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专题03平面向量（第三部分）学校:姓名：班级：考号：一、单选题1 .己知非零向量,b,则平卜是-给=0”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2 .如图，扇形的半径为1,圆心角NAAC=I50。，点尸在弧BC上运动，AP=AB+ACi则3-的最小值是（）A.0B.3C.2D.-13 .骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆4（前轮），圆。（后轮）的直径均为1,ABEtBEC,ECO均是边长为1的等边三角形.设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，二、解答题4 .己知向量a=(wcos,Sina),b=(cos/,sin尸),m>0,<a<0,0<<,且(a+/?)-1.(-匕).(D求实数刑的值;(2)若白6，目tan=g,求tan(+弓)的值.5 .在平面直角坐标系中，设向量Q=(CoSa,sina),Z?=卜«。+WCOS(a+?)其中0<a<.2若ab,求。的值；若tan2zz=-,求。力的值.6 .己知向量a=(c0sx,sbx)fb=(3,一6),x0>可.(1)若b,求X的值；(2)记/(x)=a力，求函数y=(x)的最大值和最小值及对应的X的值.三、单选题7 .己知a,b是两个不共线的向量，RAB=a+5b,BC=-2a+8/?,CD=3a-3h,则()A.4氏。三点共线B.AB,C三点共线C.&C,。三点共线D.AC。三点共线四、填空题8 .设不。2是不共线的两个向量，AB=«+於"CA=4+非2，CZ5=2«-6若AB。三点共线,则出的值为.五、解答题9 .设a,b是不共线的两个非零向量.(1)若QA=24-6，OB=3d÷b»OC=a-3b»求证：A,B»C二点共线：(2)若AB=a+b，BC=23b»CD=2akb,且A,C»。二点共线，求的值.10 .如图，在GABC中，点M、N满足AM=WIA8，N=nC(m>O,n>O),点。满足BD=；BC,E为A。的中点，且M、N、E三点共线.（2）求；的值.m2n六、单选题4-ARAC11 .若非零向量入8与AC满足m÷11BC=O,mm=O,则8C为（）l网R网罔A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形12 .1BC所在平面上一点P满足24+。=4%?>0,6为常数），若一ABP的面积为6,则JlBC的面积为（）A.6B.9C.12D.24七、填空题13 .已知二ABC的面积为24,P是；ABC所在平面上的一点，满足PA+2PB+3PC=O,则AABP的面积为一；八、多选题14 .如图所示，小船被绳子拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中（）A.船受到的拉力不断增大B.船受到的拉力不断变小C.船受到的浮力不断变小D.船受到的浮力保持不变九、填空题15 .如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为A8的中点，尸为以A为圆心，A3为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的点，若点P在AC上时，则4PBP的取值是：若向量APW+“石，则42-的最大值为.AEB参考答案:1. B【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合向量的模的定义，数量积的性质和运算律判断.【详解】若26=0,则-T,卜-4=可所以*-N=W'是都=。”成立的必要条件，若卜一目=W，则"-2b=0'a(a1b=0,当Q=(1,0),匕=(；，一；)时，。一处=(°，1)，a("2b)=0成立,但-2bf所以，H=W，不是加=o”成立的充分条件，所以*-可=W'是-给=0”成立的必要不充分条件，故选：B.2. D【分析】以A8为X轴，以A为原点，建立坐标系，设尸(CoSaSin。)，0o150o,根据平面向量基本定理的坐标运算可得：3-=2sin(÷60o),再利用三角函数的有界性，即可得到答案；【详解】解：以48为轴，以A为原点，建立坐标系，如图，设P(COSaSin。)，0o6>150o,则A(,),8(1,0),CX,.AP=AAB+pACf/.(COSaSine)=义(1,0)+,=cos+y3sin0f4=2Sin6,.,.j3-=VJcose+3sin6-2sine=TJ8S，+Sine=2sin(e+60。),V0o!9150o,60o+60o210o,.当0=150。时，2sin(19+60o)=-l,即3的最小值为-1.故选：D.3. B【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后将涉及到的点的坐标求出来，其中尸点坐标借助于三角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解.【详解】以。为坐标原点，4。为X轴，过。做A。的垂线为了轴，建立如图所示的平面直角坐标系，U1.II门1、UUU，3J所以AP=I5cos+2,5sinaJ.BD=,-IiiBun3（1A313J3小（加、APBD=-×coscr+2-×-sina=-coscrSina+3=cosa+3.212J22442I.6）所以4PBD的最大值为3+立2故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题关键是建立平面直角坐标系，用坐标运算计算向量的数量积，结合三角函数的性质求得最大值，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于较难题.4. （1）1*【分析】根据（。+）“。-6）可推出。2“2,结合向量模的坐标表示可得cos2a+sin2a=b结合同角的三角函数关系，即可求得答案；（2）根据向量共线的坐标表示结合两角和的正弦公式推出sin（+0=O,可得尸=-。，推出tana=-；,利用两角和的正切公式即可求得答案.【详解】由题意知仅+3）Ma-）,故（+）（”在）=0,所以I=川，故（"icosa）2+（-sina）2=cos2/?+sin,即,112cos2a+sin2a=1,即nrcos1a=1-sin2a=cos2a»由于一一Va0.cosa0,2w2=1,.inO,.,.m=.（2）由（1）知=（0）5。,-81口0）,人=（。05/72出£）,因为ab，所以COSaSin尸+sinacos尸=。，即sin（a+尸）=0,而一微o,o夕,即一a+夕,故a+,=0,即,=_a,由tan/?=1.可得tan（一）=1.,tana=一-,1111Iana+tan+14_=_J_,11,1I-Ianalan-1+-42i.(1)-；(2)逅二逑620【解析】(1)根据/,即可得出COS(2a+g=0,根据的范围即可求出Jv2+Jvf,ko666从而得出2+g=g,进而得出的值;O2(2)根据。的范围即可求出"的范围，再根据tan2av即可得出<2<",根据32。二-3，即可求出山小的值.【详解】a!Ib,.*.cosacoscr+I-sinGfsinla+I=O,/.cosI2a+I=O,C111111l111111OVaV,一V214<,21H26666211:.a=6(2)O<a<O<2a<,又tan2zz=-<0,27故<2a<笈,Csin2a1C八八tan2a=,/.cos2a=-7sin2<0,cos2a7Xsin22«+cos2a=l,WWsinIa=,cos2a1072IO:.ab=cosasina+sinacosI6)11a+一6=sin(2a+看=sin2«cos16-7220-【点睛】该题考查的是向量的有关问题，考查两角和差的正余弦公式，考查同角三角函数的关系，考查了运算能力，属于中档题.6. (1)X=y(2)X=O时，“X)取到最大值3；X=K时，力取到最小值-26.【分析】(1)根据b,利用向量平行的充要条件建立等式，即可求X的值.(2)根据/(x)=4b求解求函数y=(x)解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的X的值.【详解】解：(1)丁向量G=(CoSX,sinx)f=0,一6),x0,11.由4b,可得：-石COSX=3sinx,日n3即tanx=3VxO,11j511X-6(2)由/(x)=b=3cosx-WSinX=2y3sinVx0,11,111511，33.211x+-£3，当x+与=与时，即X=O时/(x)相x=3;蒋时f(x)min=-26.【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键.7. A【分析】借助向量运算与共线定理即可得.【详解】BC+CD=-2a+Sb+3a-3b=a+5b故AB=BD,则AB/8O，又因为两向量有公共点8,故A氏。三点共线.故选：A.8. -4【分析】根据三点共线可得向量共线，由此利用向量共线定理可列出向量等式，即可求得答案.【详解】因为AB,。三点共线，故AB"BD、则三人1<,使得48=/18。，又Bb=Cb-而=浜-。2-(。+3e2)=e1-4e2,故钎姐，,解得2故答案为：-4【分析】（I）利用向量加减法及向量共线条件证明三点共线；（2）由三点共线转化为向量共线即得结果.【详解】（1）证明：B=OB-OA=3d+b-2a+b=a+2b>BC=OC-OB=a-3b-3a-b=-2a-4b，故8C=-2AB,又Be与48有公共点B,所以A,B,C三点共线.（2）C=AB+BC=3d-2b，CD=2a-kb因为A,C,。三点共线，所以AC=ACD,BP3d-2b=2d-kb，因为4与。是不共线的两个非零向量，所以3=242=k32434综上，攵的值为10. ()AE=-AB+-AC36【分析】（1）由4。=：水?结合平面向量的减法化简可得出Ao关于舫、AC的表达式，再1由=。可得出AE关于A8、Ae的表达式；（2）由M、N、E三点共线知，存在；lR,使得Mf=2MN,进而可得出AE=（I-2）AM+l4V=（l-2）"?AB+bzAC,利用平面向量的基本定理可求得'+?的值.【详解】（1）解：因为=则AOA4=3（4CA4）,所以，AD=-AB-ACf因为E为Az）的中点，故AE=AC）=IA8+!aC.（2）解：因为M、E、N三点共线，则M左MN，所以，存在4eR,使得ME=AMN,即AE-AM=4（AN-AM）,(l-2)n=,1An=6所以，AE=(1-)M+AN=(1-)mAB+AnAC,又因为AE=!a8+,AC,且ab、AC不共线，所以，<36所以，J-+-1.=(l-)+=l,故,+=3.3116rn2n11. CABAC【分析】利用G为单位向量及向量的数量积运算，结合三角形的性质即可判断三角A剧AC形的形状.【详解】因为非零向量A8与Ae满足r-+IBC=O,【网IAcDABAC又因为匚胃'6均为单位向量，所以角A的角平分线垂直于8C，则AB=AC,ABAC因为EE二°，所以A8_1.AC，即A8"AC,所以A8C为等腰直角三角形MlAq故选：C12. C【分析】由已知中尸是AeC所在平面内一点，且满足H4+PC=*8,我们根据向量加法的三角形法则可得"*8=2PO，C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍，故Sasc=2Sa8p,结合己知中AW的面积为6,即可得到答案.【详解】取AC的中点。，则PA+PC=mAB（m>0，】为常数），:.mAB=2PO.C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍，故选：C.【分析】由三角形的重心的向量表Z5得：点尸为ABG的重心，则SPtBi=SPAtG=SPBiCi，由三角形面积公式得：SPAB=SPMi，SaPBC=5pg,SPAC=SPAG,所以SPAB：263SPBCiSPAC=3:I：2,又S¾8+SzJC+SzJ¾C=24,即S附8=12,得解.【详解】解：设PAI=PA,PB1=2PB,PCl=3PC,则PA+PB+PC=O,即点P为AlBIG的重心,PA1B1>SPBC='SPB©,则SpAlBI=SPAICl=SPBla,又SPAB=gsSPAC=§S,PA£，所以SPAB:S.PBC：S.PAC=3：1：2,又S.B+,PBC+S.pAC=24,所以SPAB=口,故答案为12【点睛】本题考查了三角形面积公式、三角形的重心及平面向量基本定理，属难度较大的题型.14. AC【分析】设水的阻力为船受到的拉力为产,F与水平方向的夹角为氏得到问=JlCOSe结合三角函数的性质，即可求解.【详解】设水的阻力为?，船受到的拉力为尸，尸与水平方向的夹角为e(o<e<),则同COSe=I/J,故问=£,因为®不断增大，所以cos。不断减小，故何不断增大,因为忸卜me不断增大，所以船受到的浮力不断减小.故选：AC.&r-15. 1一半22【分析】以A为坐标原点建立平面直角坐标系.空1：若点P在AC上时，则C1八尤+一=COS夕3.p,E2,进而利用-=sn根据平面向量的坐标运算求解；空2：根据向量的坐标运算可得诱导公式可得4"=20如（6+；结合三角函数运算求解.【详解】如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1.O)C(IJ),呜,0)设NPA8=Oc0或，则p(COSaSin9),空1：若点P在AC上时，则e=M李岑可得於住用加住一闱，所以揩斯考惇斗争约当U1.KUlIDUU三(1、空2：因为AP=(COSaSine),AC=(1,1),OE=1/,Tj,UUDII1.ID(1可得4AC+Z)E=l+-,-zl,AP=AC+DEi则J2,2-=Sine可得44一=2(-)+2(+)=2sine+2cos6=2>sin(e+),因为e0弓,则e+畀：，弓，当夕+(=,即J=：时，42=2&sin。+：)取到最大值20.故答案为：1-；2五.