2023-2024学年人教A版必修第二册 9-2-4 总体离散程度的估计 学案.docx

9.2.4总体离散程度的估计新课程标准解读核心素养1 .结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、数据分析极差）2 .理解离散程度参数的统计含义数学运算G知识梳理读教材口-基础落实高效学习此情境导入。有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本（如表所示）检查它们的抗拉强度（单位：kgmm2）,通过计算发现，两个样本的平均数均为125kgmn?.甲110120130125120125135125135125Cl15100125130115125125145125145问题哪种钢筋的质量较好？/新知初探.知识点总体离散程度的估计1.平均距离假设一组数据是即，必，用歹表示这组数据的平均数.我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”，即IXf-XI（i=l,2,，n）作为斯到土的“距离”.可以得到这组数据即，如倒土的”平均距离”为造Ix,-xI.2.方差、标准差绝对值改用平方来代替，艮吟Wa1.又）三T,我们称为这组数据的方J1112-（Xf-X）,我们称为这组数据的看tl_.ni=l3 .总体方差、总体标准差如果总体中所有个体的变量值分别为力，力，总体平均数为已则称S?=（匕一耳）2为总体方差,S=尹为总体标准差.如果总体的N个变量值中，不同的值共有AaWN）个，不妨记为匕，丫2，K，其中匕出现的频数为工（i=l,2,，k）,则总体方差为52=（匕一）2wi=l4 .样本方差、样本标准差1n如果一个样本中个体的变量值分别为，为，必，样本平均数为%则称,二rni=l（W旷）2为样本方差,S=q为样本标准差.提醒标准差、方差的意义：标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的大小不会超过极差；标准差、方差的取值范围是0,+8）.标准差、方差为0时，样本各数据相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性；因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差.自做一做1 .下列数字特征不能反映样本数据的离散程度、波动情况的是（）A.极差B.平均数C.方差D.标准差解析：B平均数描述数据的集中趋势，极差、方差、标准差描述数据的离散程度.故选B.2 .已知有样本数据2,4,5,6,8,则该样本的方差为（）A.5B.4C.2D.0解析：B平均数为社”产=5.该样本的方差为（25）+（4-5）+（S-S）+（65）+（85）.ri>=4.故选B.3.国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛，四人的平均成绩和方差如下表：甲乙丙丁平均成绩*8.58.88.88方差-3.53.52.18.7则应派参赛最为合适.解析：由表可知，丙的平均成绩较高，且发挥比较稳定，应派丙去参赛最合适.答案：丙9题型突破析典例口-技法归纳活学活用题型一标准差、方差的计算与应用【例1】甲、乙两机床同时加工直径为100Cm的零件，为检验质量，从中各抽取6件测量，数据如下：甲：9910()98100I(X)103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.解(1)土甲=X(99+100÷98÷l00÷100+103)=100,x7=-×(99+100+102+99+KX)+100)=MX).乙6s1=×(99-100)2÷(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2÷(I(X)-100),62÷(103-100)2=gS1=-×(99-100)2÷(100-100)2÷(102-100)2+(99-100)2÷(100-100)乙62+(100-100)2=1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又sj/s；,所以乙机床加工零件的质量更稳定.通性通法1 .计算方差常用公式(1)定义法：*=1.(x-x)2÷(X2-x)2HF(x,l-)2J;n(2)简化法：(*+据-2)w2.2 .具有线性关系的数据的平均数和方差若数据Xl,%2,，X”与丁1,丁2,为之间满足关系M=OXi+瓦且数据即，Xli，X”的平均数和方差分别为又和$2,那么y,y2f，%的平均数为方差为62,标准差为IaSI.特别地，若=必电则y,)明，%的平均数为±±6,方差为/,标准差为5；若=3,则V，”，)，的平均数为底，方差为公，标准差为I抬I.闭跟踪训练1.现有10个数，其平均数为3,且这10个数的平方和是100,那么这组数据的标准差是()A.lB.2C3D.4解析：A由$2=:Zxj_Y2,得$2=2x10032=1,Js=1.ni=l102.一组数据中的每一个数据都乘2,再都减8(),得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是()A.40.6,1.1B.48.8,4.4C.81.2,44.4D.78.8,75.6解析：A法一设原来的数据为即，%2,X3,，X”，则新数据为2xi80,2及一80,CC八CCCdz(2x80)+(2X28Q)+(2xn-80)iCus、？2x3-80,，2x80,所以=1.2,所以n2"1+小"十孙"On=12即/十“2+十”n=40.6.>(2x1-80-1.2)2+(2x2-80-1.2)nnn2+÷(2x,-80-1.2)2=4.4,即工(2x-81.2)2+(2x2-81.2)2+÷(2xw-81.2)n2=4.4,贝壮(x-40.6)2÷(x2-40.6)2÷÷(X1.40.6)2=(2x81.2)2÷n4n(2x2-81.2)2+(2x,-81.2)2=三×4.4=1.1.4法二设原数据的平均数为北方差为$2,则数据中的每一个数都乘2,再都减80,得一组新数据后，新数据的平均数为友一80,方差为22/,由题意得8。=12解得(T=40.6,Is2=1.1.题型二分层随机抽样的方差【例2】甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60kg,方差为200,乙队体重的平均数为70kg,方差为300,又已知甲、乙两队的队员人数之比为1：4,那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？解由题意可知元甲=60,甲队队员在所有队员中所占权重为W甲=士=(,元乙=70,乙队队员在所有队员中所占权重为卬乙=±=±J1+45则甲、乙两队全部队员的平均体重为5=卬中土甲+卬乙5乙=X60+,×70=68(kg),甲、乙两队全部队员的体重的方差为/=卬甲崎+(元甲-土)2+卬乙/+(三乙一%)2=200÷(60-68)2+300+(70-68)2=296.通性通法计算分层随机抽样的方差了的步骤(1)确定羽，x2ts?,s;(2)确定立(3)应用公式仁=；国+(x1-X)2÷s÷(x2×y2,计算$2.(Zf跟踪训练在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如表：班级人数平均分数方差甲30时2乙20%乙3其中土甲=土乙，则甲、乙两个班数学成绩的方差为()A.2.2B.2.6C.2.5D.2.4解析：D由题意知，甲、乙两个班数学成绩的平均数为H=三甲=H乙，则两个班数学成绩的方差为，=T-2+(xw-)2+T-3+(x7-)?=竺+空=2.4.故选D.30+201I130+20乙5050方差、标准差与统计图表的综合应【例3】甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示:得分°二三四日次数(1)分别求出两人得分的平均数与方差;(2)根据图形和(1)中计算结果，对两人的训练成绩作出评价.解(1)由图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10,13,12,14,16；乙：13,14,12,12,14._10+13+12+14+16X甲=13,_13+14+12+12+14“乙=5=13,S帝=gx(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2÷(14-13)2÷(I6-13)2=4,si=三×(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14-13)2=0.8.乙5(2)由s.>s：可知乙的成绩较稳定.从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高.通性通法折线统计图中数学特征的求解技巧根据折线统计图研究样本数据的数字特征与横坐标和纵坐标的统计意义有关，但一般情况下，整体分布位置较高的平均数大，数据波动性小的方差小.口跟踪训练甲、乙、丙三名学生在一项集训中的40次测试分数都在50,100内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为si,S2,S3,则它们的大小关系为(乙频率组距().03()0.02。().01()506070809010()分数丙A.Si>S2>S3B.S1>S3>S2C.S3>S>S2D.S3>S2>S解析：B比较三个频率分布直方图知，甲为“双峰”直方图，两端数据最多、最分散,方差最大；乙为“单峰”直方图，数据最集中，方差最小；丙为“单峰”直方图，但数据分布相对均匀，方差介于甲、乙之间.综上可知S>S3>S2.但随堂检测、1.甲、乙两名同学参加了一次篮球比赛的全部7场比赛，平均每场得分都是16分，标准差分别为3.5和4.62,则甲、乙两名同学在这次篮球比赛中，发挥更稳定的是（）A.甲BZC.甲、乙相同D.不能确定解析：A因甲、乙平均每场得分相同，都是16分，而甲的标准差3.5小于乙的标准差4.62,即甲每场比赛的得分波动较乙的小，甲发挥更稳定.故选A.2 .若数据即，X2，刈的方差为2,则数据2的，Zr2,2X9的方差为（）A.2B.4C.6D.8解析：D数据Xl,如，冗9的方差s2=2t则数据2,2X2,，2%9的方差为22=8.故选D.3 .样本中共有五个个体，其值分别为0,1,2,3,机若该样本的平均值为1.则其方差为（）A粤B.?C.2D.2解析：D依题意得m=5Xl（0+l÷2+3）=-1,样本方差=:（-1）2+02÷l2÷22+（-2）2=2,即所求的样本方差为2.4 .（多选）高一某班的同学在学习了“统计”后，进行了交流讨论.甲同学说：“平均数是刻画一组数据集中趋势最主要的指标乙同学说：“众数刻画了总体中个体的稳定或波动程度丙同学说“方差越小，表明个体越整齐，波动越小丁同学说：“两组样本数据对比分析时，极差较大的一组数据其方差也较大其中说法正确的是（）A.甲BZC.丙D.T解析：AC平均数是刻画一组数据集中趋势最主要的指标，甲的说法正确；方差刻画了总体中个体的稳定或波动程度，乙的说法错误；方差越小，表明个体越整齐，波动越小，丙的说法正确；两组样本数据对比分析时，一组数据极差较大不能说明其方差也较大，丁的说法错误.故选A、C.5 .在某次考试中，要对甲、乙两名同学的学习成绩进行比较，甲同学的平均分5=76,方差sj=4,乙同学的平均分支乙=77,方差y=10,则同学的平均成绩好，同学的各科发展均衡.解析：又代表平均水平，因为五甲V又乙，所以乙同学的平均成绩好表示相对于平均成绩的集中与分散、稳定与波动的大小，因为vs：,所以甲同学的各科发展均衡.答案：乙甲