的中点。，连接AO,SD,如图所示，则Ao_1.BC,SDlBCi所以NAoS为二面角4-8C-S的平面角.在RSBSC中，因为SB=SC=a,所以SQ=苧mBD=y=ya.在RsAB。中，D=ya,在AADS中，因为SD2-I-AD2=SA2t所以nAOS=90°,即二面角AdC-S为直二面角,故平面A8C_1.平面SBe法二（判定定理法）因为SA=SB=SC,且n8SA=nCSA=60°,所以SA=AB=AC,所以点4在平面SBC上的射影为ASBC的外心.因为ASBC为直角三角形，所以点A在ASBC上的射影。为斜边BC的中点，所以AO_1.平面SBC.又因为AoU平面ABG所以平面ABC1.1.平面SBC通性通法证明面面垂直常用的方法(I)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角：(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.口跟踪训练1.如图，在边长为a的菱形ABCO中，nA8C=6(,Pc1.平面A8CZ),求证：平面尸£>8_1.平面PAC.证明：.PC1.平面A8C。，8。U平面ABCz),PClBD. 四边形A6C0为菱形，：.AC-1.BD1又PCAC=C,PC,ACU平面尸AC, 6O_1.平面PAC. 8。U平面PDB,：平面PDB面PAC.2.如图，在正三棱柱A8CA8G中，A8=4,A41=32,M,N分别是棱AQ,AC的中点，E在侧棱A上，且AE=2E4,求证：平面平面8EN.R证明：在正三棱柱ABe-A8G中，A4平面ABC,BNU平面A6C,则AA因为N是棱AC的中点，ZkABC为正三角形，则8N_1.AC.因为AAlCAC=A,所以8N_1.平面AAICIC,MEU平面AAlGC,BN1.ME.又A8=4,=32,iE=2EA9所以E4=,1E=22,因为然=*=,NNAE=NE4M=90°,A1MAE所以RtA4EMSRlAANE,故ZAIEM=ANE,NAlEM+zAEN=ANE+zAEN=9O°,则有NMEN=90°,故EA1.1.ME因为ENCBN=N,所以ME上平面BEN,又MEU平面ME8,所以平面平面BEN.因随堂检测。1 .下列说法：两个相交平面所组成的图形叫做二面角；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角：二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系.其中正确的个数是（）A.0B.lC.2D.3解析：A根据二面角的定义知两个相交的半平面所组成的图形叫做二面角，故错误；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作棱的垂线所成的角，故错误；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置无关，故错误.所以©都不正确.故选A.2 .若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角（）A.相等B.互补C.相等或互补D.关系无法确定解析：D如图所示，平面EFoG_1.平面ABC,当平面“QG绕OG转动时，平面”£>G始终与平面BCO垂直，因为二面角"-Z）G-厂的大小不确定，所以两个二面角的大小关系不确定.3 .如图所示，在三棱锥A-BC。中，AD±BC,BDlADt且48CD是锐角三角形，那么必有（）B,A.平面ABO_1.平面AoCB.平面A8O_1.平面ABCC.平面A0C_1.平面BCDD.平面A8C_1.平面BCO解析：CVAD±BC,BD-1.ADjBCCBD=B,BCU平面BCD,BDU平面BCD,；AD1.平面BC7AOU平面AOC,平面AoC_1.平面5CD故选C.4.如图所示，A8是。的直径，PA垂直于。所在的平面，C是圆周上的一点，且PA=AG则二面角P-BC-A的大小为.解析：PAJ_平面ABC,5CU平面ABC,PAJ_5C.AB是。的直径，且点C在圆周上，AC_1.8C又尸AAC=A,PA,ACU平面尸AC,，8C_1.平面PAC,而PeU平面尸AC,PCJ1.BC又.5C是二面角P-BC-A的棱，.nPCA是二面角P-3C-A的平面角.由PA=AC知，ZlPAC是等腰直角三角形，.nPCA=45°,故二面角P-BC-A的大小是45°.答案：45°