2023-2024学年人教A版必修第二册 8-6-1 直线与直线垂直 学案.docx

8.6空间直线、平面的垂直8.6.1 宜线与宜线垂宜新课程标准解读核心素养1 .借助长方体，通过直观感知，了解空间中宜线与直线垂宜的关系逻辑推理2 .会求两异面直线所成的角直观想象高效学习G知识梳理读教材口基础落实,此情境导入,如图所示，正方体ABCD-A由GD中，A8与BiG异面，A8与豆。也异面.问题（1）宜观上，你认为这两种异面有什么区别？（2）如果要利用角的大小来区分这两种异面，你认为应该怎样做？新知初探,知识点一异面直线所成的角1 .已知两条异面直线,b,经过空间任一点。分别作直线优,b7b,我们把直线与_幺_所成的角叫做异面直线与b所成的角（或夹角）.2 .空间两条直线所成角的取值范围是0°90°.提醒（1）两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点。的位置选取无关；（2）找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.知识点二直线与直线垂直如果两条异面直线所成的角是一，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线“与直线b垂直，记作Jb.提醒两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形.自做一做1 .设4,b,C是三条直线，且c_1.a,C-1.b,则和6()A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能解析：D如图，若。=c,DICl=a,AlDl=4则。和b相交；若。=c,D1C=,D=bi则。和b异面；若。Z)I=C,DC=a,DC=b,则和b平行，所以空间中垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面.故选D.2 .设P是直线/外一定点，过点P且与/成30。角的异面直线()A.有无数条B.有两条C.至多有两条D.有一条解析：A过点尸且与/成30°角的异面直线有无数条，并且异面直线在以尸为顶点的圆锥的侧面上.故选A.3 .若NAoB=I20°,直线。4,。与03为异面直线，则。和08所成的角的大小为.解析：因为aOA,根据等角定理，又因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以4与03所成的角为60。.答案：60°技法归纳活学活用回G题型突破.析典例口题型一求异面直线所成的角【例1】在空间四边形ABCO中，AB=CD,且AB与CO所成角为3()。，E,F分别为BC,A。的中点，求七尸与AB所成角的大小.解如图所示，取AC的中点G,连接EG,FG,A则EGB且EG=ABtGF/CD且GF=CD.由AB=Co知EG=FG,从而可知NGEF为E尸与AB所成的角，NEGF或其补角为AB与CO所成的角.CAB与CD所成角为30°,JnEGF=30。或150°,由EG二产G知AEFG为等腰三角形，当NEG产=30°时，NGEF=75°,当NEG产=150°时，NGEF=I5°,故所与AB所成角的大小为15°或75°.通性通法求两异面直线所成角的一般步骤(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角；(2)计算角：求角度，常利用三角形：(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.提醒找异面直线所成的角，可以从如下“口诀”入手：中点、端点定顶点，平移常用中位线；平行四边形中见，指出成角很关键；求角构造三角形，锐角、钝角要明辨；平行直线若在外，补上原体在外边.Cf跟踪训练1.如图，在三棱锥PABC中，PA=PB=CA=CB=S,A8=PC=2,点0,E分别为48,PC的中点，则异面直线尸£>,BE所成角的余弦值为(PE112C.-4解析：B23BRD.-6如图，连接C。，取CO的中点F,连接E凡BF,则所PD,n8£尸为异面直线尸。，8E所成的角.由题意可知PO=CO=B七=2乃，EF=瓜BF=J(6)2÷12所以c°s8M=总照g=爱故选B.2.如图，在正方体A8CO-EFGH中，0为侧面AO"E的中心，求：(1)BE与CG所成的角;(2)/。与8。所成的角.解：（1）YCGFB,.nE8f是异面直线BE与CG所成的角.在Rt尸8中，EF=FB,：.EBF=45o,：BE与CG所成的角为45°.(2)如图，连接/77,HG易知FB=HD,FB/HD,J四边形FBDH是平行四边形，naFO或其补角是尸。与8。所成的角，连接AFf则是等边三角形，又O是A的中点，：工HFo=30°,FO与8。所成的角为30°.题型二证明直线与直线垂直【例2】在正方体AG中，E,尸分别是4%,BiG的中点，求证：DBjEE证明如图，连接AeBlDlt并设它们相交于点O,取OS的中点G,连接OG,AiG,GG.则OG/BiDtEFAC.nG04为异面直线。丛与EF所成的角或其补角.VGAi=GCi,O为AlCl的中点,GOIAiCi.J异面直线OB与EF所成的角为90。，即O6i"1.EF.通法证明空间中两条直线垂直的方法(I)定义法：利用两条直线所成的角为90。证明两直线垂直；(2)平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等.0.跟踪训练在直三棱柱A8C48G中，ACA.BC,求证：C±BC.证明：如图，连接A3,设明G=0,BC=b,AA=h,则A序=d+比因为三棱柱ABe-AISG是直三棱柱,所以n88G=nAA8=90°,所以BC/=+力2,AB2=a2+2+2,所以482=AiC+8C,则AIGJ1.8G,即NAlGB=90°.又因为4C4G,所以NAlC出就是直线Ae与BG所成的角,所以ACJ_8G.局随堂检测1 .如图所示，在正方体ABCQ-A由IGDl中，下列直线与垂直的是（BAz)DBCA.BCiCAC解析：C连接班）（图略），四边形A5CD为正方形，：.AC1.BD,VBDJBD,2 .如图，在直三棱柱A8C-A8G中，若AB=AC=A=1,BC=2,则异面直线Ae与囱G所成的角为（）A.90oB.60oC.45oD.30o解析：B根据题意可得BC为G,故NAICB为异面直线Ac与SG所成的角或其补角.连接A8（图略），在4A8C中，BC=AiC=AI=VZ故"iC8=60。，即异面直线AC与BlG所成的角为60。.故选B.3 .（多选）四棱锥尸-ABCQ的所有棱长都相等，MfN分别为PA,Co的中点，下列说法正确的是（）AMN与Po是异面直线B.MN平面PBCCMN/ACDMNSB解析：ABD由题意可知四棱锥尸-A5CD所有棱长都相等，M,N分别为PA,CD的中点，MN与PD是异面直线,A正确；取尸8的中点为H1连接MH,HC,可得MNC,所以MN平面P8C,B正确；因HCAC=C,C不正确；因为HCtPB,所以MNJ_尸5,D正确.故选A、B、D.4 .如图所示，在正方体ABCQ-A由IGDI中，异面直线A由与ADl所成的角大小为.解析：连接8G,AG（图略），8G"AO,异面直线A由与Ad所成的角即为直线A山与BG所成的角.在A山Cl中,A1B=BCi=AiCi,/.A1BC=60o,故异面直线A山与AD所成的角为60°.答案：60°