2023-2024学年人教A版必修第二册 第六章 解三角形中的综合问题 学案.docx

CS翁提刀漆解三角形中的综合问题0-题型突破析典例I-技法归纳活学活用三角形与三角恒等变换的综合1已知AC中，角A,B,C的对边分别为小b,c,且+c=2b.(1)求证:B三;(2)若C=2A,试求0：b：c.解(1)证明：由余弦定理的推论得cos8=M+c2;甘)=3M+：C2-2"2*二竺二32ac8ac8ac2TB是A48C的内角，.OVBW*(2)在aABC中，由+c=2，结合正弦定理可得sinA+sinC=2sin8,VC=2A,B=11-AC=11-3A,.*.sinA÷sin2A=2sin3A,即sinA÷2sinAcosA=2(sinAcos2A÷cosAsin2A)=2sinA(2cos2A-1)÷2sinAcos2A,VsinA>0,：1÷2cosA=2(2cos2A÷2cos2A1),整理得8cos2A-2cosA-3=0,解得CoSA=2或cosA=42VC=2A,O<A<pcosA=-.4由余弦定理的推论得CoSA=吐字二贮=32bc4代入a-c=2b1得2/+2/2(2b-c)2=3bc,整理得b=%,6。=y，故：b：C=-C：-C：c=4：5：6.36通性通法对于此类问题，大多是边角互化后基于三角形内角和定理(A+8+C=11)展开的，一般是通过正、余弦定理边化角，求得相应的角或者寻找相应的角之间的关系(此时往往需要用到三角形内角和定理替换角，达到减元的目的)，进而运用三角恒等变换及诱导公式转化为一个角的三角函数问题，从而求解.口跟踪训练在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b>c,已知。=遍，b=2c,cosA=-4(1)求C的值；(2)求SinB的值；(3)求Sin(2A-B)的值.解：(1)由余弦定理的推论知，CosA=Y=二+'=一；,解得C=1.2bc22cc4(2)由(1)知，b=2c=2,由CoSA=知SinA=,44因为号=白，所以sin3=乎.SinASinB4(3)因为CoSA=；V0,所以4为钝角，B为锐角，从而cos5=q.44因为sin2A=2sinAcosA=-,cos2A=2cos2A-1所以sin(2A5)=sin2Acos88Bcos2AsinB=.【例2】三角形与三角函数的综合已知函数f(x)=3sinGXCoS-sin2x+,其中>0若实数乃，X2满足1/(即)一/(X2)I=2时，I即一X2I的最小值为去(1)求的值及/(x)的对称中心；(2)在zA8C中，,b,C分别是角A,B,C的对边，若/（八）=-1,=3,求取BC周长的取值范围.CoS23X.13.z.l1÷-=ys,n2x÷Jco1V3(1)(x)=V3sinxcosx-sin2x÷-=sin2x2x=sin(2x÷-),6显然f(x)的最大值为1,最小值为一1,则|/(即)f(x2)I=2时，Ixl及1的最小值等于5，则5=)则善=11,=l;2222()令2x+；=E,kZ,解得x=i+等,k三Z9则Fa)的对称中心为(-"+£0),6122122kZ(2)/（八）=sin(2A+三)=-1,2A÷三=三+211,(Z,又A(O,11),则A=662由正弦定理得SinAsinBSinC立=2,则b=2sin8,c=2sinC9则周长为÷÷c=V3÷2sinB+2sinC=V3+2sinB÷2sin(三一3)=V3+sinB÷V3cosB=3÷2sin(B÷-),3又0V8V上!l-<÷-<-,则V2sin(B+-)2,33333故周长的取值范围为(23,2+3.通性通法正弦、余弦定理与三角函数相结合，常见两种考查方式：一是先由正弦、余弦定理求出内角正弦值、余弦值，再结合和、差、倍、半角公式求解问题中出现的三角函数值：二是先利用函数的性质，再利用函数求角，解与三角形有关的问题.M跟踪训练在AABC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,设/Cr)=sin(x+B)+cos(X(1)求角A;sin(.-A)(2)若ZiABC的面积为5,且sinB+sinC=当求。的值.sin(x÷B)cosC+cos(x÷B)sinCsin(x+÷C)sin(11+-1)【例3】在中，内角A,B,。所对边的长分别为a,b,C1且满足bcos”产=6/sinB.(1)求A；(2)若=g,BAAC=3,AO是A48C的中线，求AO的长.解(1)CoS=CoS(-)=sin-,Absin-=asinBt22222由正弦定理得：sinBsin=sinAsinB1VsinB0,Jsin-=SinA,2sin-=2sinos-,VA(O,11),-(O,-),sin-0,得cos2=工，即A=222222222113,(2).9BAAC=3f.*.bccos(江一A)=3,得6c'=6,由余弦定理得：Z?2+c2=a2÷2bccosA=13,'JAD=-(AB÷C),2I4DI2=-(AB+AC)2=-(c2+"+2匕CCoSA)=",444：.AD=?,即Ao的长为通性通法求解三角形中线问题的常用方法(1)中线长定理：在中，A。是边BC上的中线，则A"+AC2=2(D2+AD2);(2)向量法：AD2=-(+/+2/COSA).4口跟踪训练已知AABC的内角A,B,C的对边分别为,b,c,满足sin8=cosA.(1)求角A的大小；(2)若3C边上的中线AO=7,且c=4,求6的值.解：(1)由公吊8二次反054及正弦定理可得5巾加m8=653氏05/4,因为A,BG(O,11),则sin6>0,可得SinA二bCoSA>0,则tanA=J,因此A=g.(2)因为而=TCAB+AC),所以2而=万+前，所以4而2=(AB+AC)2=AB2-AC2+2ABACt即28=c2+从+2CcOSN84C=c2+bc,即从十4-12=0,解得=2(负值舍去).题型四F三角形中的角平分线问题【例4】在zA8C中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足bcos等=sin8.若=25,BAAC=AO是MBC的角平分线，求Ao的长.解易知A=空，由瓦?前二三，得CAoS：.bc=3,又=25,3232.*.6t2=b2+c22bccosA=(b÷c)2-2bc+bc=12,可得+c=12+3=15,Sabc=SabdSacdicsin7=ADsin-÷-cADsin232323bcsin-3x坐i5：AD=-2-11=¼=.(b+c)sin-i5×5通性通法求解三角形角平分线问题的常用方法在A43C中，Ao平分/8AC,角A,B,C所对的边分别为。，b,c:(1)利用角度的倍数关系：zBAC=2zBAD=2zCAD;(2)内角平分线定理：A。为ABC的内角/3AC的平分线，则龄=累；2bccos-(3)等面积法：SaABDH-ShACD=SaABC,AD=(角平分线长公式).D÷CGf跟踪训练在AABC中，内角A,B,。所对的边分别为,b,c,且满足胃=1+曾.内角A的角btanB平分线交BC于点M,若BM=2CM,则翌=()BCA,-B.-32C.-D.22SinAM+uaj.4±2sinC,.7777.sin4cos8sinBcos4÷sinlcosBsin(½+B)-解析：A由条件有，=1+=1+-=;,又sinsmBs11psn8cosAsnBcosASinBcosACosB(÷B)=Sin(11-C)=SinC,sin>0,sinOO,则X=,由。，SinFSInBCoSACJcM”即COSA=又AS(O,11),则4=三，由AM为NeA8的角平分线，则翌=誓=2,23ACCM即A8=2AC,且NCAM=N5AM=U,在AACM中，COSNCAM=二序一,=叵,即62ACAM2AC2+AM2-CM2=3ACAM，COSNCMA=CM上匠心,在中，COSNBMA2CMAM8"2+4时24824(；”2+4时24心2BMAM4CMAM由N8MA+CM=11,贝产"收一''ACM2-VAM2AC24CMAM=0,化简得，AM2=2AC2-2CM2，将代入可得，AM=苧AC，将代入可得，CMTAe所以BC=5AC,所以然=铛=W故选A.3BCy3AC3产型五产三角形中的最值（范围）问题例5C,sin2-sin2B-sin2C=sinBsinC.（1）求角A；（2）若3C=3,求A48C周长的最大值.解（1）由正弦定理和已知条件得BC2-ac2-a82=acA8由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2ACABcosA.由得COSA=一/因为OVAV11,所以A=学（2）由正弦定理及（1）得/=a"=25,AWAC=23sinB,A=23sin（11sn8sn（?snAA6）=3cosB-3sinB.故8C+AC+A8=3+5sin8+3cosB=3+25sin（B+j）.又OVBVR所以当B=E时，ZVlBC周长取得最大值3+2l36通性通法解三角形中的最值（范围）问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示,利用三角函数的有界性、单调性，再结合角的范围确定最值（范围）.0.跟踪训练在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,，c,设的面积为S,且满足S=Ca24÷Z>2-c2).(1)求角C的大小；(2)求SinASin8的最大值.解：(1)由题意可知1.bSinC=立X2"COSC24所以tanC=V3.因为OVCV11,所以C=今(2)由已知SinAsin8=sinAsin(11-C-A)=sinAsin(半一A)=sinA(芟OSA+-sinA)=sin2A-cos2A÷-=-sin(2A-)÷-.2444264因为0V4V空，所以一Ev2AEV公，3666所以当2A即A=E时，sinAsin8取最大值?.所以sinAsin8的最大值是;.62344(2).FA8C的面积S=UCSinA=2儿3=5,bc=4,222设AABC的外接圆的半径为R,由正弦定理知七=三=号=2R,SinBSinCsnASinB=1.SinC=白，=5,sinB÷sinC=>÷c=6/?,ZR2,K2由余弦定理得0*2="+c2-2bccos.*.cr=(b+c)2-3bc,.3R2=6R212,.R=2,/.a=23.:三角形中的中线问题