专题09三角函数.docx

1.12021全国高考真题】若tan。=2,则把处叫叫=()sinG+cos6226A.一B.C.一D.一5555【答案】C【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(I=Sin2e+cos?6)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan<9=-2即可得到结果.【详解】将式子进行齐次化处理得：sin(l+sin28)sin(sin2÷cos2+2sincos1.=1.=sin9(sin。+cos)sin+cossin+cos_sin。(Sine+cos。)_tan2+tan_4-2_2sin2+cos2l+tan21+45故选：c.讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论.2.【2021全国高考真题】下列区间中，函数F(X)=7sin(a11(11A(311I2；U)I2【答案】AJTTTJT【分析】解不等式2就一一<x<2+-(Z),262'x-高单调递增的区间是()D.既同利用赋值法可得出结论.【点睛】易错点睛：本题如果利用tan6=2,求出SinaCoSe的值，可能还需要分象限【详解】因为函数y=sinx的单调递增区间为(2%(1111对于函数f(x)=7SinX-,由<x-I6J2解得2人乃一q<x<2br+2(AZ),取Z=0,可得函数/(x)的一个单调递增区间为1111-,2k11+-<2k11+-62_£幻3'3J,故选：A.【点睛】方法点睛：求较为匏杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(s+p)形式，再求y=4sin(3+s)的单调区间，只需把5+。看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把。化为正数.3.12021北京高考真题】函数/(x)=CoSX-8s2x,试判断函数的奇偶性及最大值()A.奇函数，最大值为2B.偶函数，最大值为299C.奇函数，最大值为一D.偶函数，最大值为一88【答案】D【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，f(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cosX-cos2x=f(x),所以该函数为偶函数，fM=cosX-cos2x-2cos2x+cosx+1=-2cosx-+,19所以当COSX=一时，/(x)取最大值一.48故选：D.4.12021浙江高考真题】已知夕,7是互不相同的锐角，则在SinCCossin尸cosy,sin/COSa三个值中，大于;的个数的最大值是()A.0B.1C.2D.3【答案】C3【分析】利用基本不等式或排序不等式得SinaCoS/+sin/CoSy+sinycoso,从而可判断三个代数式不可能均大于g,再结合特例可得三式中大于g的个数的最大值.22【详解】法1.由基本不等式有SinaCoS尸s11rc°s-J,qin2?÷cos2Vsinv+cs2CJ同理sin7cos-,sincosa.3故SinaCoS/+sin7cosy+sinycos0<,故SinaCoS尸,sin7cosy,sinycos不可能均大于.取a=一,=-,634则SinaCoSPu,si“coSy=平斗Sinyc。Sa=手>g，故三式中大于；的个数的最大值为2,故选：C.法2：不妨设v7v/,则COSa>cos/7>cosy,sinvsin"Vsiny,由排列不等式可得:sinacos/7+siny?cosy+sinycosasinacosy+sin?cos/7+sin/cosa,3Wsinacos÷sincos+sin/cosa=sin(/+a)+-sin2-1故SinaCOS尸,sin7cosy,sinycosa不可能均大于；.P11n1111取a=,=，r=,634则sinacos=；<；,Sin夕COSy=>g,sinycosa=故三式中大于；的个数的最大值为2,故选：C.【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.5.12021全国高考真题(理)】把函数y=F(X)图像上所有点的横坐标缩短到原来的;倍,纵坐标不变，再把所得曲线向右平移?个单位长度，得到函数y=sin(x-?)的图像,贝厅(X)=()A.SiQ学(212；B. sinX11÷一(212jC. Sin2x-I12D. sin2x+-I12【答案】B【分析】解法一：从函数y=()的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到y=f2%=Sin(X,再利用换元思想求得y=/()的解析表达式;解法二：从函数y=sin(x-5出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到y=fM的解析表达式.【详解】解法一：函数y=/()图象上所有点的横坐标缩短到原来的;倍，纵坐标不变,得到y=(2x)的图象，再把所得曲线向右平移?个单位长度，应当得到的图象,根据已知得到了函数y=sinx-?的图象，所以/2.11=smXI411,lt1111t11Mx=-+-yx=+,234212所以f()=si呜+总,所以/(x)=sin('+总；/解法二：由已知的函数y=sinX-三逆向变换，I4J第一步：向左平移个单位长度，得到y=sinx+?-：)=Sin(X+5)的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y=sin5+5)的图象，即为y=(x)的图象，所以/(x)=sin(+VJ.故选：B.【点睛】本题考查三角函数的图象的平移和伸缩变换，属基础题，可以正向变换，也可以逆向变换求解，关键是要注意每一步变换，对应的解析式中都是X的变换，图象向左平移。个单位，对应X替换成x+,图象向右平移。个单位，对应X替换成冗一牢记“左加右减”口Y诀；图象上每个点的横坐标伸长或缩短到原来的A倍，对应解析式中X替换成:.K6.【2021全国高考真题】己知。为坐标原点，点(cosa,sina),(cos7,-sin7),COS(+7),sin(+7),A(l,0),则()A.o用=o闾B.a=aAC.OAOPy=OP,OP2D.OAOa=OgOR【答案】ACIIllUUllU【分析】A、B写出。04、APrAE的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A：OPx=(COSa,sina),OP2=(cos/7,-sin/?)»所以OPx=Vcos2a+sin2a=1，IOP2=(cosy0)2+(-siny0)2=1，故IarI=IOR,正确；B：APx=(cosa-l,sina),AP1=(cos-,-sin),所以IAP11=J(COSa-1)2+sin，:=>cos2a-2cosa+l+sin2a=J2(l-cosc)=sin2y=21siny,同理IAgI=J(COS夕I)?+sin2夕=21SingI,故IAqIJA£不一定相等，错误；C：由题意得：OA=1XCOS(+尸)+0sin(+4)=cos(+万)，OPxOP1=cosacos+sina(-sin)=cos(tz+)，正确；D：由题意得：OAO=1XCOS2+0XSina=COSa,OP1OPi=cos×cos(a+)+(-sin)Xsin(cr+)=cos(+(+)=cos(a+2),故一般来说OA-OPxOP2OPs故错误；故选：AC.7.【2020年高考全国I卷理数】设函数/(x)=CoS(S:+3在F,2的图像大致如下图，则6fCx)的最小正周期为z,411_311C.D.32【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点(一票,0),将它代入函数/(x)可得：COsf-69+-l=0,又(一票,0)是函数/(x)图象与X轴负半轴的第一个交点,所以一如G+工二-2,解得3=2.9622211_211_411所以函数/(x)最小正周期为了二§二丁2故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.8.【2020年高考全国I卷理数】已知0(0,),且3cos22-8cos=5,则Sina=【答案】A【解析】3cos2-8CoSa=5,得6cos?a-8cosa-8=0，2即3cos2a-4cos-4=0，解得CoSa=或COSa=2(舍去)，又a(0,11),/.sina=JI-COSa=手故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键,考查计算求解能力，属于基础题.9.【2020年高考全国11卷理数】若a为第四象限角，则A.cos2a>0B.cos2a<0C.sin2a>0D.sin2a<0【答案】D【解析】方法一：由为第四象限角，可得三十2左兀<<211+2k11,ZZ,2所以311+4攵11<2a<411÷4Z11,攵Z此时2的终边落在第三、四象限及N轴的非正半轴上，所以sin2<0,故选：D.方法二：当a=-工时，cos2a=cos|>0,选项B错误；<0,选项A错误;当=一工时,3由在第四象限可得：SinaVO,cos>。，则Sin2a=2sincos<0,选项C错误,选项D正确；故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.【2020年高考全国In卷理数】己知2tane-tan（9+巴）=7,则tan代4A.-2B.-1C.1D.2【答案】D【解析】2tan6>-tanf+-l=7,2tan6>-tan+1=7,I4jl-tan<9令f=tan6Uwl,贝J2f二=7,整理得产-+4=0，解得f=2,即tan=2-t故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.11 .【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（乃Day）.历史上，求圆周率"的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术相似.数学家阿尔卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正6边形的周长和外切正6边形（各边均与圆相切的正6"边形）的周长，将它们的算术平均数作为2%的近似值.按照阿尔卡西的方法，兀的近似值的表达式是A.3nC.3n30sinFtan60sin+tann）J.30030。1knn)J.600601D.6/?sin+tannn【答案】A360060°【解析】单位圆内接正6边形的每条边所对应的圆周角为S1.=Y=,每条边长为n×6n30°2sin-,n所以，单位圆的内接正6边形的周长为12Sin汇，n30030°单位圆的外切正6边形的每条边长为2tan-,其周长为12ntan,30030°12nsin-+12ntan-=6Sin迎+tanIn30o(30°则11=3nsin+tankn故选：A.【点睛】本题考查圆周率乃的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6边形和外切正6边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.12 .2020年新高考全国I卷】下图是函数y=sin(3x+(p)的部分图像，则Sin(Mf+g)=A.sin(x+【答案】BC【解析】B.z511c、cos(-2x)由函数图像可知：-2=一冗11nlt则G=2,所以不选A,T11-11c一乃lCn_1.1.C)冗当.36_5;T时，y=-.2×-+=122.、解得:=2k11+-11(<kZ),即函数的解析式为:(2y=sn2x+-11+2k11.C1111IC11.sinlxH1cos2,xHsin2,x.而cos2x-=-cos(2x)k6J6故选：BC.【点睛】已知/(x)=ASM(3x+q)(A>0,3>0)的部分图象求其解析式时，4比较容易看图得出，困难的是求待定系数3和6常用如下两种方法：由3=增即可求出3;确定9时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的"零点"横坐标Xo,则令txo+3=O(或×o+=11),即可求出.代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或"零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出3和6若对43的符号或对口的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.inr4-Y13 .【2019年高考全国I卷理数】函数/(X)=)r在-兀,兀的图像大致为COSX+X【解析】由F(T)=sin(-x)+(-x)cos(-x)+(-x)12-sinx-xcosX+x2=-(x),得/(x)是奇函数，其图fix)是偶函数/(x)在-11,11有4个零点其中所有正确结论的编号是A.C.【答案】C【解析】/(T)=Sin正确.当工<x<11时，2Hx)在区间(4，11)单调递增2(x)的最大值为2B.D.-x+sin(-x)=sinx+sinx=f(x),，/(x)为偶函数，故/(x)=2sinx,它在区间(，兀单调递减，故错误.当Ox11时，/(x)=2sinx,它有两个零点：O,n；当一兀<O时,/(x)=sin(-x)-sinx=-2sinx,它有一个零点：-兀，故/(冗)在一兀，兀!有3个零点：一11,0,7i,故错误.当2R11,2k11+11(kN*)时，/(x)=2sinx；当X2k11+11,2k11+211(:N")时，/(x)=sinx-sinx=O,又/(x)为偶函数，./(X)的最大值为2,故正确.综上所述，正确，故选C.【名师点睛】本题也可画出函数/(x)=SinIX+卜inx的图象(如下图)，由图象可得是B./(x)=si2xD./(x)=sinxA./(x)三Icos2xIC./(x)=cosx【答案】A【解析】作出因为y=sinx的图象如下图1,知其不是周期函数，排除D；因为y=8SX=8SX,周期为2兀，排除C;作出y=cos2%图象如图2,由图象知，其周期为在区间(：，)单调递增，A正确；作出y=bin2乂的图象如图3,由图象知，其周期为在区间(：，会单调递减，排除B,故选A.图3【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择.本题也可利用二级结论：函数y=()的周期是函数y=/(X)周期的一半；y=sinx不是周期函数.16.【2019年高考全国11卷理数】己知(0,),2si2=cos2+l,则Sina=2A.1B.B55C.3D,迈35【答案】B【解析】2sin2a=cos2+1.4sinacos=2cos2.l0,-i,.cosa>0,sina>0,.2sin=cosa,又sin?+cos?2=1,.,.5sin2a=l,sin2=,又sina>0,.sin«=»故选B.5【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题,研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉.解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案.17.【2019年高考全国In卷理数】设函数/(x)=Sin(S:+>0),已知/(x)在,211有且仅有5个零点，下述四个结论：/(%)在(0,2兀)有且仅有3个极大值点元)在(0,211)有且仅有2个极小值点f(力在(0哈)单调递增12290的取值范围是y,Q)其中所有正确结论的编号是A.B.C.D.【答案】D【解析】若/(x)在。,2兀上有5个零点，可画出大致图象,由图1可知，/(幻在(0,2兀)有且仅有3个极大值点.故正确;由图1、2可知，/(X)在(0,2兀)有且仅有2个或3个极小值点.故错误;当/(x)=Sin(Cox+)=O时，cox+=k11(2Z),所以_"5,55-因为/(X)在0,2兀上有5个零点，611-初咱12-295->211,三y<-,s-11所以当;5时，当66时,故正确.函数/(x)=Sin(s+1)的增区间为：一+2EV3X+<+2E,取代0,1271当6?=时，单调递增区间为JT<X<兀，52482973当G=J时，单调递增区间为,11<x<二兀，102929综上可得，/(/)在(0,专)单调递增.故正确.所以结论正确的有.故本题正确答案为D.【名师点睛】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案,要求高，理解深度高，考查数形结合思想.注意本题中极小值点个数是动态的，易错,正确性考查需认真计算，易出错.18.【2019年高考天津卷理数】已知函数/(x)=ASin(GX+0)(A>0,口>0,|0|<兀)是奇311函数，将y=()的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2兀，且J=J1.则/A.2B.C.2D.2【答案】C【解析】Y/(X)为奇函数，/(O)=ASin。=。,.、。=E,ZZ,.M=0,0=0；1 2兀又(x)=Asm-x,:.T=-=211,=2,-2又g(3=&,A=2,4.*./(x)=2sin2x,/()=2.故选C.8【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数g(),再根据函数性质逐步得出Ae8的值即可.19.12021北京高考真题】若点P(CoSaSine)与点Q(CoS(6+2),sin(6+g)关于>轴对称,66写出一个符合题意的【答案】(满足。=啜+",AeZ即可)1212JT【分析】根据RQ在单位圆上，可得。,e+g关于y轴对称，得出611OH-c2k、kZ求解.6【详解】P(COSaSin6)与Qcos6+关于y轴对称，TT即ae+2关于）'轴对称，6JT0+=11+2k11,kZ,5yr则。=b+,kZ,当人=0时，可取。的一个值为名.12故答案为：y（满足。=府+葛入2即可）.20.12021全国高考真题（理）】已知函数/（x）=2cOS（5+q）的部分图像如图所示,O的最小正整数X为.711411【分析】先根据图象求出函数,的解析式，再求出AF）J中的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】由图可知一7=二=三，即7=二不，所以啰二2；41234由五点法可得2x+0=2，即°=一巳；所以/(x)=2CoS2工一£E”7K.(1l11A1,/4兀、_(511)八H(-)=2cosl-1=1,/()=2coslI=O；所以由（个）-/咛）爪）-樗）。W或小）。；因为/(1)=2C11_cos2<2cosI6j11112=1,所以,11方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足/(X)V。，即CoS2x-<0,6)解得左11+2<x<女11+-,ZZ,令k=0,可得匹<x<2,3636可得X的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足/(x)<0,又f(2)=2cos(42)<0,符合题意，可得X的最小正整数为2.故答案为：2.【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解。，根据特殊点求解心21.【2020年高考全国川卷理数】16.关于函数/(X)=SinX+一有如下四个命题：sinxf(X)的图像关于y轴对称.f(X)的图像关于原点对称.f()的图像关于直线X=F对称.f(X)的最小值为2.其中所有真命题的序号是.【答案】解析对于命题，/任)=g+2=，=,则所以，函数/()的图象不关于y轴对称，命题错误；对于命题，函数/(x)的定义域为何XZ%MZ,定义域关于原点对称,f(-x)=sin(-%)+；=-sinX-=-fsinx+-!-=-f(x),sin(-x)snx<SlnXJ所以，函数/()的图象关于原点对称，命题正确;所以，函数/(x)的图象关于直线X=I对称，命题正确；对于命题，当一万<x<0时，SinX<0,则/(x)=Sinx+!<0<2,sinx命题错误.故答案为：.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.22.【2020年高考江苏】己知sin2(+)=M则sin2的值是_.43【答案】!3【解析】QSin2(?+a)=(-cosa+-sina)2=g(l+sin2)1 21.(1+sin2a)=.,.sin2a=-故答案为：-3【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.23.【2020年高考北京】若函数/(x)=Sin(X+CoSX的最大值为2,则常数夕的一个取值为TFTT【答案】一(2Z"+-,ZZ均可)22/(x)=COSeSinx+(sine+I)COSX=JCoS2e+(sinw+1)2Sin(X+6)，所以JCOS2¢+(sine+I)?=2,解得sin=l,故可取TTJT故答案为：一(2版+37Z均可).22【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用,考查学生的数学运算能力，属于基础题.24 .【2020年高考浙江】已知ta11e=2,则cos26=,tan(6-)=431【答案】一；一53【解析】CoS26=COS2。一sin?6二cos2-sin2_l-tan2_1-22tan9-l2-1tan(6-?)=COS2,+sin?。l+tan20l+221+tan1+23故答案为:3J_5,3【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.25 .2020年高考江苏】将函数y=3sin(2廿勺的图象向右平移£个单位长度，则平移后的46图象中与y轴最近的对称轴的方程是.【答案】x=24【解析】y=3sin2(x-)+-=3sin(2x-)6412-7TTC._77tk.2x=Fk,rkZ)X=1kZ)122242当左=1时X=-2.24故答案为：X=24【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.26.【2020年新高考全国I卷】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.。为圆孔及轮廓圆弧A8所在圆的圆心，A是圆弧48与直线AG的切点，8是圆1弧48与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC±DG,垂足为C,tanNODC=-，5BHDG,EF=12cm,DE=2cm,A到直线DE和EF的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的面积为cm2.【答案】4+-2【解析】设。B=OA=r，由题意AM=AN=7,EF=T2,所以NF=5,因为AP=5,所以N4GP=45°,因为BHDG,所以N44O=45°,因为AG与圆弧AB相切于A点，所以。4_1.AG,即ZOAH为等腰直角三角形；在直角AOQQ中，OQ=5一与r,DQ=7一当r,因为tanODC=段=±,所以21逑=25-殛DQ522解得r=2J；等腰直角ZOAH的面积为51=-×22×22=4;2扇形AQ3的面积S?=Qx-x（2J5）=3r,所以阴影部分的面积为5+S,J"=4+2.225%故答案为：4+.2【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.27.2019年高考北京卷理数】函数/(X)=sW2x的最小正周期是.【答案】W2【解析】函数/(x)=sin22x=上号"，周期为28.【2019年高考江苏卷】已知一猿二二,则Sin(11)3tana+I4j【答案】也10tanatanatana(l-tana)解析由Z-tnn<y,1-111tanor+1tana+1tana+.I4JITana3tan2a-5tan-2=0，解得tana=2,或tan=-1.3sin2a+-=sin26zcos-+cos2asin-I4)44'1120+-、42一§，雀【名师点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式、三角函数的最小正周期公式，属于基础题.将所给的函数利用降毒公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.=(sin2+cos20)=W212sinacosa÷cos2a-sin2a1Isin2+cos2a2tan+l-tan2atan2÷ll,22x2+12，y2当tan=2时，上式=丁(工卜/122×(-)÷1-(-)22当tana=!时，上式=XbXlJ匚=32(-)2+110综上，sinf2«+>l=-.I4J10【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tana的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.29.【2019年高考浙江卷】设函数/(x)=SinX,xR.(1)己知60,211),函数Fa+6)是偶函数,求)的值;口-当+斗(2)求函数=1/(工+1)2+/&+()2的值域.Tt3Tt【答案】(1)。=巳或三；22【解析】(1)因为/(x+e)=sin(x+O)是偶函数，所以，对任意实数X都有Sin(X+6)=sin(-x÷),即sinxcos+cosxsin=-sinxcos+cosxsin>故2sinxcos9=0,所以CoSe=0.又J0,211),因此e='或生.22/、A11(2)y=fx+I122÷11x+一12j2+sm【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.1111÷-4+2象关于原点对称，排除A.又/(力=-2-=r>l,/(11)=->0,排除B,2(马211-l+11C,故选D.【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养,采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题.解答本题时，先判断函数的奇偶性，得/S)是奇函数，排除A,再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案.14.【2019年高考全国I卷理数】关于函数/(x)=SinlX+SinXl有下述四个结论: