2023-2024学年人教A版必修第二册 8-6-2 第一课时 直线与平面垂直的判定 学案.docx

8.6.2直线与平面垂直第一课时直线与平面垂直的判定新课程标准解读核心素养1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间数学抽象中直线与平面的垂直关系2.归纳出直线与平面垂直的判定定理逻辑推理宜观想象基础落实高效学习3.了解直线与平面所成角知识梳理读教材匚此情境导入木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向（但不是相反的方向）检查两次，如图.如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直.问题（1）用“1.”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？（2）上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？股新知初探.知识点一直线与平面垂直1.定义：如果直线/与平面内的任意一条宜线都垂直,我们就说直线/与平面互相垂直，记作1.a.2.相关概念垂线垂面直线/叫做平面的垂线平面叫做直线/的垂面垂足直线与平面唯一的公共点垂线段过一点作垂直于已知平面的宜线，该点与垂足间的线段点到平面的距离垂线段的长度3性质：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.侈想一想如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？提示:不一定.如图，长方体ABCD-ABiCD中，在棱AB上任取一点E,过点E作EF/AD交Co于点F,则这样的直线能作出无数条，显然A8垂直于平面ABCO内的无数条直线，但ABU平面A8C。，故直线A8与平面A6C0不垂直.不仅如此，因为所以直线48也垂直于平面ABCD内的无数条直线，但是直线43平面ABCD知识点二直线与平面垂直的判定定理文字如果一条直线与一个平面内的两条相交一直线垂直,那么该直线与此平面语言垂直符号"2<,nUa,mCn=P,I1.m,1.a语言I图形xl/m/语言提醒（1）判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，此处强调相交，若两条直线不相交（即平行），即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直；（2）要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可.至于这两条直线是否与已知直线有交点，这是无关紧要的.知识点三直线与平面所成的角有关概念对应图形斜一条直线/与一个平面a相交，但不与这个平面垂直，这J/线条直线叫做这个平面的斜线z7斜斜线和平面的0点A叫做斜足zV足射过斜线上斜足以外的一点尸向平面引垂线尸O,过垂足。影和斜足A的直线Ao叫做斜线在这个平面上的射影对应图形有关概念定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的,娃匕角，叫做这条直线和这个平面所成的角.直线与匹而的规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是IIhIJtT成的角90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是一的取值范围0°<090°提醒（1）斜线上不同于斜足的点尸的选取是任意的：（2）斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段.口做一做1 .直线/J平面,直线zuct,则/与Z不可能（）A.平行B.相交C.异面D.垂直解析：A因为/_1.a,所以/垂直于平面a内的每一条直线，又m<=,所以/_1.z,所以直线/与“不可能平行.2 .若三条直线。4,OB,OC两两垂直，则直线OA垂直于（）A.平面0/WB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC解析：C由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.故选C.3 .如图，在正方体A8CQ-A8GG中，直线45与平面ABCD所成的角等于ABi与平面ADDiAi所成的角等于:AB1与平面DCCiDi所成的角等解析：8A8为ABi与平面ABCO所成的角，即45°n8A4为4以与平面4。IMI所成的角，即45。；A8与平面OCGA平行，即所成的角为0°.答案：45°45°0°&题型突破析典例-技法归纳活学活用1.-.I.一题型一面亩垂直概念的理解例1下列命题中正确的是（填序号）.若直线/与平面内的一条直线垂直，则1.1.a；若直线/不垂直于平面a,则a内没有与/垂直的直线：若直线/不垂直于平面a,则a内也可以有无数条直线与/垂直；过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.解析当/与a内的一条直线垂直时，不能保证/与平面a垂直，所以不正确；当/与a不垂直时，/可能与a内的无数条平行直线垂直，所以不正确，正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以正确.答案通性通法1 .直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.2 .由定义可得线面垂直=线线垂直，即若a_1.a,bu<x,则a_1.b.Ef跟踪训练设/,?是两条不同的直线，a是一个平面，则下列命题正确的是（）A.若/_1./n,zn±a»则/aB.若/J_a,IHm、则相_1.aC.若/a,mUa,则/"zD.若/a,ma,则/？解析：B对于A,/a或/Ua,故A错误；对于B,因/_1.a,则/垂直a内任意一条直线，又/由异面直线所成角的定义知，机与平面a内任意一条直线所成的角都是90°,即?_1.a,故B正确；对于C,也有可能是/,相异面，故C错误；对于D,/,m还可能相交或异面，故D错误.题型二直线与平面垂直的判定【例2】如图所示，RSABC所在的平面外一点5,SA=SB=SCf点。为斜边AC的中点.求证：直线Szl1.平面ABC证明SA=SC,点。为斜边AC的中点，SD±AC.如图，连接80,在RSABC中，AD=DC=BD,：AADSgABDS,：.,ADS=,BDS,.SO_1.8QIAC8O=O,S0_1.平面ABC口母题探究（变条件，变设问）在本例中，若AB=BC,其他条件不变，则8。与平面SAC的位置关系是什么？解：AB=BC,点O为斜边AC的中点，：.BD±AC.又由例题知SO_1.BD于是3D垂直于平面SAe内的两条相交直线，故5O_1.平面SAC.通性通法证明线面垂直的方法（1）由线线垂直证明线面垂直：定义法（不常用）；判定定理（最常用），要着力寻找平面内的两条相交直线（有时需要作辅助线），使它们与所给直线垂直.(2)平行转化法(利用推论)：®a/bf1.a=h_1.a;Ctp,a_1.a=a_1.p.(3.跟踪训练如图，A5为。的直径，PA垂直于OO所在的平面，M为圆周上任意一点，ANA.PM,N为垂足.(1)求证：AA1.1.平面尸5M；(2)若A。，。以垂足为。，求证：NQ1.PB.证明：(1);NB为Oo的直径，：.AM±BM.又PA_1.平面A8M,BMU平面A8M,：.PA1.BM.又Y尸AAM=A,PA1AMU平面PA例，3M_1.平面PAM.又ANU平面PAMt：.BM1.AN.又AA1.1.PM,且8MPM=M,BM,尸MU平面尸8例,AN_1.平面PBM.(2)由(1)知AA1.1.平面P5M,又PBU平面PBM，AN_1.PB.又.AQ_1.P8,ANdAQ=A1AN,AQU平面ANQ,，PBJ_平面ANQ.又NQU平面ANQ,：,PB-1.NQ.题型三直线与平面所成的角【例3】如图所示，在RIABMC中，斜边6M=5,它在平面ABC上的射影AB长为4,BC=60o,求MC与平面CAB所成角的正弦值.M解由题意知A是M在平面ABC上的射影,.MC在平面CA8上的射影为AC.nMCA即为直线MC与平面CAB所成的角.又Y在RSMBC中，BM=5,MBC=60o,：.MC=BMainzMBC=5fin6()o=5×y=.在RtZkMAB中，MA=JmB2-AB2=yJs242=3.RsMAC中,SmNMCA=芯=方=可.即MC与平面CAB所成角的正弦值为学.通性通法求斜线与平面所成角的步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线,再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算；(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角；(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.Zftl踪训练OAB解：连接BG,设BG与BC相交于点。，连接4OaB设正方体的棱长为.因为AIBl"1.8C,AlB±B,BjCiBiB=Bi,BiCif所以48_1.平面BCCM所以ABlJ_8G.88U平面BCCiBi,如图，在正方体A8CQ-48GO中，求直线A山和平面4。CBl所成的角.又因为8GJ8C,AiB1QB1C=BhiBi,8CU平面AIOCBi,所以BG_1.平面40C8,所以4。为斜线A山在平面AlOC8上的射影，n8A0为48和平面AOC囱所成的角.在RtzA山。中，A=2a,Bo=专a,所以B0=B.所以n8AO=30°,所以直线A8和平面AlOC囱所成的角为30°.随堂检测,1 .已知直线a,b,C和平面,下列条件中，能使机_1.a的是（）Aan-1.hfm_1.c,Z?J_a,C-1.aB.m1.b,baC.mCb=A,b,1.aD.m/b,1.a解析：DmJ.b,zn±c,O_1.a,c±a,则m与a可能平行或ZnUa,故A错误；m-1.b1ba,则m与a可能平行或相交或mUa,故B错误；nZ>=A,6_1.a,则机与a可能平行或相交或mua,故C错误；由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确.故选D.2 .如图，a=/,点A,CWa,点8,且8A_1.a,BC±,那么直线/与直线AC的关系是（）A.异面B.平行C.垂直D.不能确定解析：C因为84J_a,a=/,ca,所以BAJJ.同理5C_U,又A43C=8,则1.1.平面ABC因为ACU平面ABC,/_1.AC.故选C.3 .如图，在四棱锥P-ABCo中，底面ABC。为矩形，PA_1.平面ABCZ）,则图中共有直角三角形的个数为->D/2解析：.PA_1.平面A8CO,：.PA1.BCiXBC±AB,BC1.1.平面PAA同理得Co_1.p。，故共有4个直角三角形.答案：44 .在长方体ABCfMl86O中，AB=BC=2,AA1=I,求AG与平面A6C0所成角的正弦值.解：如图，连接AC,在长方体ABCfMiBiCiDi中,CCi±jP®ABCD,：.zCiACAC与平面ABC。所成的角，在Rt2GCA中，SinzCiAC=-=r1=-.AC】J1+22+223