专题05 二次函数（5大易错点分析）（解析版）.docx

专题05二次函数易错点一：二次函数的表达式一、二次函数的三种表达式名称通式适用范围一般式y=ax2+bx+c(0)当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用一般式求其表达式顶点式y=a(x-m)2+k(0)其中，抛物线顶点坐标（m,k）；当已知抛物线的顶点坐标（或者是对称轴）时，常用顶点式求其表达式交点式y=a(X-XI)(X-X2)(。0)其中，（x,0）（及，0）是抛物线与“轴的两个交点坐标，故知道抛物线与X轴两交点坐标时,常用交点式求其表达式二、二次函数的平移步骤转化成顶点式，“左加右减（X）,上加下减（y）”；易错提醒：二次函数的一般式转化为顶点式时，可以利用顶点的公式转化，也可以用配方法转化，但是配方法提二次项系数时，一般只提前两项，并且不要忘记配平；二次函数的平移与一次函数的平移规律一样,但是二次函数平移需要先把一般式转化成顶点式，然后再根据平移规律平移；例1.（2023秋新昌县期末）将抛物线y=2x2-3x+2通过以下平移能得到抛物线y=2x2-3x+4的是（）A.向左平移2个单位长度B.向右平移2个单位长度C.向上平移2个单位长度D.向下平移2个单位长度【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可.【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2-3x+2向上平移2个单位，能得到的抛物线是y=2-3x+2+2,即y=2-3x+4.故选：C.例2.（2022秋娄底期末）将二次函数y=-2x+3配方为y=（x-）的形式为（）A.y=（X-I）2+lB.y=（X-I）2+2C.y=（x-2）2-3D.），=（-2）2-1【分析】根据配方法求解可得.【解答】解：y=f-2x+3=j?-2x+l+2=（X-I）2+2,故选：B.例3.（2022秋路南区期中）已知二次函数y=2x2+4-6,（1）将二次函数的解析式化为y=（-）2+2的形式.（2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标.【分析】（1）用配方法可将抛物线一般式转化为顶点式；<2）根据（1）中的顶点式确定开口方向、对称轴、顶点坐标.【解答】解：（1）y=2x2+4x-6=2（*+2x+l）-8=2（x+l）2-8；（2）由（1）知，该抛物线解析式是：y=2（x+l）2-8；a=2>0,则二次函数图象的开口方向向上.对称轴是直线X=-1、顶点坐标是（1,-8）.例4.（2022秋越城区期末）如图，在平面直角坐标系XOy中，二次函数y=2+bx+c的图象与K轴，y轴的交点分别为（1,0）和（0,-3）.(1)求此二次函数的表达式；(2)结合函数图象，直接写出当y>-3时，X的取值范围.【分析】(1)把(1,0)和(0,-3)代入y=+bx+c得到关于仄C的方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式；(2)利用抛物线的对称性得到点(0,-3)关于直线X=-1的对称点的坐标为(2,-3),然后利用函数图象写出函数值大于-3对应的自变量的范围即可.【解答】解：(1)Y抛物线y=x2+bx+c与X轴、了轴的交点分别为(I,0)和(0,-3)».J1+b+c=°,解得：(b=2Ic=-3Ic=-3，抛物线的表达式为：y=x2+2x-3.(2)当y>3时，X的取值范围是xV-2或x>0.变式1.(2023秋安次区期末)将抛物线y=3x2-2向左平移2个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的解析式是()A.y=3(x+2)2+4B.y=3(x+4)2C.y=3(x+2)2+2D.)，=3(X-2)2-6【分析】根据抛物线向左平移加，向上平移加，可得答案.【解答】解：将抛物线y=3x2-2向左平移2个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的解析式是y=3(x+2)2-2+4,即y=3(x+2)2+2.故选：C.变式2.(2023秋江干区校级期中)将y=Zr2-IZr-12变为y=(-m)?+的形式y=2(X-3)2-30.顶点坐标是(3,-30).【分析】利用配方法把二次函数一般式化为顶点式，并写出顶点坐标.【解答】解：y=2x2-2x-12=2-6x+9)-18-12=2(-3)2-30,顶点坐标为(3,-30),故答案为：y=2(-3)2-30,(3,-30).变式3.(2023秋萧山区月考)请将二次函数y=-2x2+8-6化为y=(-n)2+k的形式，并给出一种平移方式，使平移后的图象过原点.【分析】根据配方法把抛物线解析式化为顶点式即可；再根据抛物线与y轴的交点坐标为(0,-6)将抛物线向上平移6个单位即过原点.【解答】解：y=-2÷8x-6=-2(2-4x)-6=-2(x2-4x+4-4)-6=-2(X-2)2+2,即y=-2(X2)2+2,令X=0,则y=-6,，抛物线与)，轴的交点(0,-6),把y=-2Q-2)2+2向上平移6个单位后经过原点(答案不唯一).1. (2023秋平湖市期末)将二次函数y=x2-2-3的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的二次函数y的图象，则函数尹的表达式是()A.y=X2-6B.y=X2-2C.y=x2-4x-2D.y=x2-4x+2【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移法则即可解决问题.【解答】解：由题知，y=x2-2x-3=(x-I)2-4,由题中所给的平移可知，y1=(-l-l)2-4+2=(x-2)2-2=x2-4x+2.故选：D.2. (2022秋温州期末)若i物线y=x2-6x+c的顶点在X轴，则C=9.【分析】顶点在X轴上，根据顶点的纵坐标是0,列出方程求解.【解答】解：根据题意，顶点在X轴上，顶点纵坐标为0,即"毁=0,解得c=9.4×1U3. (2023秋嘉兴期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线)=以2+bx+3交y轴于点A,且过点B(-1,2),C(3,0).(1)求抛物线的函数解析式；(2)将抛物线向左平移?(加>0)个单位，当抛物线经过点8时，求小的值：(3)若尸是抛物线上位于第一象限内的一点，且SzM8C=2Saacp,求点P的坐标.【分析】(1)用待定系数法求函数解析式即可；(2)由(1)解析式求出对称轴，再求出点8关于对称轴的对称点8',求出8夕的长度即可：(3)先求出直线AC的解析式，再过点8作8£>_1.y轴交AC于点D,求出点。的坐标，过点P作尸E1.r轴交AC于点E,设点/j(x,-A?+Ax+3),则Ea,-+3),22求出尸E的长度，求出AABC的面积，再根据SaA5C=2Sacp,求出AACP的面积,然后得出关于X的方程，解方程求出I的值即可.【解答】解：(1)把8(-I,2),C(3,0)代入y=r2+加+3,则(9a+3b+3=0Ia-b+3=21F解得,吨抛物线的函数解析式为y=-尹+/计3；(2)Vy=-Ir+A+3,22 对称轴为直线X=-士-=工，2a2令8点关于对称轴的对称点为8',:B'(2,2),BB'=3, 抛物线向左平移加(m>0)个单位经过点8, w=3；(3)设直线AC的解析式为y=依+，把A(0,3),C(3,0)代入y=U+得：In=3,l=3k+n解得Ik=-1,ln=3直线AC的解析式为y=-x+3,过点6作Bf1.1.y轴交AC于点。，如图:则点D的纵坐标为2,把y=2代入y=-+3得，-%+3=2,解得X=I,：.D(1,2),BD=2,Sabc=Smbd+Sbcd=1-×lD+A×I-BD=1+2=3,22过点P作PE1.x轴交AC于点E,设点尸(JG-A2+-1.y+3),则E(JG-+3),22.*.PE=-Ar+3-(-+3)=-Xv2+.?.V,2222,.,SaABC=2sMeP=3,Scp=-，2VScp=A×3PE=22PE=1,令-A2+,=,22解得x=l或2,，当X=I时，y=-A+-1.÷3=3;22当x=2时，y=-A×4÷A×2+3=2,22：.P(1,3)或(2,2).易错点二：二次函数图象的性质一、二次函数的增减性：抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随X的增大而增大（或减小）是不对的，必须在一定的自变量X取值范围内讨论抛物线的增减性;二、二次函数的最值：对于二次函数y=办2+/+C,当时，抛物线有最低点，函数有最小值，即4acb?为抛物线顶点坐标的纵坐标；当<0时，抛物线有最高点，函数有最大值,4a4cc-b即为抛物线顶点坐标的纵坐标；4a三、二次函数图形与系数的关系：二次函数丁=奴2+/+C中，a决定抛物线的开口方向，b与a一起确定抛物线的对称轴，c决定抛物线与y轴的交点。易错提醒：平面直角坐标系内两图象的存在性问题，一般先假设简单函数图象成立，再验证复杂函数是否成立，利用排除法，得到最后答案。¥_/例1.（2023秋九原区期末）抛物线y=-2-2）2-5的顶点坐标是（）A.（-2,5）B.（2,5）C.（-2,-5）D.（2,-5）【分析】根据二次函数性质，由顶点式宜接写出顶点坐标即可.【解答】解：因为抛物线y=-2-2）2-5,所以抛物线y=-2（-2）2-5的顶点坐标是（2,-5）.故选：D.例2.（2023秋黔南州期末）在同一平面直角坐标系中，函数y=r+和y=-r2+2x+2（是常数，且0）的图象可能是（）Olx-xVpy-JC.ID.N【分析】可先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误.【解答】解：A、由一次函数y=0v+的图象可得：V0,此时二次函数y=-r2+2x+l的图象应该开口向上，对称轴x=-_2_V0,故选项错误；-2aB、由一次函数y=r+的图象可得：a<0f此时二次函数y=-r2+2x+l的图象应该开口向上，对称轴X=-_2_VO,故选项正确；2aC、由一次函数y=0r÷的图象可得：a>0,此时二次函数y=-+2"l的图象应该开口向下，故选项错误：D、由一次函数y=0x+"的图象可得：a<0,此时二次函数y=/+2x+l的图象应该开口向上，故选项错误.故选：B.例3.（2023秋平湖市期末）定义mb,c为函数y=0r2+公+c的特征数，下面给出的特征数为2?，1-?，-1-«?时，关于函数的一些结论，其中不正确的是（）A.当?=-3时，函数的最大值为其3B.当m=-3时，函数图象的顶点到直线y=-1的距离为El3c.函数图象恒过两个定点（1,0）和（二，3）、22,D.当7V0时，函数在XV工时，y随X的增大而增大4【分析】A、把"1=-3代入2，1w,-1-m,求得,b,c,求得解析式，化成顶点式解答即可；B、利用平行线的性质求得直线y=x-1与过顶点平行直线y=x-1的直线与），轴的交点，求得交点的长度，进一步即可解决问题；C、代入X的值，验证即可解答.。、根据二次函数的性质即可解答.【解答】解：因为函数y=r2+bx+c的特征数为2m,1-m,-I-间；A、当加=-3时，y=-6x2+4x+2=-6（x-）2+-,函数的最大值为反,此结论333正确;B、当tn=-3时，y=-62+4+2=-6(-)2+-,顶点坐标是(工，3333所以过顶点平行直线y=x-1的直线为y=+工，3所以直线产A1与y轴的交点为(0,工)，3-3而直线y=-1与y轴的交点为(0,-1),两交点的长度为独，3所以顶点到直线y=x-1的距离为此÷亚二王亚，此结论正确；323C、当X=1时，y=2n?+(1-n)x+(-1-n)=2m+(-m)+(-1-n)=0,当X=-1寸，y=2nx2+(1-/n)x+(-1-n)=1.-工(1-m)+(-1-加)=222-32即函数图象恒过两个定点(1,0)和(工，-2),此结论不正确.22。、当/nV0时，y=2mx1+(1-n)+(-1-m)是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x=Ql,在对称轴的右边,y随X的增大而减小.因为当小VO时，4m旦1.=I即函数在<1.时，y随X的增大而增大，此结论正确：4m44m44故选：C.,2例4.(2023秋上饶期末)已知，二次函数y=?+云+c满足以下三个条件：>a4c,-HcVO,bVc,则它的图象可能是()交点，根据图象判断4、C的符号，然后根据对称轴及抛物线与X轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.Cu2【解答】解：二次函数y=?+6+0满足以下三个条件：二>4c,-b+c<O,abVc,J由可知当>0时M-4c>0,则抛物线与X轴有两个交点，当V0时庐-4c<0,则抛物线与X轴无交点；由可知：当X=-1时，y<0,由可知：-b+c>O,9：a-ZH-c<O,必须“V0,符合条件的有。、D,由C的图象可知，对称轴直线X=-旦>0,a<0,>0,抛物线交)，的负半轴，2ac<0,则b>c,由。的图象可知，对称轴直线X=-±-V0,V0,.bVO,抛物线交y的负半轴，2ac<0,则有可能。Va故满足条件的图象可能是D.故选：D.例5.(2023秋滨江区期末)在“探索函数y=r2+加+c的系数小儿C与图象的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的四个点：A(0,3),B(1,0),C(3,0),D(2,3).同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中。的值最大为()A.-3B.-1C.3D.1【分析】比较的大小，通过正负先排除8和。，根据同越大，开口越小，确定过点A,点8,点。三点的二次函数的。的值最大.【解答】解：由图可知，过点A,C,。和过点B,C,。的二次函数开口向下，V0,故排除A和8,;同越大，开口越小，,当4>0时，开口小的那个“最大，由图可知，过点A,点B,点。三点的二次函数的。的值最大.c=3把A(O,3),B(1,O),D(2,3)代入y=+bx+c得.a+b+c=04a+2b+c=3解得=3例6.（2023秋渡河区期末）已知二次函数图象），=F-3x+c经过A（0,4）.（1）求二次函数的表达式：（2）设点尸（机，）在该二次函数图象上，求用+的最小值.【分析】（1）把点A的坐标代入解析式求出C即可得到结论；（2）把点尸（加，）代入二次函数解析式得到=-3m+4,代入叶力求二次函数的最值即可.【解答】解：（1）二次函数图象y=f-3户。经过4（0,4）,4=02-3×0+c,c=4,二次函数的表达式为y=/-3x+4；（2）Y点P（m,）在该二次函数y=f-3x+4的图象上，.*.n=w2-3m+4,.m+n=nt+m2-3m+4=n2-2m+4=（n-1）2+3,.z=>o,.*.m+n的最小值为3.变式1.（2023秋江干区校级月考）已知二次函数），=-G+1）2+5,那么这个二次函数的图象有（）A.最高点（1,5）B.最低点（1,-5）C.最高点（-1,5）D.最低点（-1,5）【分析】根据当4V0时，二次函数图象有最高点解答.【解答】解：在二次函数y=-（+1）2+5,中，a=-KO,这个二次函数的图象有最高点（-1,5）,故选：C.变式2.（2023余江区二模）函数y=0加+c的图象如图所示，则选项中函数y="（X-b）2+c的图象正确的是（）Vy【分析】先根据y=fer+c的图象得到。、c的正负情况，然后即可得到函数y=（x-b）2+c的图象的开口方向，顶点坐标解顶点坐标所在的位置，从而可以判断哪个选项中图象符合题意.（解答解：由y=ax2+bx+c的图象可得，aV0,b>0,c>0,Y函数y="Cx-b）2+c,该函数的图象开口向下，顶点坐标为（力，c）,且该函数图象的顶点在第一象限，故选：B.变式3.（2023秋太康县期末）关于二次函数y=（+2>2-4,下列说法正确的是（）A.函数图象的开口向下B.函数图象的顶点坐标是（2,-4）C.该函数的最大值是-4D.当x£2时，y随X的增大而增大【分析】根据顶点坐标为(Mk),对称轴月=儿开口方向，进行逐项分析，即可作答.【解答】解：A、因为y=(x+2)2-4中的=l>O,函数图象的开口向上，原说法错误，不符合题意；8、因为y=(x+2)2-4,所以函数图象的顶点坐标是(-2,-4),原说法错误，不符合题意；(7、因为=l>0,函数图象的开口向上，该函数的最小值是-4,原说法错误，不符合题意；。、因为对称轴X=-2,t7=l>0,函数图象的开口向上，当时，y随X的增大而增大，正确，符合题意.故选：D.变式4.(2023秋东阳市期末)关于X的二次函数y=G)2÷3,当lx3时，函数有最小值4,则力的值为()A.0或2B.2或4C.。或4D.。或2或4【分析】分三种情况分别计算，根据函数的最小值为4,列方程求出力的值即可.【解答】解：,二次函数的对称轴为：直线X=小分为3种情况.当力Vl时，当IWXW3时，y随工的增大而增大，：当X=I时取最小值，即：(I-J)2+3=4,解得：In=0,/12=2.由力VI.得：A=O;当IW力W3时，)，的最小值为顶点值，V34,.1WW3时,力无解；当>3时，当IWXW3时，y随X的增大而减小，当x=3时取最小值，即：(3-)2+3=4,解得：A=2,/12=4,V>3,=4;综上所述，人=0或4,故选：C.变式5.（2023秋永年区期末）己知二次函数）,=r2+u+c（0）的图象如图所示，有下列4个结论：®abc>0；bVa+c；4+2Z11c>0;®b2-4ac>0;其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【分析】由抛物线的开口方程、抛物线的对称轴以及当X=O时的y值，即可得出公b、C的正负，进而即可得出错误；由“=-1时，y<0,即可得出a-。+CV0,进而即可得出错误；由抛物线的对称轴为4=1结合X=O时y>0,即可得出当x=2时）>0,进而得出4+2b+c=c>0,成立；由二次函数图象与X轴交于不同的两点，结合根的判别式即可得出A=b2-4c>0,成立.综上即可得出结论.【解答】解：抛物线开口向下，V0. 抛物线的对称轴为X=-士-=1,2a：.b=-2a>0.当X=O时，y=c>O,.9.abc<Qf错误；当X=-1时，j<0,：a-Zh-c<O,.'.b>a+c,错误；V抛物线的对称轴为X=1, 当x=2时与x=0时，y值相等， 当X=O时，y=c>O,.4+2Hc=c>0,正确；Y抛物线与X轴有两个不相同的交点，一元二次方程ax1+bx+c=0,工=力2_4c>0,正确.综上可知：成立的结论有2个.故选:B.变式6.(2023秋慈溪市校级月考)如图，平面直角坐标系中，已知点A(6,0),B(2,4),P是线段OA上任意一点(不含端点0、A),过P、。两点的二次函数W和过P、A两点的二次函数"的图象开口均向下，它们的顶点分别在线段。8,AB上，则这两个二次函数的最大值之积的最大值为()C.4.5D.4【分析】确定。M、ON与OA之间的关系，得到CM=OP=X,ND=工曲=1.(6-22x),即可求解.【解答】解：设直线08交抛物线"于点C直线AB交抛物线"于点。，即点C。分别是这两个抛物线的顶点，点A(6,0),则OA=6,由点8的坐标得，lanBQ4=2,同理由点A、B的坐标得，IanNBAO=I,2OP=2OM=2×25=CM,同理附=2AN=2Nf>,tanZBOA设OP=x,则4=6-tCM=tND=I-PA=(6-),22设两个二次函数的最大值之积为y,则y=CMDN=x工(6-彳)=-1.x2+3,22V-1<0,故y有最大值，当x=3时，y的最大值为旦，2故选：C.1. （2023秋苍梧县期末）己知二次函数y=（X-3）2-1,则当l4时，该函数（）A.只有最大值3,无最小值B.有最大值3,有最小值0C.有最小值1,有最大值3D.只有最小值-1,无最大值【分析】根据二次函数y=（-3）2-1,可以得到当1WxW4时，该函数的最大值和最小值，本题得以解决.【解答】解：Y二次函数y=（x-3）2-l开口向上，离对称轴越远函数值越大,当l<xW4时，在x=3时，函数取得最小值，此时y=-l,当x=l时，函数取得最大值，此时y=（1-3）2-1=3,故选：C.2. （2023秋滨江区期末）已知函数y=-l2-4x+l,当X=4时,该函数y的最小2值是7,【分析】根据二次函数的性质进行求解即可.【解答】解：.'y=1.2-4x+1=1（X-4）2-7,'22，抛物线开口向上，对称轴为直线x=4,顶点为（4,-7）,当x=4时，该函数y的最小值是-7；故答案为：4,-7.3. （2023秋宁河区期末）如图，已知开口向上的抛物线），=r2+b+C与X轴交于点（-1, 0）,对称轴为直线x=l.下列结论：。儿>0；2+b=0;若关于X的方程+bx+c+l=0一定有两个不相等的实数根；心上其中正确的个数有（）【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴以及与y轴的交点即可判断；利用抛物线的对称轴即可判断：由抛物线与），轴的交点在（0,-1）的下方，即可判断；由对称轴方程得到b=-2,由JC=-1时，y=0得到即a-Z>÷c=O,则C=-3,所以-34V7,则可判断.【解答】解：抛物线开口向上，a>0, 抛物线交），轴于负半轴，c<0, -1.>o,2a.b<0,.,.abc>0t故正确. 抛物线的对称轴是直线x=l, -旦=1,2a.2+0=0,故正确. 抛物线y=r2+公+c与）,轴的交点在（0,-1）的下方，抛物线y=r2+6+c与直线y=-1一定有两个交点， 关于X的方程ax2+bx+c+=0一定有两个不相等的实数根，故正确；，b=-24, x=-1时，y=0,即-b+c=O,.9.a+2a+c=0,UPc=3,而c<-1,-34V-1,a>-,故正确.3故选：D.4.（2023秋拱墅区月考）在二次函数y=-2a+3（r>0）中.（1）若它的图象过点（-1,5）,则f的值为多少？（2）当OWXW3时，y的最小值为-1,求出/的值.（3）如果A（-2,a）,B（3,b）,C（小）都在这个二次函数的图象上，且a<b<3.求的取值范围.【分析】（1）将点（-1,5）的坐标代入即可解决问题.(2)根据抛物线的对称轴为直线x=r,对f的取值范围进行分类讨论即可解决问题.(3)由4,C两点的纵坐标相等，可得出庄2工_r，再根据抛物线的对称性及增减性即可解决问题.【解答】解：(1)将点(-1,5)代入函数解析式得，(-1)2-2r×(-I)+3=5,解得尸工2(2)因为抛物线的对称轴为直线X=，上r，且抛物线的开口向上，所以当0VfV3时，i2-2t2+3=-1,解得f=2(舍负).当/23时，9-6/+3=-1,解得as(舍去)，6所以/的值为2.(3)由A,。两点纵坐标相等可知，n-2+n二t，即n=t+.将点B坐标代入函数解析式得，9-6f+3='又因为。V3,所以9-6/+3V3,解得3，2所以=r+l>-.2因为V所以点C离抛物线的对称轴比点B离抛物线的对称轴近，则n-t<t-3|,当TV1.3时，n-(w-1)<n-1-3»解得>5.当y-什3时，n-(11-1)<-(-1)+3,解得"V3.综上所述，的取值范围是<n<3或n>5易错点三：二次函数图象与方程、不等式的关系一、二次函数图象与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程的主要关系就是求交点，比如求抛物线与直线的交点坐标,则联立抛物线与直线的解析式，对应的解就是交点的横、纵坐标；二、二次函数图象与不等式的关系考点要点：利用图象的交点坐标和图象的上下关系，不解不等式，直接读出不等式的解集；易错提醒：二次函数与一元二次方程结合时，一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系都是需要注意的点，当题目中遇到对应的条件时，多联系对应的考点；例1.(2023秋西湖区期末)已知二次函数)，=(n+l)+l(m-1),则下列表述正确的是()A.若机V0,抛物线的开口向下B.当x>0时，y随X的增大而增大C.图象与X轴一定有两个交点D.图象与)，轴的交点坐标为(0,1)【分析】利用二次函数的性质对48选项进行判断；由于不能确定抛物线的开口方向，所以不能确定抛物线与X轴的交点情况，于是可对C选项进行判断：通过计算自变量为0对应的函数值可对D选项进行判断.【解答】解：对于y=(m+l)2+1(m-1)»当/“+IVO,即mV-1时，抛物线的开口向下，所以A选项不符合题意；当m+l>0,即帆>-1,则心>0时，y随X的增大而增大，所以8选项不符合题意；抛物线y=(w+l)2+1(m-1)的顶点坐标为(0,1),当加+l>0时，抛物线开口向上，此时抛物线与X轴没有公共点，所以C选项不符合题意；当X=O时，y=(n+l)x2+l=1,则抛物线与y轴的交点坐标为(0,1),所以。选项符合题意.故选：D.例2.(2023秋雨花区期末)如图，抛物线对称轴为直线x=l,与X轴交于点A(-1,0),则另一交点的坐标是()A.(3,0)B.(-3,0)C.(1,0)D.(2,0)【分析】根据抛物线对称性及对称轴为直线x=l求解.【解答】解：抛物线对称轴为直线x=l,点A坐标为(1,0),由抛物线的对称性可得图象与X轴另一交点坐标为(3,0),故选：A.例3.(2023秋拱堂区校级期末)二次函数y=r2+法+c的部分图象如图所示，则方程a(x+3)2+b(x+3)+c=2的根是-3或-2.I=O.5【分析】由二次函数y=0r2+加+c的部分图象过(2,0),得方程以2+c=2的根是X=0,即可得方程(jf+3)2+b(+3)+c=2的根满足x+3=0,故方程(+3)2+b(户3)+e=2的根是X=-3.【解答】解：由二次函数y=r2+bx+。的图象过(0,2),(1,2),得方程ax2+bx+c=2的根是x=0或1,故方程4(x+3)2+b(x+3)+c=2的根满足x+3=0或1.故方程4(x+3)2+b(x÷3)+c=2的根是X=-3或-2.故答案为：-3或-2.例4.(2023秋阳春市期末)如表给出了二次函数y=r2+纵+c(00)中心y的一些对应值，则可以估计一元二次方程r2+>+c=0(0)的一个近似解x的范围为A.1.2<x<1,3B.1.3<i<1.4C.1.4<x<l.5D.1.5<x<l.6【分析】根据表格中的数据可得出“当x=1.4时,y=0.24；当x=1.5时,y=0.25.”由此即可得出结论.【解答】解：当X=I.4时，y=-0.24；当X=I.5时，y=0.25.,.一*元二次方程Or2+bx+c=0（0）的一个近似解x的范围为1.4VXlV1.5.故选：C.例5.（2023秋新昌县期末）如图，已知直线丁=-工+（为常数）与抛物线y=-工32x2+bx+cCb,C为常数）相交于点A,D,与坐标轴相交于点8,C,且A,B,C,D四点的横坐标分别为-1,0,2,3,则不等式-l2+bx+c>的解为（）223A.-工VXV22B.-A<x<32C.0<<2D.0<x<3【分析】几何函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可.【解答】解：V直线y=-1÷Ch为常数）与抛物线y=-工x2+b+c（b,C为常32数）交点4、。的横坐标分别为-工，3,当-A<<3时，-A-2+>a+c>-A+b223即-A-2+>+c>-x+h的解集为-<x<3.232故选：B.例6.（2023秋东阳市期末）抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线X=I,若关于X的一元二次方程x2+bx+3-z=0（，为实数）在-2VV3的范围内有实数根，则，的取值范围（）A.2r<llB.r2C.6<z<llD.2r<6【分析】利用抛物线的对称轴的公式可求力值，再根据/+法+3-/=O可以看作是抛物线y=/-2+3与直线y=t有交点，根据题意即可得出结论.【解答】解：抛物线y=/+法+3的对称轴为宜线1=1,则X=-且=12:b=-2.则抛物线的表达式为y=x2-2x+3,当X=-2时，y取得最大值为：X2-2x+3=l1.当x=l时，y取得最小值为：2-2x+3=2rx2+bx+3-，=0可以看作是抛物线y=x2-2x+3与直线y=t有交点，1的取值范围是：2r<ll,故选：A.例7.（2023秋湖州期末）如图，二次函数），I=*+公+c的图象与X轴交于4、B两点，与），轴交于点C,且点8的坐标为（1,0）,点C的坐标为（0,-3）,一次函数），2=1.+的图象过点A、C.（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与X轴的另一个交点A的坐标；（3）根据图象写出"Vyi时，X的取值范围.【分析】（1）把8（I,0）,C（0,-3）分别代入y=f+bx+c得到关于力、C的方程组，求出从C即可；（2）令y=0,得到/+2x-3=0,然后解一元二次方程即可得到二次函数的图象与X轴的另一个交点A的坐标；（3）观察图象可得当XV-3或x>0,抛物线都在直线的上方，即），2<），.【解答】解：（1）由二次函数yl=x2+bx+c的图象经过B（1,0）、C（0,-3）两点，得（1+b+c=°,Ic=-3解这个方程组，得b=2,lc=-3.抛物线的解析式为y=*+2-3；(2)令y=O,得X2+2x-3=0,解这个方程，得Xl=-3,2=l,此二次函数的图象与X轴的另一个交点A的坐标为(3,0)；(3)观察图象可知，当XV-3或x>0,y<y.变式1.(2023秋集贤县期末)若抛物线与X轴有两个交点，则这两个交点间的距离称为该抛物线在X轴上截得的“弦长”.则下列抛物线：V=-5(-3)(x+2)；y2=x2-4-55丫3,(乂一2)2-2,其中“弦长”最大的是抛物线(填题序号即可).【分析】解方程5(-3)(+2)=0得到抛物线W与X轴的两交坐标为(-2,0),(3,0),则该抛物线在X轴上截得的“弦长”为5；解方程f-4-5=0得到抛物线户与X轴的两交坐标为(-1,0),(5,0),则该抛物线在X轴上截得的“弦长”为6；解方程/(-2)2-2=0得到抛物线*与X轴的两交坐标为(0,0),(4,0),则该抛物线在X轴上截得的“弦长”为4,从而得到“弦长”最大的抛物线.【解答】解：y=-5(x-3)(x+2),当V=O时，5(-3)(x+2)=0,解得x=3,Xi=-2,抛物线V与X轴的两交坐标为(-2,0),(3,0),该抛物线在X轴上截得的“弦长”为3(-2)=5：2ly,2=x24-5,当”=0时，X2-4x-5=0,解得Xl=-1.X2=5,抛物线”与X轴的两交坐标为(-1,0),(5,0),该抛物线在X轴上截得的“弦长”为5-(-1)=6：y3(-2)2-z当*=0时，.1(X-2)2-2=0,2解得Xl=0,2=4,抛物线2与X轴的两交坐标为(0,0),(4,0),该抛物线在X轴上截得的“弦长”为4-0=4：“弦长”最大的是抛物线.故答案为：,变式2.（2023秋内乡县期末）抛物线），=2?-4x+l与坐标轴交点个数是（）A.4个B.3个C.2个D.1个【分析】根据抛物线y=2x2-4x+l,可以得到该抛物线与X轴和y轴的交点，然后即可得到抛物线y=2x2-4x÷l与坐标轴交点个数.【解答】解：.抛物线y=2-4x+l,，当X=O时，y=l；当y=0时，=a2巨，x2=2一%；22_该抛物线与y轴交于点（0,1）,与X轴交于点（21返，0）,（2,0）,22故选：B.变式3.（2023春东阳市月考）如图,抛物线y=r2+bx+c（,b,C为常数，且。#0）交X轴于A（-2,0）,B（4,0）两点，则不等式2+1.落0的解为（）aaC.工-4或工2D.xV-2或4>4【分析】根据抛物线与方程、不等式的关系求解.【解答】解：由题意得：d+反+c=o的解为：1=-2或工=4,x2+-x+-=0的解为：4=-2或