22 解直角三角形模型之实际应用模型（学生版）.docx

专题22解直角三角形模型之实际应用模型解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。模型1、背靠背模型【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高8,构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）C。是解题的关键.【重要关系】如图1,C。为公共边，ADBD=AB;如图2,CE=DA,CD=EAtCE+BD=AB;如图3,CD=EF,CE=DF,AD+CE+BF=AB.例1.（2023年四川省中考数学真题）“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍.在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为45。，看底部C的俯角为60。，无人机A到该建筑物BC的水平距离Ao为10米,求该建筑物BC的高度.（结果精确到0.1米;参考数据：=1.41,1.73)例2.（2023湖南省衡阳市中考数学真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度.圆圆要测量教学楼48的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部24有米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点。处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30。，CO长为49.6米.已知目高CE为1.6米.求教学楼48的高度.若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以4百米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线班.例3.（2023年湖北中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形A8CQ,斜面坡度i=3:4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度防的比.已知斜坡Co长度为20米,NC=I8。，求斜坡AB的长.（结果精确到米）（参考数据：sin18o0.3l,cos18o«0.95,tan18°«0.32）例4.（2023年山东省海泽市中考数学真题）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度8C,无人机在空中点P处，测得点P距地面上4点80米，点A处偏角为60。,楼顶C点处的俯角为30。，已知点A与大楼的距离AB为70米（点A,B,CtP在同一平面内），求大楼的高度BC（结果保留根号）模型2、母子模型I）g4图1图2【模型解读】若三角形中有已知角,AB图3图4通过在三角形外作高BC,构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边8。是解题的关键。【重要等量关系】如图1,BC为公共边,A。+。C=AC；如图2,8C为公共边，DC-BC=DBi如图3,DF=EC,DE=FC,BF+DE=BC,AE+DF=AC;如图4,AF=CE,AC=2/，,邑*c'Ctv-IC4c图5图6图7图8如图5,BE+EC=BC；如图6,EC-BC=BE；如图7,AC=FG,AF=CG,AD+DC=FG,BC+AF=BG；如1图8,BC=FG,BF=CG,AC+BF=G,EF+BC=EG；如图9,BC=FG,BF=CG,EF+BC=EG,BD+DF=BFfAC+BD+DF=AG0例1.（2023河北沧州模拟预测）如图1,嘉淇在量角器的圆心。处下挂一铅锤,此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点M.=FE,BCjf-AF=BEo匚EC4CG图9制作了一个简易测角仪.将图I在图1中，过点A画出水平线,JkBDN图2并标记观测M的仰角.若铅垂线在量角器上的读数为53。，求。的值;如图2,已知嘉淇眼睛离地1.5米，站在8处观测M的仰角为（1）中的向前走1.25米到达。处，此334时观测点M的仰角为45。，求树MN的高度.（注向。”“Sin3小bcos37。力）例2.（2023内蒙古统考中考真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度C。.如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得河流左岸C处的俯角为1,无人机沿水平线AF方向继续飞行12米至3处,测得河流右岸。处的俯角为30。，线段AM=24J米为无人机距地面的铅直高度，点M,C,。在同一条直线上，其中tan=2.求河流的宽度Co（结果精确到1米，参考数据：31.7）.4 一B.'Qa30°'、'、'、'、*、*'、'、'、'二DM例3.（2023年山东省青岛市中考数学真题）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排.某校组织学生进行综合实践活动一一测量太阳能路灯电池板的宽度.如图，太阳能电池板宽为A8,点。是4?的中点，OC是灯杆.地面上三点£>,E与。在一条直线上，DE=1.5m,EC=5m.该校学生在。处测得电池板边缘点8的仰角为37。，在E处测得电池板边缘点8的仰角为45。.此时点A、8与E在一条直线上.求太阳能电池板宽AB的长度.（结果精确到0.1m.参考数据：sin37o,cos37°-,tan37°三,554近=1.41）例4.（2023年四川省内江市中考数学真题）某中学依山而建，校门A处有一坡角a二30。的斜坡AB,长度为30米，在坡顶B处测得教学楼C尸的楼顶C的仰角NC8/=45。，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角NCE产=60。，CF的延长线交水平线AM于点。，求OC的长（结果保留根号）.模型3、拥抱模型图1图2图3【模型解读】分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。【重要等量关系】如图1.Be为公共边；如图2,BF+FC+CE=BE;如图3,BC+CE=BE；如图4,AB=GE,AG=BE,BC+CE=AG,DG+AB=DE.例1.（2023包河区三模）如图，校园内两栋教学楼A8和Co之间有一棵古树E凡从楼顶。处经过树顶E点恰好看到教学楼AB的底部B点且俯角为30°,从教学楼CD的底部D处经过树顶E点恰好看到教学楼AB的顶部A点，且仰角为53°,已知树高所=6米，求。尸的长及教学楼AB的高度.（结果精确到0.1米，参考数据：3=1.73sin53o弋刍、cos53oQ3、tan53°:¾-）5 53例2.（2022巴中模拟）如图，小明和小亮周末到巴人广场测量两栋楼AB和CQ的高度，小明将木杆E尸放在楼AB和8之间（垂直于水平面），小亮将测角仪放在G处（4、F、G三点在一条直线上），测得楼AB顶部的仰角NAG8=30°,再将测角仪放在H处（。、尸、”三点在一条直线上），测得楼CO顶部的仰角ND7C=60°,同时测得BE=I5?，CE=4m,EG=6m.（点A、B、C、D、E、RG、H均在同一平面内，结果精确到0.1米，3¾1732）（1）求楼48的高度；（2）求楼。的高度.BHEGC例3.（2023年浙江省湖州市中考数学真题）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（Er）放在离树（AB）适当距离的水平地面上的点尸处，再把镜子水平放在支架（M）上的点E处,然后沿着直线8厂后退至点。处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A,再用皮尺分别测量B尸，DF,EF,观测者目高（CO）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度.已知81.处于点O,EF工BDP点F,AB1.BD于点B,BF=6米，。产=2米，M=O.5米，8=1.7米，则这棵树的面度（A5的长）是米.例4.（2023年天津市中考数学真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度.如图，塔A8前有一座高为DE的观景台，已知CD=6m,NDeE=30。，点E,C,4在同一条水平直线上.某学习小组在观景台C处测得塔顶部3的仰角为45。，在观景台。处测得塔顶部B的仰角为27。.（1）求OE的长；（2）设塔AB的高度为（单位：m）.用含有力的式子表示线段El的长（结果保留根号）；求塔AB的高度（tan27o0.5,5取1.7,结果取整数）.ECA课后专项训练1. （2023年浙江省衢州市中考数学真题）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆BC=0a，AB=b,A8的最大仰角为。.当NC=45。时，则点A到桌面的最大庙度是（）B.bA.a+COSaba+SinaC.a+bcosaD.a+bsina2. （2022浙江金华中考真题）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知8C=6m,ZABC=a,A则房顶A离地面E厂的高度为（）A.（4+3sina）mB.（4+3tana）mC.|4+jmD.4+m（sina）VtanaJ3. （2023年山东省日照市中考数学真题）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务.数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角NA8。=45。，再沿B。方向前进至C处测得最高点A的仰角N4CD=60。，BC=15.3m,则灯塔的高度AO大约是（）（结果精确到1m,参考数据：21.41,61.73）BCDA.31mB.36mC.42mD.53m4. （2022黑龙江牡丹江中考真题）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30。，小明在坡比为5012的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60。，求山高（(6003-250)XC.(350+350米D.500J米5m则斜坡AB的长度为（）D.53m5. （2022贵州毕节中考真题）如图，某地修建一座高8C=5m的天桥，已知天桥斜面AB的坡度为1:J,6. （2023云南昆明校考模拟预测）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每H都在学生进校前进行体温检测.某学校大门48高6.5米，学生0尸身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时,在点。处测得摄像头A的仰角为30。，当学生刚好离开体温检测有效识别区域8段时，在点C处测得摄像头A的仰角为60。，则体温检测有效识别区域C力段的长为（）学校大门7. （2023年湖北省黄石市中考数学真题）如图，某飞机于空中A处探测到某地面目标在点8处，此时飞行高度AC=I200米，从飞机上看到点3的俯角为37。飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动.当飞机飞行3米到达点。时，地面目标此时运动到点E处，从点E看到点。的仰角为47.4°,则地面目标运动的距离BE约为米.（参考数据：tan37o4,tan47.4o）49D8. （2023年湖北省黄冈市中考数学真题）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图，无人机从地面。的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为45。，尚美楼顶部户的俯米.（结果保留根号）角为30。，已知博雅楼高度CE为15米，则尚美楼高度。尸为.尚美楼博相楼9. （2023浙江校考三模）如图1是两扇推拉门，AB是门槛，AD,BC是可转动门宽，且AB=2AD=28C.现将两扇门推到如图2（图1的平面示意图）的位置，其中tan3=g,且点A,C,。在一条直线上，测得A,。间的距离为18相Cm,则门宽40=.如图3,已知04=30。，（35=60。，点P在AB上，且AP=10. （2023年浙江省绍兴市中考数学真题）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱QA垂宜地面OB,支架C力与OA交于点A,支架CG1.CD交OA于点、G,支架。上平行地面。8,篮筐EF与支架。石在同一直线上，OA=2.5米，AD=O.8米，ZAGC=32。.求NGAC的度数.（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在髡子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由.（参考数据：sin32°0.53,cos32o0.85,tan32°«0.62）I1.（2023年浙江省温州市中考数学真题）根据背景素材,，探索解决问题.测算发射塔的高度背景素材某兴趣小组在一懂楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度MN（如图1）.他们通过自制的测倾仪（如图2）在A,B,C三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示.、P、7敷”源一铅锤支杆图2、At8柞q一-加俯角NI小aN.、图1d00000000000E4V>1大/母指尖和卬布尖/处仰角/2之间的最大距离威Tj图3r3-2挂+8处仰角N3C处仰角/4经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度.问题解决任务1分析规划选择两个观测位置：点和点获取数据写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离.任务2推理计算计算发射塔的图上高度MN.任务3换算高度楼房实际宽度DE为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度.注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到Imm.12. （2023年浙江省丽水市中考数学真题）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A-O-C,已知OCj.BC,AB_1.BeNA=60。,A8=llm,C0=4m,求管道AZ）C的总长.13. （2023年浙江省台州市中考数学真题）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线。，CB及在黑板上的投影图像高度AB抽象成如图所示的N84C=90。.黑板上投影图像的高度AB=I20cm,CB与AB的夹角/8=33.7。，求AC的长.（结果精确到1cm.参考数据：sin33.7o0.55,cos33.7o0.83，tan33.7o0.67）14. （2023年浙江省宁波市中考数学真题）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示.Sl如图2,在尸点观察所测物体最高点C,当量角器零刻度线上43两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为。，设仰角为尸，请直接用含。的代数式示夕.如图3,为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点8C分别测得气球A的仰角N7W。为37。，/4CD为45。，地面上点BC,。在同一水平直线上，BC=20m,求气球A离地面的高度AO.（参考数据：sin37o0.60,cos37o0.80,tan37o0.75）15. (2023年浙江省金华市中考数学真题)问题：如何设计"倍力桥”的结构？图1是搭成的“倍力桥”，纵梁。，C夹住横梁b,使得横梁不能移动，结构稳固.图2是长为/(cm),宽为3cm的横梁侧面示意图，三个凹槽都是半径为ICm的半圆.圆心分别为Ol,O2,O3,OlM=OlNQq=O3P=2cm,纵梁是底面半径为ICm的圆柱体.用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，间隙忽略不计.探究1：图3是“桥侧面示意图，AB为横梁与地面的交点，C,七为圆心，RK,也是横梁侧面两边的交点.测得A8=32cm,点C到AB的距离为12cm.试判断四边形8EK的形状，并求/的值.探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形.若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形也居乩2,求/的值；若有根横梁绕成的环（为偶数，且6）,试用关于的代数式表示内部形成的多边形”附Hu的周长.图3图416. （2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考数学真题）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2,摄像头A的仰角、俯角均为15。，摄像头高度04=160cm,识别的最远水平距离OB=150cm.身高208Cm的小杜，头部高度为26cm,他站在离摄像头水平距离130Cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别.（2）身高120Cm的小若，头部高度为15cm,踮起脚尖可以增高3cm,但仍无法被识别.社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20。（如图3）,此时小若能被识别吗？请计算说明.（精确到0.1cm,参考数据sin15o0.26,cos15o0.97,tan15o0.27,sin20o0.34,cos20o0.94,tan20o0.36）称图形，其示意图如图2.已知">=8E=IoCm,CZ)=CE=5cm,AD±CDfBEkCE,ADCE=40o.(结果精确到0lcm,参考数据：sin20o0.34,cos20o0.94,tan20o0.36,sin40o0.64,cos40o0.77,tan40o0.84)o(1)连结。E,求线段OE的长.求点4B之间的距离.18. （2022浙江绍兴中考真题）圭表（如图1）是我国古代种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器,它包括一根直立的标竿（称为“表）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）,当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表4C垂直圭5C,已知该市冬至正午太阳高度角（即WC）为37。，夏至正午太阳高度角（即/4。C）为84。，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即。5的长）为4米.（1）求NMD的度数.（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）.（参考34319数据：si37o-,cos37°-,ta37o-,ta84o-)5542洪夏至冬至壮19. （2022浙江金华中考真题）图1是光伏发电场景，其示意图如图2,E尸为吸热塔，在地平线EG上的点8,8'处各安装定日镜（介绍见图3）.绕各中心点（AW）旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处.已知A8=A,=lm,EB=8m,EB,=83m在点A观测点F的仰角为45。.图1定日镜由支架、平面镜等组成，支架与镜面交点为中心点,支架与地平线垂直.中心房/平面镜支架1地平线(1)点F的高度及'为m.(2)设NDA8=,NO'A5=7,图3则与尸的数量关系是20.（2023浙江金华校考一模）金华新金婺大桥是华东第的独塔斜拉桥，如图1是新金婺大桥的效果图.2022年4月13日开始主塔吊装作业.如图2,我们把吊装过程抽象成如下数学问题：线段。P为主塔，在离塔顶10米处有一个固定点Q（?Q=Io米）.在东西各拉一根钢索QN和QM,已知Mo等于214米.吊装时，通过钢索QM牵拉，主塔OP由平躺桥面的位置，绕点O旋转到与桥面垂直的位置.中午休息时NPCW=60。，此时一名工作人员在离M6.4米的B处，在位于8点正上方的钢索上A点处挂彩旗.AB正好是他的身高1.6米.（1）主塔。尸的高度为米，（精确到整数米）（2）吊装过程中，钢索。N也始终处于拉直状态，因受场地限制和安全需要，QN与水平桥面的最大张角在37。到53。之间（即37。NQNM53。），QN的取值范围是.（注：tan37。0.75,31.73）.