专题05 含参函数的单调性讨论(解析版).docx

专题05含参函数的单调性讨论【方法总结】分类讨论思想研究函数的单调性讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主.讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般来说需要进行四个层次的分类：(1)最高次塞的系数是否为0,即“是不是”；(2)导函数是否有变号零点，即“有没有”；(3)导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内，即“在不在”；(4)导函数的变号零点之间的大小关系，即“大不大”.牢记：十二字方针“是不是，有没有，在不在，大不大”.考点一导主一次型【例题选讲】例1已知函数7(x)=-Hnx(ER),讨论函数人工)的单调性.解析At)的定义域为(0,+8),/(x)=l-三=二3，令/(x)=0,得x=”,当好0时，/(x)X)在(0,+o0)上恒成立，J(x)在(0,+8)上单调递增，当X)时，x(0,°)时，/(x)<0,x(",+s)时，/(x)>0,综上，当0时，人劝在(0,+8)上单调递增，当a>0时，/)在(0,)上单调递减，在(,+上单调递增.【对点训练】1.已知函数/(x)=HnXar3(RR).讨论函数/(X)的单调性.1)1 .解析函数凡。的定义域为(0,+oo),且/(X)=-,令/(x)=0,得x=l,当4>0时，/)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减；当。<0时，/)在(1,+oo)上单调递增，在(0,1)上单调递减；当67=0时，J(X)为常函数.2 .已知函数火X)=IrU-t(aR),讨论函数凡0的单调性.I1QX2.解析於)的定义域为(0,+),f(x)=-a=1(x>0),当0时，/(X)=：-a>0,即函数段)在(0,+«>)上单调递增.I1(XXI当4>0时，令/(x)=q-Q=-1.=O,可得X=*,1-QX1(XX当(XXq时，/=>0；当心7时，/(%)=一<0,故函数Ar)在(0,力上单调递增，在©+oo)上单调递减.综上，当0时，兀。在(0,+oo)上单调递增；当。>0时，於)在(0,上单调递增，在6+上单调递减.考点二导主二次型【方法总结】此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题.对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：(1)首先需要考虑二次项系数是否含有参数.如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论；(2)其次考虑二次三项式能否因式分解，如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果由，及都在定义域内，则讨论个零点用，及的大小；如果二次三项式不能因式分解，这表明不一定存在零点，需讨论判别式J<0和/X)分类讨论；【例题选讲】命题点1是不是+有没有+在不在例2(2021全国乙节选)已知函数i(x)=jx2+r+l.讨论区)的单调性.解析由题意知y的定义域为R，f(x)=3x2-2x+af对于)=0,J=(-2)2-4×3a=4(l-3a).当W时，/(x)0,AX)在R上单调递增；当<时，令/(x)=0,即3f2x+=0,解得XI=及=+"；-令/(X)>O,则Xal或X>M；令Fa)<0,则X<X<X2所以人0在(一8,即)上单调递增，在(即，M)上单调递减，在(X2,+8)上单调递增.综上，当月时，y在R上单调递增；当制时，y在(一8,匕年可上单调递增，在(EM巨，R三可上单调递减，在0+产i,+)上单调递增.例3(2018全国I节选)已知函数外)=(-+Hnx,讨论(x)的单调性.解析©的定义域为(0,+),/(X)=T-I+,=-尸；：+1.当2时，则/(x)W0,当且仅当=2,x=l时，/(x)=0,所以负>)在(0,+口)上单调递减.当42时，令/=。，得X=睡三或X=若三.当x(,+J时，/(x)VO；当三,时，)>o.所以/W在(o,七坐三)，(妇普三，+j上单调递臧，在尸尹，书三)上单调递增.综合可知，当a<2时，Kr)在(0,+8)上单调递减；当a>2时，危)在(,。一干一4),g±零三，+j上单调递减，在(纥哮三，妇哗可上单调递增.例4设函数"r)=HnX+皆1,其中。为常数.讨论函数Ar)的单调性.上1.皿”“f、,a12OX2+(2+2)x+解析函数/W的正乂域为(o，+)=-+u.+2=石方当生O时，/(x)>0,函数<%)在(0,+8)上单调递增.当VO时，令g(x)=+(2+2)x+,由于/=(2+2)2-4=4(2+1).1-1F(1)当。=-5时，/=0,Jf(X)=My+)2a，函数y在9,+8)上单调递减.(2)当。<一：时，J<0,g(x)VO,/(X)V0,函数外)在(O,+oo)上单调递减.(3)当一T<<O时，J>0.设Xi,X2(xV%2)是函数g()的两个零点，rl._(+l)+*2+(+l)-y2a+1则为=0=ct,4+1-2+1¢2+2a+1-2+l由XI=>0,所以aaxe(0,Xl)时，g(x)V0,/(x)<0,函数/)单调递减；x(x,X2)时，g(x)>O,>0,函数段)单调递增；X(X2,+),g()V0,/()V0,函数/U)单调递减.综上可得：当0时，函数y在(O,+8)上单调递增；当好一：时，函数TW在(O,+8)上单调递减;当一TVaVo时，段)在(0,(二±12声亘，+j上单调递减，在(3+l)+24+1-(+l)-2+l1单调递增a,a)【对点训练】3.(2020全国HI节选)已知函数兀O=X3丘+A2.讨论大彳)的单调性.3 .解析由题意，得了(x)=3x2-K当长0时，/(x)K)恒成立，所以Kr)在(-8,+8)上单调递增；当Qo时，令/(x)=0,得x=±专,令/(x)V0,得一JVxVJ?令/(x)>O,得XVJ?或v>y?所以凡T)在(一稽，、份上单调递减，在(-8,一、/1)，(、/!，+J上单调递增.24 .已知函数Kl)=K+1Hn%,a>0.讨论Ar)的单调性.5 .解析由题意知，段)的定义域是(0,+8),导函数/(x)=l+二”设g(x)=2-r+2,二次方程g(x)=0的判别式/=。28.当/<0,即0<<25时，对一切QO都有/(x)>0.此时兀0是(0,+)上的单调递增函数.当/=0,即=25时，仅对x=5有/(x)=0,对其余的Qo都有/(x)>0.此时Ar)是(0,+8)上的单调递增函数.当心>0,即a>25时，方程g(x)=O有两个不同的实根内=纥普三，X2=""y,OaR2,x(0,M)时，/(-)>0,函数兀0单调递增；x三(x,及)时，/()V0,函数KX)单调递减；X(X2,+8)时，/()>0,函数7U)单调递增.此时大幻在(0,纥哗三)上单调递增，在卢斗三，里等三)上单调递减，在件里三，÷OO上单调递增.6 .己知函数凡V)=(I+加修-1，当40时，讨论函数Kr)的单调性.5.解析由题易得f(x)=(cr+20r÷l)er,当a=0时，/(x)=et>0,此时KX)在R上单调递增.当a>0时，方程r+2ar+l=0的判别式/=4-44.当0Vl时，J0,加+20r+l0恒成立，所以/(x)0,此时/(x)在R上单调递增；当时，令，(X)=0,解得汨=12=-+yi-x(-,Xl)时，/(x)>o,函数y(x)单调递增；X(X,及)时,/(x)<0,函数/)单调递减；+J上单调递增,X(X2,+8)时，/(x)>0,函数Ar)单调递增.所以兀O在（一co,-1y1-9和（-1+*j1-5综上，当03l时,凡1)在R上单调递增；当时在÷上单调递增，在上单调递减.-1+命题点2是不是+在不在+大不大例5已知函数代T)=InX+加一(2«+l)x.若>0,试讨论函数7(%)的单调性E、r、12ax1-(2a-l)x÷1(2a-l)(x-1)解析因为y(x)=lnx+ar(24+l)x,所以/(X)=.由题意知函数火人)的定义域为(0,÷),令/(x)=0得X=I或X=/,若土<1,即斗由得QI或04，由/(x)<。得/Wl»即函数Kr)在(0,/(1,+8)上单调递增，在彷，1)上单调递减；若方1，即0<"由/(x)>0得x>五或O<<1，由/(x)<0得14%，即函数KO在(0,1),恁，+8)上单调递增，在(1,金)上单调递减；若=1.即则在(°，+8)上恒有/(X)O,即函数段)在(0,+8)上单调递增.综上可得，当Oq<4时，函数次X)在(0,1)上单调递增，在(1,灯上单调递减，在+8)上单调递增；当时，函数以¥)在(0,+8)上单调递增；当>T时，函数TW在(。，/)上单调递增，在CI)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.例6已知函数4x)=fe公一1(。是常数)，求函数y=(x)的单调区间.解析根据题意可得，当。=0时，yu)=2-,函数在(0,+oo)上单调递增，在(一8,0)上单调递减.当和时，f(x)=2xev+(-a)ear=ear(ajr+2x).2因为屋">0,所以令g(x)=x2+2x=0,解得X=O或X=,.(1)当>0时，函数g(x)=4f+2在(-8,0)和弓，+s)上有g()<O,即/(x)<0,函数y=7(x)单调递减;函数g(x)=r2+Zr在,皆上有g(x)O,即/(x)0,函数y="r)单调递增.(2)当<0时，函数g(x)=以2+2X在(-8,$和(0,+8)上有g()>O,即/(x)>0,函数y="r)单调递"2'增；函数g(x)=-G2+Zt在%,0)上有g(x)O,即/(x)0,函数y=y(x)单调递减.综上所述，当=0时，函数y=(x)的单调递增区间为(O,+),单调递减区间为(一8,0)；当AO时，函数y=(x)的单调递减区间为(一8,0),+oo),单调递增区间为,J;当<0时，函数)，=/&)的单调递增区间为(一8,(0,÷oo),单调递减区间为弓，.例71已知函数犬x)=3+l)lnx+嚏一0r+2(WR).讨论1%)的单调性.解析段)的定义域为(O,+),且/a)=一I譬D令Fa)=0,得1.I或尸力当0时，t-lV0,7(%)在(0,1)上单调递减，在(1,+oo)上单调递增；当OVaVl时，人外在(0,1)上单调递减，在(1,力上单调递增，在七,+上单调递减;当。=1时，兀。在(。，+8)上单调递减；当。>1时，凡。在(0,J)上单调递减，在七，1)上单调递增，在(1,+oo)上单调递减.例8已知函数次X)=Hn(X+1)ar2,讨论“K)在定义域上的单调性.-M+竽)解析型尸-of=W、aI2令/(x)=0,得X=O或x=一气一，又府)的定义域为(一1,÷),当一g一,即当0时,若x(-l,0),/(x)>0,则KC)单调递增;若x(0,+oo),/(x)<0,则AX)单调递减.QI2当一IV一阳WV0,即一2V0V0时，若XW(一1,一号)，/(x)V0,则兀0单调递减；若“£(一空，0),/(x)>0,则«r)单调递增;若x(0,÷),/(x)<0,则兀0单调递减.当一审=0,即。=一2时，/(x)0,於)在(-1,+8)上单调递减.“I2当一色U>即。<一2时，若X£(1,0),/(x)<0,则/(x)单调递减;若X£(0,一”/)，/(x)>0,则/(x)单调递增；若x(-g2,+),/(x)<0,则以)单调递减.综上，当a0时JW在(一1,0)上单调递增，在(0,+oo)上单调递减；当一2VV0时,府)在(一1,一穿)上单调递减，在(一等，0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减；当a=-2时，JM在(-1,+oo)上单调递减；当<一2时，Ar)在(-1,0)上单调递减，在(0,一号上单调递增，在(一昼，+J上单调递减.2T-1例9(2016山东)已知儿t)=0(xInX)+=一，R.讨论/W的单调性.解析段)的定义域为(0,+),f(x)=a-=alx0.当0,X£(o,1)时，Fa)>0,单调递增；x(l,+8)时，f(x)<09Kr)单调递减.当a>0时，f(x)=若OVaV2,则当X£(0,D或XW+8时，/()>0,Rr)单调递增；当x1时，/(x)<0,於)单调递减.若。=2,则、匕=1,在X£(o,+oo)内，/()o,y单调递增.若>2,则OVylV1,当x(,(l,+8)时，/(幻>0,/(X)单调递增；当时，/(x)<0,1尤)单调递减.综上所述，当00时，兀0在(O,1)内单调递增，在(1,+8)内单调递减；当OVaV2时，/)在(0,1)内单调递增，在(1,啕内单调递减，在Gj|，+8)内单调递增；当a=2时，40在(0,+8)内单调递增；当。>2时，/U)在(0,既内单调递增，在01，1)内单调递减，在(1,+oo)内单调递增.【对点训练】6.已知函数火X)(+l)x+lnx,«>0,试讨论函数y=,(x)的单调性.6.解析函数的定义域为(0,+),、,.l.lav2-(cr+l)x+l(or-l)(-1)/(x)=r-(+l)+-=.当0<4<l时，J>l,(0,1)和弓，+oo)时，/(x)>0;x(l,£)时，/(x)<0,函数/U)在(0,1)和+8)上单调递增，在(1,上单调递减；当。=1时，(=1,(x)0在(0,+8)上恒成立，函数人处在(0,+8)上单调递增；当Al时，Oq<1,.x(,0和(1,+8)时，/(x)>0;XeR1)时，/(x)<0,函数兀灯在(0,3和(1,+00)上单调递增，在©,1)上单调递减.综上，当0<vl时，函数/(%)在(0,1)和(5，+8)上单调递增，在(1,上单调递减；当。=1时，函数/(%)在(0,+8)上单调递增；当Al时，函数兀0在(0,加(1,+8)上单调递增，在色1)上单调递减.7.已知函数人V)=X2e"+l-(R),求函数(x)的单调区间.7.解析Kr)=fe"h+1(ER)的定义域为(-8,+),/(x)=x(ax÷2)ev+,.当=0时，x>0,/(x)>0;x<0,/(x)<0,所以函数Ar)的单调递增区间为(O,+00),单调递减区间为(-8,0).当白>0时，x(-8,习，/()>0;0)，/(x)<0;x(0,÷oo),/(x)>0,所以函数段)的单调递增区间为(-8,一力，(0,+),单调递减区间为(一'0)当。<0时，x(-,0),/(x)<0;x£(0,/(x)>0;x三(-(,+00),/(x)<0,所以函数人外的单调递减区间为(一8,0),(一京+oo),单调递增区间为(0,?.8.已知函数儿t)=g-l)lnx+x2+l,讨论函数人)的单调性.8.解析的定义域为(0,÷oo),f(x)=a2ax=.当l时，/(x)>0,故兀0在(0,+8)上单调递增;(2)当，EO时，/(x)<0,故KX)在(0,+8)上单调递减;则当X£0,时，/(x)<0;当故/(X)在0,(3)当0<<l时，令/()=0,解得,+00)时，>o,上单调递减，在(,+oo)上单调递增.9.已知函数氏0=(2+*)111¥+，£,其中常数上>0,讨论於)在(0,2)上的单调性.9.解因为/(X)=(x>0,%>0).当Oa<2时，j>fc>0,且%>2,所以当x(0,Q时，/(x)<0,当X(h2)时，/(x)>0,所以函数人X)在(0,女)上是减函数，在伏，2)上是增函数；4当A=2时，w=k=2,")<0在(0,2)上恒成立，所以兀0在(0,2)上是减函数；K当Q2时，0<<2,喙,所以当x(,()时，/(x)<0;当k£(£2)时，/(x)>0,所以函数於)在(0,W)上是减函数，在弓，2)上是增函数.综上可知，当0<k<2时，K0在(0,&)上是减函数，在伏，2)上是增函数；当攵=2时，段)在(0,2)上是减函数；当%>2时，人外在(0,/上是减函数,在(%2)上是增函数.AX-+V10 .己知函数Ar)=Ina+1)且l<<2,试讨论函数Ar)的单调性.10.解析函数/)的定义域为(一1，+8),f(x)=X(X-2。+3)(x+D3,x>1.3当一l<2-3v,即IVa4时,当一l<x<2a-3或心>0时，/(x)>0,兀0单调递增，当2a-3<x<0时，/(x)<0,式x)单调递减.当2-3=0,即=另时，/(x)0,则以)在(-1,十上单调递增.3当20-3>0,即5<<2时，当一l<v或x>2-3时，/(幻乂)，则兀0在(一1,0),(%一3,+8)上单调递增.当(KE2.-3时，/(x)<0,则«v)在(0,2-3)上单调递减.33综上，当lvo<5时，/(X)在(一1,加一3),(0,+8)上单调递增，在(2a3,0)上单调递减；当二菱时，3於)在(-1,+8)上单调递增；当,<s<2时，於)在(一1,0),(2a3,+s)上单调递增，在(0,2a3)上单调递减.考点三导主指对型【例题选讲】例10已知函数Hx)=eX(ex-a)/r,讨论函数式幻的单调性.解析函数(x)的定义域为(一8,÷oo),/(x)=2elvaex-d2=(2ev÷a)(ex-a).若=0,则KX)=elv在(-8,+8)上单调递增.若>0,则由/(x)=0,得X=In.当x(-8,Ina)时，/(x)<0;当x(lna,+s)时，/(x)>0.故危)在(8,Ina)上单调递减,在(Inm+口)上单调递增.若<0,则由/(x)=0,得X=In(一?.当X£(8,In(一?)时，,。)<0；当xGn(-?,+oo)时，>0:故段)在(一8,ln(9)上单调递减，在(ln(9,+8)上单调递增.3例11已知於)=(for)InXf2+2v,求«r)的单调递减区间.解析易得KX)的定义域为(0,÷oo),Jr(X)=(2xa)lnx+xa3x+2=(2x-a)n-(2-a)=(2-)(ln-1),令/()=0得K=W或=e.当W0时，因为x>0,所以2r->0,令/(x)VO得x<e,所以人外的单调递减区间为(0,e).当a>0时，若/Ve,即0<<2e,三(o,9时，)>o,当X七佟e)时,f(x)<O,当x£(e,+8)时，/()>0,所以火幻的单调递减区间为©，e)；若?=e,即=2e,当x(0,+时，/(x)O恒成立，府)没有单调递减区间；若M>e,即>2e,当x(O,e)时，/(x)>O,当x(e,9时，/(x)V0,当xg,+8)时，/()>O,所以7U)的单调递减区间为(e,9.综上所述，当，Eo时，I外的单调递减区间为(O,e)；当OCaV2e时，Kr)的单调递减区间为e)；当=2e时，兀O无单调递减区间；当>2e时，凡外的单调递减区间为(e,5).【对点训练】11 .己知函数人工)=ar1的定义域为(0,÷),讨论函数/(x)的单调性.12 .解析t.*fi.x)=ex-a-1,f(x)=ex-a.易知/(X)=CAa在(0,+8)上单调递增.当l时，/(x)>0,故段)在(O,+oo)上单调递增；当>l时，由/(x)=ex-=0,得X=In,；当OVXVIna时，/(x)V0,当x>ln时，/(x)>0,.在(0,Ina)上单调递减，(lnat+«>)上单调递增.综上，当好1时，y在(0,+8)上单调递增；当时，y在(0,Ina)上单调递减，在。n,+8)上单调递增.12.已知函数J(x)=(x22x)ln-+2axaR).(1)若=0,求Kr)的最小值；(2)求函数凡。的单调区间.12.解析(1)若a=0,y(x)=x2ln-x2,定义域为(0,÷oo),f(x)=2xnx+2×-x=2111X1由/(x)>0可得Z>l,由/(x)VO可得OVXV1,所以小)在(0,1)单调递减，在(1,+oo)单调递增，所以的最小值为川)=/.(2)f(x)=(2x2a)nx÷(2-20r)-x÷2=(2-267)lnx,当0时，2-2a>0,由/(x)>0可得x>l,由/(x)V0可得OVXV1,此时兀r)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+);当OVaVl时，由/(x)>0可得OVXVa或x>l,由/(x)V0可得<V1,此时/(X)的单调递减区间为3，1),单调递增区间为(0,。)和(1,+);当。=1时，/(x)o恒成立，此时yw的单调递增区间为(0,÷);当>l时，由/(x)>0可得OVXVl或>,由/(x)Vo可得IVXV,此时y(x)的单调递减区间为(1,a),单调递增区间为(0,1)和(,÷).综上所述：当W0时，/W的单调递减区间为(O,1),单调递增区间为(1,+oo);当OCaVl时，7U)的单调递减区间为3，1),单调递增区间为(0,幻和(1,÷oo);当=l时，Hx)的单调递增区间为(0,+),无单调递减区间；当>l时，1)的单调递减区间为(1,。)，单调递增区间为(0,1)和3，+).考点四导主正余型【例题选讲】例12(2017山东理)已知函数KX)=2+2cosx,g(x)=eA(cos-sinx+2-2),其中e是自然对数的底数.(1)求函数g(x)的单调区间；(2)讨论函数7(x)=g(x)-4(x)(R)的单调性.解析(1)g,(x)=(e),(cosXsinx÷2-2)÷ex(cossinx÷2-2/=ca(cosx-sinx÷2-2sinx-cosx÷2)=2c(x-sinx).记NX)=Xsinx,则p'(x)=1cosx.因为COSX-1,1,所以"(x)=l-cosx0,所以函数P(X)在R上单调递增.而P(O)=Osin0=0,所以当x<0时，P(X)<0,g'(x)<0,函数g(x)单调递减；当QO时，MX)>0,g'(x)>0,函数g(x)单调递增.综上，函数g(x)的单调递减区间为(一co,0),单调递增区间为(0,+oo).(2)因为(x)=g(x)-af(x)=ex(cosxsinx+2V2)a(x2÷2cosx),所以,(x)=2et(-sinx)-(2-2sinx)=2(-sinx)(exa).由(1)知，当QO时，p(x)=-sina>0;当x<0时，PCV)=Ksinx<0.当好0时，ev-t>O,所以Qo时，/f(x)>0,函数(X)单调递增；x<0时，,(x)<0,函数力。)单调递减.当。>0时，令"(x)=2(-sinx)(e"-)=0,解得Xl=In,M=O.若0<M<l,则Ina<0,所以£(8,Ina)时，ex-a<0,(x)>0,函数(K)单调递增；x(lna,0)时，ex->0,(x)<0,函数MX)单调递减;x(0,+8)时，ex-aX)t/f(x)>0,函数Mx)单调递增.若。=1,则Ino=O,所以R时，,(x)>0,函数力(%)在R上单调递增.若>l,贝Ulna>0,所以(-8,0)时，ev-«<0,MX)>0,函数(x)单调递增；X£(0,Ina)时,ex-a<09h,(x)<0t函数人(X)单调递减；x(lnat÷oo),ex-a>0th,(x)>0,函数力(X)单调递增.综上所述，当0时，函数力(X)在(0,+8)上单调递增，在(一8,0)上单调递减；当0<<l时，函数z(x)在(一8,Ina),(0,+上单调递增，在(Inm0)上单调递减；当=l时，函数A(x)在R上单调递增；当时，函数力(x)在(一8,0),(In0,+8)上单调递增，在(0,Ina)上单调递减.【对点训练】13.(2017山东)已知函数/(x)=?Tax2,其中参数a£R.(1)当=2时，求曲线y=U)在点(3,汽3)处的切线方程；(2)设函数g(x)=t(x)+(-)COSXsinx,讨论g(x)的单调性.13.解析(1)由题意得/V)=/一",所以当a=2时，犬3)=0,"x)=f-2x,所以/(3)=3,因此曲线y=V(x)在点(3,/3)处的切线方程是y=3(-3),即3-y-9=0.(2)因为(x)=fi,x)÷(X)cosXsinx,所以g'(x)=/(X)+cos-(-6r)sinx-cosX=MX-a)(X-a)Sinx=(-a)(-sinx).令人(X)=Xsinx,贝J(X)=Icos0,所以MX)在R上单调递增.因为(O)=0,所以当x>0时，(x)>O;当x<0时，/(x)<0.当a<0时，gXr)=(-a)(xsinx),当x(-co,a)时，%47<O,g'Q)>O,g(x)单调递增；当x£(m0)时，xa>0,g'(x)<O,g(x)单调递减；当x(0,+8)时，-a>0fg'Q)>O,g(x)单调递增.当。=0时，(x)=x(x-sinx),当X(-8,+s)时，g<x)O,所以g(x)在(一<»,+8)上单调递增.当aX)时，g<x)=(-a)a-sinx),当XW(8,0)时，x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增；当XW(O,a)时，xa<0,g,(x)<O,g(x)单调递减；当T3,+8)时，1.O>0,g'()>0,g(x)单调递增.综上所述，当。<0时，函数g(x)在(一8,a)和(0,+8)上单调递增，在(a,0)上单调递减；当a=0时,函数g(x)在(一处+8)上单调递增；当。>0时，函数g(x)在(一co,0)和(a,+8)上单调递增，在(O,a)上单调递减.