2023-2024学年人教A版必修第二册 第十章 概率与其他知识的综合问题 学案.docx

CS翁提刀漆概率与其他知识的综合问题百G题型突破析典例O-技法归纳活学活用题型一概率与函数、方程的综合问题例1(1)已知A=l,2,3,B=xRIf-0r+b=0,a三A,b三Af则A3=B的概率是()A.-B.-93C.;D.1(2)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为小b,则为整数的概率是.解析(1)因为A,所以可用列表法得到样本点的总个数为9(如下表所示).b123a1 (1,1)(1,2)(1,3)2 (2,1)(2,2)(2,3)3 (3,1)(3,2)(3,3)因为AB=B,且5至多有两个元素，所以8可能为。，1,2,3,1,2,1,3,2,3.当8=。时，/-4bV0,满足条件的,b为a=l,b=l,2,3；=2,b=2,3；4=3,b=3.当8=1时，满足条件的a,b为a=2,b=l.当8=2,3时，没有满足条件的b.当3=1,2时，满足条件的mb为a=3,b=2.当B=2,3),1,3时，没有满足条件的。，4综上，符合条件的结果有8种.故所求概率为青(2)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，(mb)的所有样本点为(2,3),(2,8),(2,9),(3,2),(3,8),(3,9),(8,2),(8,3),(8,9),(9,2),(9,3),(9,8),共12个，其中log28=3,log39=2为整数，所以Iog为整数的概率为W6答案(I)C(2)-6通性通法对于涉及方程、函数的概率问题，解题的关键是求出所求事件包含的样本点的个数.解决此类问题只需表示出方程(组)的解，利用函数知识找出满足条件的情况，从而确定样本点的个数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可.Cf跟踪训练有一道关于“冰糖葫芦”的题：一个小摊上摆满了五彩缤纷的冰糖葫芦，冰糖葫芦有两种，一种是5个山楂；另一种是2个山楂、3个小桔子.若小摊上山楂共640个，小桔子共360个，现从小摊上随机选取一个冰糖葫芦，则这个冰糖葫芦是5个山楂的概率为（）A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6解析：B设5个山楂的冰糖葫芦有1个，2个山楂、3个小桔子的冰糖葫芦有y个，则5x+2y=640,解得=80,故样本点总数为80+120=200,“冰糖葫芦是5个山楂”包含的样本点个数为80,则这个冰糖葫芦是5个山楂的概率为黑=0.4.题型二概率与统计的综合问题角度一：古典概型与统计的综合问题【例2】某高校为了“制定培养学生阅读习惯，指导学生提高阅读能力”的方案，需了解全校学生的阅读情况，现随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：时）并绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）求这200名学生每周阅读时间的中位数。（精确到0.01）：（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间在6.5,7.5）,7.5,8.5）内的学生中抽取6名参加座谈会.你认为6个名额应该怎么分配？并说明理由；从这6名学生中随机抽取2人，求至多有1人每周阅读时间在7.5,8.5）内的概率.解（1）V0.03÷0.1+0.2=0.33<05,0.03+0.1+0.2+0.35=0.68>0.5,工中位数8.5,9.5),由0.03+0.1+0.2+(8.5)×0.35=0.5,解得=强答+8.58.99.(2)应从每周阅读时间在6.5,7.5)内的学生中抽取2名，从每周阅读时间在7.5,8.5)内的学生中抽取4名.理由：每周阅读时间在6.5,7.5)内与每周阅读时间在7.5,8.5)内是差异明显且不重叠的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层随机抽样的方法抽取样本，两者频率分别为0.1,0.2,应按照1：2的比例进行名额分配.设从每周阅读时间在6.5,7.5)内的学生中抽取的2人为A,A2,从每周阅读时间在7.5,8.5)内的学生中抽取的4人为5,&,Ba,从这6人中随机抽取2人的所有样本点有15个，分别为(Ai,A2),(Ai,Bi),(A1,B2),(A1,&),(Ai,B4),(A2,BD,(A2,B2),(A2,&),(A2,(Bi,&),(囱，B3),(Bi,Ba),QB?,&)*(&,Ba),(当，B4).设“至多有1人每周读书时间在7.5,8.5)内”为事件A,则A中有9个样本点，分别为(4,A2),(Ai,B),(Ai,B2),(A1,B3),(Ai,(A2,B,),(A2,82),(A2,(A2,BQ.，至多有一人每周阅读时间在7.5,8.5)内的概率为P（八）=.角度二：相互独立事件的概率与统计的综合问题【例3】某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持,对学生进行简单随机抽样,获得数据如下表:男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.(1)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；(2)从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；(3)将该校学生支持方案二的概率估计值记为外，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为0,试比较PO与Pl的大小.(结论不要求证明)解(1)记“该校男生支持方案一”为事件A,“该校女生支持方案一”为事件8,由于所有学生对活动方案是否支持相互独立，则由表中数据可知抽取的男生总人数为200+400=600,支持方案一的有200人，则估计该校男生支持方案一的概率P（八）=/抽取的女生总人数为300+100=400,支持方案一的有300人，故估计该校女生支持方案一的概率P(B)=*(2)记“从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，这3人中恰有2人支持方案一”为事件C则事件C包含“一名男生支持，一名男生不支持，一名女生支持“两名男生支持，一名女生不支持"，由(1)可知P(C)=2×(1-×-×-+-×-×（1-；）=M436（3）po>p.通性通法G跟踪训练解决概率与统计综合问题的一般步骤第一步审清楚题意o一第二步找数量关系_J弄清题意，理顺条件和结论,找：到关键数量关系把图形语言转化为数字，将图表7中的数字转化为公式中的字母第三步建解决方案U一第四步判断得结论J确定概率模型，找准公式，把图表中的数据代入公式计算数值i依据数据，借助数表作出正确判断为了治理空气污染，某市设9个监测站用于监测空气质量指数(AQD,其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2,4,3个监测站，并以9个监测站测得的AQI的平均值为依据播报该市的空气质量.(1)若某口播报的AQl为119,已知轻度污染区AQl平均值为70,中度污染区AQl平均值为115,求重度污染区AQl平均值；(2)如图是2023年6月份30天的AQI的频率分布直方图,6月份仅有1天AQI140,150)内.某校参照官方公布的AQI,如果周日AQI小于150就组织学生参加户外活动，以统计数据中的频率作为概率，求该校学生周口能参加户外活动的概率；环卫部门从6月份AQl不小于170的数据中抽取两天的数据进行研究，求抽取的这两天中AQl在170,200)内的概率.解：(1)设重度污染区AQl平均值为二根据题意得119X9=70×2+115X4+3x,解得X=157.故重度污染区AQl平均值为157.(2)AQl在140,170)内的有就X30X30=8(天)，AQl在170,200)内的有亮X30X30=5(天)，AQl在200,230)内的有亮X3()X30=2(天)，所以6月份AQl不小于150的共8+5+21=14(天).即能参加户外活动的概率为P=l-=由知AQl在170,200)内的有5天，编号设为,b,c,d,e,AQl在200,230)内的有2天，编号设为“，从7天中抽取两天有(。，b),(，c),(，d),(,e),(,WI),(a,n),(b,c),Qb,d),(b,e),(b,Qb,),(c,d),(c,e),(c,n),(c,«),(d,e),(d,/H),(d,ri'),(e,m),(efn),(w,n),共21种情况.满足条件的有(4,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10种情况，所以满足条件的概率为P=为