专题08 平行四边形模块中档大题过关20题 （解析版）.docx

平行四边形模块中档题过关30题（解析版）专题简介：本份资料包含平行四边形、矩形、菱形、正方形这四节的主流中档大题，所选题目源自近四年各名校试题中的有代表性的优质试题，把每一个模块中的高频考题按题型进行分类汇编，立意于让学生们用较短的时间刷考试最喜欢考的题、刷最有利于提分的好题，也适合于培训机构老师给学生进行专题复习时使用。平行四边形-：平行四边形、矩形、菱形的性质汇总平行四边形矩形菱形边的方向平行四边形角的方向大小关系位置关系对角相等邻角互补对角线：互相平。为AC中点。为8。中点角二90对角线相等邻边相等对角线垂直二：平行四边形的判定：两个条件，五种判定方法边的方向一组对边平行且相等两组对边平行两组对边相等平行四边形的判定角的方向：两组对角僻对角线：对角线互相平分OA=OCOB=OD1 .（长郡）如图，在平行四边形ANa）中，对角线AC,加相交于点O,分别过点4,。作AE1.4D,CF±BD,垂足分别为E,F.AC平分NAME.（1）若NAQE=50o,求NACe的度数；（2）求证：AE=CF.D【解答】(1)解：'AE-1.BD,.NAEO=90°,VZAOE=50o,ZEA6>=40o,'.'CA平分NoAE,JNOAC=NEAO=40。，:四边形ABCo是平行四边形，.ADBCfZACB=ZDAC=40o;(2)证明：四边形A3CO是平行四边形，.O4=OC,AE_1.8。，CFVBD1ZAEO=ZCFO=90°,VZAOE=ZCOf,：.AAEOCFO(AAS),：AE=CF.2 .(2021秋长沙期中)如图，在OABCO中，AE平分N84。交30于点E,交BC于点M,C/平分NBCo交BD于点、F.(1)求证：AE=CF;(2)若NA8C=70。，求N4M8的度数.【解答】(1)证明：四边形ABeD是平行四边形，J.ABCD,AB=CDfZBAD=ZBCD./48£=/。0户，4£：平分/34。，CF平分NBCD,ZBAE=ZDCFf,AABEgZkCOF(ASA),J-AE=CFx(2)Y四边形ABCQ是平行四边形，：.AD/BC,ZfiD+ZBC=180o,VZABC=JO0tZBD=110°,.4平分/朋O,AD/BC,ZAMB=ZDAM=550.3.(2018吉林模拟)如图，在。ABC。中，E是8C的中点，连接AE并延长交OC的延长线于点E(I)求证：AB=CF;(2)连接DE,若AO=2A8,求证：DE1.AF.【解答】证明：(1)四边形ABCo是平行四边形，,AB。尸，JNA8E=NFCE,YE为BC中点，rZABE=ZFCE：BE=CE,½ABEFCE,BE=CE，AEFCE(A5A),：.AB=CF;Zaeb=Zcef(2) ,：AD=2AB,AB=FC=CD,：.AD=DF,VABEFCE,AE=EF,DE±F.4 .(明德)在平行四边形ABCD中，点E,F分别是BC,CD上的点，B.DF=CF,连接AE,AF,并延长AF交BC的延长线于点R(I)求证：AADFgAPCF;(2)若AE=2,AF=4,ZEAF=60o,求PE的长。【解答】(1)证明：四边形ABCO是平行四边形，A£)BC,JNo=NPC凡'Nd=Npcf在AAO/和/中，DF=CF，4DFPCF(ASA)；Zafd=Zpfc(2)解：作七M_1.AP于M,如图所示：VZEF=60o,NAEM=90°-60°=30°,J.AM=lAE=fE=34=3,由（1）得：AADFQAPCF,2；P尸=A尸=4,AP=S,PM=AP-AM=I,AP£=VeM2+PM2=V（V3）2+72=2,矩形矩形的判定：三个条件或者“2+1”模式三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形.5 .（2021秋雨花区校级月考）如图，四边形ABC。是菱形，对角线AC,B。相交于点O,BOCACEB.（1）求证：四边形08EC是矩形；（2）若NOAC=30。，A8=4,求矩形OBEC的周长.【解答】（1）证明：YABOgACEB,：,OB=EC,OC=EB,，四边形OHEC是平行四边形，Y四边形HBC。是菱形，：.AC1.BD,：,ZBOC=90%，平行四边形OHEC是矩形；（2）Y四边形ABCO是菱形，AD=AB,A0=0C,B0=D0,VAB=4,二AD=4,=NDAC=30。,ZDO=90o,D0=-Ud=2,由勾股定理得：AO=yjAD2-DO2=V42-22=273，即BO=OO=2,CO=AO=2«,；四边形OBEC是矩形，；,BE=CO=2心EC=Bo=2,矩形OBEC的周长=8E+EC+CO+8O=25+2+25+2=43+4.6. (2021秋信宜市期中)如图，在菱形48Co中，对角线AG8。交于点O,过点A作AEJ_BC于点石,延长BC到点区使C尸=连接OF.（1）求证：四边形AEFO是矩形；（2）若AO=10,EC=4,求AC和石。的长度.【解答】（1）证明：:四边形ABCo是菱形，4Q5C且AD=BC,TAE=CE.8C=ER：.AD=EFtAD/EFt，四边形AEFo是平行四边形，VAE±BC,ZAfF=90°,，四边形AEFO是矩形;(2)解：Y四边形ABCO是菱形，AD=IO,：,AD=AB=BC=XO,VEC=4,BE=10-4=6,在RtABE中，AE=*y2-g2=y1Q2-=8,在RtAEC中，AC=y8÷445,VZAEC=90o,AO=CO,OE=aC=2527. （2022长沙模拟）如图，已知048CO,E尸为BC边上的垂直平分线，BC=FC=2AB,且NABC）=90。.（1）求证：aABD/ACEF；（2）连接AF,请判断四边形A8。尸的形状，并说明理由.【解答】（1）证明：V四边形ABCf）是平行四边形，.8C=AZA8=8,YEF为BC边上的垂直平分线，：.BC=2EC=2BE.NFEC=90。,'：BC=FC=2AB,IEC=AB=CD,BC=BF=FC,JZXBC尸是等边三角形，,AD=FC,JNABO=N尸EC=90。，在RtABD和RtCE尸中，AD=CF,ria8OgRqCEF（H1.）iIab=CE8C广是等边三角形，：,BC=FC=2AB=2CD,：.FD=CD=AB,9:AB/CD,四边形A8Z"是平行四边形，NA8O=9（）O,.四边形AB。尸是矩形.8. （2021秋开福区校级期末）如图，在矩形ABCO中，点。为边48上一点，以点O为圆心，OA为半径的。与对角线4C相交于点E连接BE,BC=BE.（1）求证：BE为。的切线；（2）若当点E为Ae的中点时，。的半径为1,求矩形A88的面积.B【解答】证明：（1）连接OE,Y四边形ABC。是矩形，,N48C=90。,*：0A=0E,BE=BC,ZEAO=ZAEO,ZCEB=ZACB.NAC8+/CAB=NAEO+NC仍=90。，Z0E=90o,YOE为。的半径，,BE是。的切线；(2)解：在RSA8C中，点七为AC的中点，：,BE=CE=AE=BC,AZfiAC=30o,NACB=60。，AZfBO=30°,在RS8OE中，OE=I,/.OB=2OE=2,BE=JOE=M,A=1+2=3,BC=BE=3,，矩形ABCD的面积为BC=339.(青竹湖)如图，菱形ABcD对角线交于点O,BE"AC,AEHBD,Eo与AB交于点产。(1)求证：四边形AE8O是矩形；(2)若EO=I0,ZEBA=Oio,求菱形ACD的面积。【解答】（1）证明：3EAC,AE8。，J四边形AEBo是平行四边形，:四边形48C。是菱形，：.ACA-BD.NABD=CBD,二四边形AE8。是矩形；（2）解：由（1）知四边形A砧0是矩形/砧0=90。/七84=60。/480=30。在RtAABO中，A8=10,NABO=30°.AO=5,BO=53,D=103.菱形48CZ）的面积=ABD的面积+BCD的面积=2xaABD的面积=2×-±.×103×53=5O310.（麓山国际）如图，菱形AB8的对角线4C,班>相交于点O,E是AD的中点，点尸，G在AB上,EhAB,OGHEF.（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若A£>=10,EF=4,求QE和友;的长.【解答】解：（1）Y四边形ABCD是菱形，O8=OQ,E是AZ）的中点，,OE是AABD的中位线，OErG,YOG石凡，四边形OE/P是平行四边形,9JEF1.AB,JNE尸G=90。，平行四边形OE尸G是矩形；（2）V四边形ABC。是菱形，.BD±AC,AB=AO=10,ZAOD=90o,TE是A。的中点，OE=AE=1.O=5；由(1)知，四边形OEFG是矩形,2：,FG=OE=5,VAE=5,EF=4,A产=JAE2RF2=3,：.BG=AB-F-FG=10-3-5=2.11.如图,AC=BC,D是AB的中点,CEAB.CE=1.aB.2(1)求证：四边形CDBE是矩形。若AC=5,CD=3,F是BC上一点，且DF_1.BC,求DF长。CE【解答】(1)证明：.AC=BC,JaACB是等腰三角形，是A8中点，。8=/8,CD上DB,TCE2=1.B,工。B=CE,.CE"AB,四边形CO8E是平行四边形，又TCO1.Z)B,二四边形CoBE是矩形；2(2)解：在RtCO3中，NCDB=90。,CB=AC=5,CD=3,BD=yj22=VDF1BCF,:.DFBC=CDBD,解得：DF=-.5菱形菱形的判定：三个条件或者“2+1”模式四条边都相等；对角线垂直的平行四边形是菱形；邻边相等的平行四边形是菱形.12. (2022春长沙期中)如图，矩形A8C。的对角线AC,8。相交于点。，将OCQ沿CQ所在直线翻折，点O的对称点为点E(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)若NCS力=30。，Co=2,求四边形OCEO的面积.【解答】(1)证明：四边形ABCZ)是矩形，OO=CO,由折叠可得，OD=ED,OC=EC,：.OD=ED=OC=EC,：.四边形OCED是菱形；(2)解：VZBCD=90o,ZCBD=30o,CO=2,：,BC=MCD=由(1)知四边形ODEC为菱形，连接OE.JCE/OD且CE=OD.CE/BO且CE=BO.四边形OBCE为平行四边形.JOE=BC=2a,四边形OCED的面积=J1.Cz>OE=1.<2x2=25.2213. (2022春开福区校级期中)如图，在AABC中，AC=BC,点。、E、尸分别是A8、AC.BC的中点,连接。E、DF.(1)求证：四边形。尸CE是菱形；(2)若NA=75。，AC=8,求菱形。尸CE的面积.【解答】(1)证明：Y点。，E,产分别是A8,AC,8C的中点，。七C凡DE=I-BC,DF/CE,DF=Iac,；四边形QEC尸是平行四边形，.4C=5C,DE=DFf四边形DFCE是菱形；2(2)过E作EGl.BC于G,.AC=8C,ZA=75o,ZB=ZA=75o,ZC=30o,EG=AcE=1C=2,菱形。产CE的面积=2x4=8.14. (2021秋临沂期中)如图，O为菱形ABC。对角线上一点，以点O为圆心，QA长为半径的。与BC相切于点M.(1)求证：CO与。O相切；(2)若菱形A8C。的边长为1,ZABC=60°,求。的半径.B。与BC相切于点M,：.OM1.BC,NOMC=NONC=90。，TAC是菱形48C。的对角线，：.ZACB=ZACDt：OC=OC,:()Mg40NC,ON=OM1,C。与。相切；(2) .A8C。是菱形，：,AB=BC,VZABC=60%ZC=60o,AC=I,设半径为二则OC=7,OM=r,VZCB=60o,NoMC=90°,ZCO1=30o,MC=lz£,22+(JZ)2=(1-r)2,解得r=-3.2''32+315. (2021秋开福区校级月考)如图，O是矩形ABCo对角线的交点，DE/AC,CE/BD.(1)求证：四边形OCE。是菱形：(2)若NAO£>=120。，DE=3,求菱形OCEo的面积.【解答】(1)证明：£>£AC,CE/BD,，四边形OCEo是平行四边形.丁。是矩形/WC。的对角线的交点，：.OA=OC、OB=OD,AC=BD,OD=OC,，平行四边形OCEo是菱形；(2)解：由(1)得：OD=OC,四边形OCEO是菱形，：.OD=DE=3,YNAOQ=120。，ZCOD=60o,CO是等边三角形，CD=0D=0C=3,AC=2OC=6,;四边形A8C。是矩形，ZADC=90o,AAD=AC2_CD2=Ay62_33=33，9S菱形。C£0=2SAOCD=Snadc=XaD×CD=33×3=-.16. 如图，在RtZkABC中，ZACB=90o,。为AB的中点，S.AE/CD,CE/AB.(1)证明：四边形AZ)CE是菱形；(2)若NB=60。,BC=6,求菱形A。CE的高.(计算结果保留根号)【解答】(1)证明：.AE"CD,CE4B,J四边形AQCE是平行四边形，又;N4C8=90。，。是AB的中点，,CO=1.lB=BO=AO,平行四边形AoCE是菱形；2(2)解：过点。作。尸J_CE垂足为点凡如图所示：。尸即为菱形4。CE的高，VZ=60o,CD=BD,.ZBCO是等边三角形，：NBDC=NBCD=60°,CD=BC=6,YCE/AB,：,NDCE=/BDC=60°,又：CD=BC=6,，在RI尸中，DF=CDsin60o=6×2Z=33.217. (2021秋雨花区校级月考)如图，在四边形ABC力中，AC,BD交于。点,ADBC,BA=BC,BD平分NABC(1)求证：四边形ABCO是菱形：(2)延长BC至点E,使DE4C,若BC=5,BD=S,求四边形ABEo的周长.【解答】(1)证明：TBD平分NABCZABD=ZCBd,:AD"BC,：.ZADB=ZCBD=ZABD,AB=AD,又.BA=8C,AO8C,且AD=BC,四边形ABCO为平行四边形，YAB=AO,四边形A8C。为菱形.(2)解：四边形ABCO是菱形，：.ACVBD,DEAC.DE±BD,YAD"BC,DE/AC,.四边形ACEO为平行四边形，：.CE=AD=BC=5,.BE=BC+CE=0,在RsB。E中，由勾股定理得：=Vbe2-bd2=V102-82=6,ba=bc=5,/.四边形ABED的周长=H8+AO+8E+OE=5+5+IO+6=2618. (2021秋长沙期末)如图，将菱形ABCo的对角线AC向两个方向延长，分别至点七和点尸，且使AE=CF.(I)求证：四边形EBP。是菱形；(2)若菱形EB尸。的对角线80=10,E尸=24,求菱形EBF。的面积.【解答】(1)证明：Y四边形ABCo是菱形，ACJ_8£>,AO=CO,BO=DO,VAE=CF,：.AO+AE=CO+CF,即EO=尸。，TBO=QO,EO=FO,二四边形FQ是菱形；(2)解：四边形EBFo是菱形，BD=10,E户=24,'.菱形EBFO的面积=工8。石尸=1.IOX24=120.2219. (2022长沙一模)如图，在AABC中，点。，点石分别是边AC,AB的中点，点尸在线段DE上，ZAFB=90o,FGAB交BC于点、G.(1)证明：四边形E尸G8是菱形；(2)若A尸=5,BF=12,BC=I9,求。尸的长度.【解答】(1)证明：Y点。，点七分别是边AC,A8的中点，。石是AABC的中位线，E尸BG,VFGAf，四边形BEFG是平行四边形，YNA/8=90。，尸E=BE=1.18,；四边形石尸GB是菱2形；(2)解：；点。，点七分别是边AC,AB的中点，,DE是ABC的中位线，,OE=工BC=!x19=22,222在AAB尸中，VZAFB=90o,EF=Xlfi=Ax13=11,.DF=DE-EF=Ii-11=3.2222220.(雅礼)如图，菱形ABCO的对角线AC、6。相交于点O,BE/AC,AE/BDtOE与AB交于点产.(1)试判断四边形AEBO的形状，并说明理由；(2)若OE=5,AC=8,求菱形ABCo的面积.【解答】解：(1)四边形AEBO是矩形，理由如下：VBE/AC,AE/BD四边形AEBo是平行四边形.又Y菱形ABS对角线交于点OAC_1.BD,即NAo8=90。.，四边形AEBo是矩形；(2)四边形ABeO是菱形，.QA=1.c=4,OB=OD,AC1.BDt;四边形AEBo是矩形，2：.AB=OE=S,OB=b2-Q2=52-42=3,工BD=2OB=6,，菱形ABCQ的面积=1.CXBQ=工x8x6=24.2221.(2022春长沙期中)如图，在平行四边形ABCO中，以点A为圆心，48长为半径画弧交AO于点F,再分别以点&尸为圆心，大于ZF的长为半径画弧，两弧交于一点尸，连接AP并延长交BC于点E2连接EE(1)求证：四边形A8E厂是菱形；(2)设AE与3尸相交于点0,四边形ABE尸的周长为24,BF=6,求四边形ABEF的面积.【解答】(1)证明：由作法得AF=A8,4E平分NB4。，,NBAE=N以E,四边形ABCO为平行四边形，.,.ADBCt：.ZFAE=ZBEAf：.ZBEA=ZBAE,.t,BA=BE,：.AF=BE,*：AFBE,J四边形ABE/为平行四边形，,JAB=AF,，四边形ABETr是菱形；(2)解：.菱形ABEr的周长为24,工AE-1.BF,OA=OE,OB=OF=1.F=3,BE=6,2在RSo8E中，OE=J622=35,AE=2OE=63,四边形ABEF的面积=1BFAE=2x6x65=18.2222.(广益)如图，在矩形ABC。中，对角线8。的垂直平分线MV与AD相交于点M,与BC相交于点N,连接8M,DN.(1)求证：四边形BWDN是菱形；(2)若A8=4,AD=S,求MD的长.【解答】(1)证明：Y四边形A8C。是矩形，ZA=90o,OB=ODf；NMDO=NBO,ZDMO=NBNO.TMN是8。的垂直平分线，OQ=OB,rZMDO=ZNBO在OM。和8NO中，Ndmo=Nbno,zqmo且zbno(AAS),OD=OB：OM=ON.；OB=OD,四边形BMDN是平行四边形.'：MNlBD,四边形BMDN是菱形.(2)解：设MO=M3=羽则AM=8x.在RtZkAMB中，由勾股定理得：J?=(8-x)2+42,解得：x=5.即MD=5.23.(师大)如图，在四边形ABCD中，ADBC,AB=BC,对角线AC、BD交于点O,BD平分NABC,过点D作DE_1.BC,交BC的延长线于点E,连接OE.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若DC=2&,AC=4,求OE的长.【解答】(I)证明：,:AD/BC,ZADB=ZCBd,TBD平分NA8C,ZABD=ZCBDf.NADB=NABO,：.AD=ABtAB=BCf：.AD=BC,AD/BC,，四边形ABeo是平行四边形，又.A8=8C,四边形ABCO是菱形；(2)解：V四边形A8C。是菱形，AC_1.BD,0B=0D,QA=OC=1.C=2,2在RtAOCO中，由勾股定理得：OD=JCD2_0C2=4,8O=2OO=8,'JDE1.BC,ZDE=90o,：OB=OD,OE=1-BD=4.224.(2022长沙一模)如图，已知E、尸是矩形4BC。对边A8、。的中点，连接ER点G是边AO上一动点，连接BG交所于点"，连接AH,过点A作AP_1.8G交E尸于点P.(1)求证：AH=HG;(2)连接8P、PG,若BP1.PG,求证：四边形AHPG为菱形;【解答】(1)证明：四边形48CO是矩形，ZBAD=90o,AB=CD,AB/CD,：E、尸是矩形ABC。对边AB、8的中点，AE=1AB=A.CD=DF,六四边形AE尸。是矩形,22.9.EFADf又E是A8中点，,H是BG的中点，VZD=90o,：AH=1.BG=HG；2由（1）知A"=HG,H为BG中点，YBP1.PG,：PH=1.BG=HG,：.PH=AHt：.4HAP=4HPA,:AGAP=AHPA,；NGAP=NHAP,'Nhah=Ngam在ZiAM"和AAMG中，Jam=AM，'AMHAMG(ASA),：.AH=AG,：.PH=AG,Zamh=Zamg*：PH/AG,AH=PH,二四边形AHPG为菱形；(3)解：设菱形AaPG边长为",则A"=P7=PG=AG=x,£”是AABG的中位线，：,EH=l-x,在RSAEH中，(1.)2+(-2Z)2=2,解得=4,PH=4,222:ABPH的面积为工x4x25=45.225 .(2012天水)如图所示的一张矩形纸片48Co(AQ>A8),将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕E尸交AO边于点E,交BC边于点凡交Ae于点0,分别连接A尸和CE(1)求证：四边形AFCE是菱形：(2)过E点作Az)的垂线EP交AC于点P,求证：247=人。4?；(3)若AE=IOC?，AB/的面积为24sP,求AB/的周长.【解答】(1)证明：当顶点4与C重合时，折痕"垂直平分AG,OA=OC,NAoE=NCO尸=90。,;在矩形A3C。中，AD/BC,；./EAO=NFCO,在AAOE和CO尸中，'Naoe=NcofOA=OCAOECOFCASA),OE=OF,:OA=OC,，四边形A尸CE是平行四边形，Zeao=Zfco,£尸_14。，平行四边形4尸位是菱形.(2)证明：YNAEP=NAOE=90°,ZEAO=ZEAP,：.AOE<AEP,，胆=殁，APAEWAE2=AOMP,VAO=-Iac,AE2=-1.aCAP,：.IAEl=AC-AP.22(3)解：设A8=mw,8F=>e.由(1)四边形AFCE是菱形，,AF=AE=IOc"?.VZB=90o,/+)?=100.(x+y)2句=100.ZkAB/的面积为24(7帆2,/.Xry=24.即Xy=48.由、得(x+y)2=196.Jx+y=14或x+y=14(不合题意，舍去).，AB/7的周长为：x÷)H-AF=14+10=24(cm).正方形26 .(2021秋雨花区校级月考)如图，正方形ABCO中，点E,尸分别在AO,Co上，且Z)E=CF,AF与BE相交于点G.(1)求证：BE=AF(2)若A8=8,Z)E=2,求AG的长.BC【解答】(1)证明：四边形ABCO是正方形，：.ZBAE=ZDF=90o,AB=AD=CD,DE=CF,'AB=ADC-AE=DF1在48AE和AAO/中，/BAE=NADF，BAADF(SAS),BE=ARAE=DF(2)解：由(1)得：bBAE叁IXADF,：.ZEB=ZFAD,ZGAE+Z4EG=90o,ZAGE=90°,VA=8,QE=2,E=6,AB2+AE2=72+62=1°,在RSABE中，AB×AE=BE×AGfAG=4.8.27 .(长沙中考)如图，已知正方形ABCD中，BE平分NDBC且交CD边于点E,将BCE绕点C顺时针旋转到ADCF的位置，并延长BE交DF于点G.(1)求证：BDGDEG;(2)若EGBG=4,求BE的长.A1J)bCt【解答】(1)证明：:将BCE绕点C顺时针旋转到DCF的位置，JzXBCEg£>(?/，ZFDC=ZEBC,：BE平64DBC,：.ZDBE=ZEBCt：.ZFDC=ZEBD,'：/DGE=NDGE,：ABDGSADEG.(2)解：VBCEDCF,/.ZF=ZfiEC,/EBC=/FDC,=四边形ABC。是正方形，ZDCB=90o,/DBC=NBDC=45。,=BE平分No8C,；NDBE=NEBC=22.5。=NFDC,NBEC=67.5°=ZDEG,ZDGE=180°-22.50-67.5°=90°,即BG±DF,VZBDF=45o+22.5o=67.5o,ZF=90o-22.5°=67.5o,ZBZ)F=Z：.BD=BF,.DF=2DG,VBDGDEG,BG×EG=4f.-=1.t.BG×EGEGDG=OGXDG=4,ADG2=4,：,DG=Z：BE=DF=2DG=4.28 .(雅礼)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边AB,BC上，ZADE=ZCDE(1)求证：AE=CF;(2)连接DB交EF于点O,延长OB至点G,使OG=OD,连接EG、FG,判断四边形DEGF是怎样的四边形，并说明理由。：.DA=DC,ZA=ZC=90o,【解答】（1）证明：.四边形ABCQ是正方形,rZADE=ZCDF在ADAE和AOCT7中，DA=DC，:ADAE4DCF,：.AE=CF;ZA=ZC(2)四边形OEGF是菱形，9ADAEADCFtJDE=DF,VAE=CF,：,BE=BF,QG是E尸的垂直平分线，J.GE=GF,VOG=OD,DG1.EF,J.ED=EG,：.DE=EG=GF=FD,四边形QEG产是菱形.29 .（广益）E、尸分别为正方形ABCQ的边A3、3C的中点，AF分别与。七、3。相交于点M、N（1）求证：ADE三AF;（2）若AB=2,求AM的值；（3）求tanNMON的值。【解答】（1）证明：.正方形ABCO,.AB=D,ZABC=ZBAD=90o,E、F为边AB、BC的中点,'AD=BA：.BF=AE,在AAOE与abaf中，Nead=Nfba,adebaf(5as)；AE=BF(2)解：*：AB=BC=AD=It,BF=AE=1.皿=1.DE=AE2+AD2=5,7ADEBAFfZADE=ZBAF,：NADE+/DAM=NBAF+NDAM=90°,：.ZAMD=90q,'SaedAEAD="DEAM,1×2=54,由（1）同理得：am=a-,5(3)解：1SAE=f则AO=2x,则。E=倔，:四边形48Cz)是正方形，JAD"8C,JABN/SNa,得此M=1./_.AF=DE=倔，ANADAN23AIN：.MN=X,'：AD=2x,AM=23厘I,由勾股定理得：DM=155WixtanNMQN=典=A.DMW535X30.（2022开福区校级一模）如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与3、。重合），将线段AM绕点4顺时针旋转90。得到AN,连接。N、MN、AC,MN与边AD交于点、E,与AC相交于点。.(I)求证：AABMgZXAQN;(2)当AM平分NBAC时，求证：AM2=AOAE;(3)当CM=34M时，求史的值.OE【解答】(1)证明：Y四边形ABCo是正方形，.A8=AO,NCAZ)=NAC8=45。，ZBAD=ZCDA=NB=90。，NBAM+NM4O=9(T,.将线段AM绕点A顺时针旋转90。得到AM.NM4N=90°,AM=AN,NMAO+NoAN=90°,J.ZBAM=ZDAN,'：AD=AB,ZABC=ZADN=90°,AABMAADN(ASA)；(2)证明：VABADN,'：AM=AN,VZMAN=90o,1.NMNA=45。,JNBCA=NMNA,YAM平分N8AC,ZCAM=ZBAM=22.5o,丁NBAM=NoAN=22.5。，：,ZCAM=ZNAD,AfC</>EV,，幽,.AMAN=ACAE,.*.AM2=ACAE;AEAN(3)解：YCM=3BM,，设8=,则CM=3,BC=AB=4c,AC=42a>/.AM=AB2+BM2=,：将线段AM绕点4顺时针旋转90。得到AMNK4N=90。，AM=AN=17*'力N=JAN2-A112=m:CN=CADN=5a,VtanZCyVAf=DE=CM,'迈0，VAPJaUDNCNDNCN空J1.QE=&,：.AE=X1.af、：BCAD,COEO,/.M=CM=-=J.5aa55OEAElZ_a1754