专题10 三角函数的概念 诱导公式（思维导图+知识清单+核心素养分析+方法归纳）.docx

专题10r、三角函数的概念诱导公式思维导图知识清单核心素养分析方法归纳目录01020304思维导图.厂一、角的概念1.二、终边相同的角考点1任意角和弧度制三、象限角与轴线角卜一四、角度与弧度的换算1.五、弧长公式、扇形面积公式1.-任意角的三角函数考点2任意角的三角函数1.-二、同角三角函数的基本关系r一,三角函数的诱导公式考点3诱导公式J二、诱导公式的应用知识清单一、角的概念1.角的定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点.2.角的分类任意角包括：正角、负角、零角.正角：条射线按逆时针方向旋转形成的角.负角：一条射线按顺时针方向旋转形成的角.零角：一条射线没有进行任何旋转形成的角.温馨提示：对于角的形成过程，既要有旋转量，又要有旋转方向。二、终边相同的角所有与角a终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S=pp=+k360o,kZ,即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.温馨提示：1 .相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360。的整数倍；2 .终边在一条直线上的角之间相差180。的整数倍；3 .终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90。的整数倍.三、象限角与轴线角1 .象限角、轴线角的概念(1)象限角在平面直角坐标系中，如果角的顶点在原点，角的始边与X轴的非负半轴重合，那么,角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.Q)轴线角如果角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限，称这个角为轴线角，2 .象限角的集合表示(X360o+9(<a<k-3600+180oJZlU36O0<<Jl360+90oJEZl=0四i(xA360。1800<a<k-360o÷270o.lZ)Ml-36O÷27O<a<k36O+360°Z锐角为00<a<9(,小于90。的角不等同于锐角，锐角不等同于第一象限的角.3 .轴线角的集合表示(1)终边在X轴上的角aa=k180o,kZ.(2)终边在y轴上的角aa=k180o+90o,kZ).(3)终边在坐标轴上的角l=k90o,kZ).(4)终边在X轴非负半轴上的角ala=k36(,kZ.终边在X轴非正半轴上的角aa=k36(+180o,kZ,终边在y轴非负半轴上的角ala=k36(+90o,kZ).（7）终边在y轴非正半轴上的角la=k360o+270o,kZ.四、角度制与弧度制的概念1.角度制角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的一这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.360°2.弧度制（1）1弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.弧度制用+弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.用符号rad表示，读作弧度.温馨提示：无论是以弧度还是以度为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值.（3）弧度数公式如果半径为rQ圆的圆心角所对弧的长为1,那么,角的弧度数的绝对值是恸=J五、角度与弧度的换算角度与弧度的换算公式360°=211radJ80=11rad.f=rad0.01745rad（角度化弧度）180lrad=（一）°57.30°=5/18'（弧度化角度）11六、弧长公式、扇形面积公式1 .弧长公式角度制：1二为圆心角的角度数，R为扇形的半径）.180弧度制：l=aR（a为圆心角的弧度，0<a<211,R为扇形的半径）.2 .扇形面积公式角度制：S=（n为圆心角的角度数，R为扇形的半径）.360弧度制：S=1.a='1R（a为圆心角的弧度，0<a<211,R为扇形的半径，1为扇形的弧长）.22温馨提示：涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示.七、任意角的三角函数(1)定义：任意角的终边与单位圆交于点P(x,y)时，则Sina=y,CoSa=x,tana=(x0).x(2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点Pp(x,y)是角a终边上异于顶点的任一点，设点尸到原点。的距离为r,则Sina=2，sa=,tana=(x0)a<4于第一象限a位于第二象/三角函数的性质如下表:三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号SinaR+一cosaR+一+tanaaa+ke.Z+记忆口诀:三角函数值在各象限的符号规律：全iE、二正弦、三正切、四余弦.(3)三角函数线其中sina=PM,cosa三=OM,tana=AT.当角a的终边与X轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角a的正弦值和正切值都为0;当角a的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角a的余弦值为0,正切值不存在.八、同角三角函数基本关系(1)平方关系：sin2a÷s2a=l.(2)商数关系：=tana(a+k11)；8sa2九、三角函数诱导公式公式二三四五六角2k11+ak.Z)11+a-a11-a11a211+a2正弦Sina一Sina-SinaSinaCOSaCoSa余弦CoSa-COSOfcosa-cosaSina-Sina正切tanatana-Uinatana口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限，说明：(I)先将诱导三角函数式中的角统一写作C±2(2)无论有多大，一律视为锐角，判断九X±a所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；2(3)当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可.温馨提示：1 .利用siMa+cos?。=1可以实现角。的正弦、余弦的互化，利用迎马=tana可以实现角。的弦切互化.CoSa2 .(Sina+cosa=sin2a+cos2a+2sinacosa=1+sin2a(sina-cosa)2=sin2cr+cos2a-2sinacosa=1-sin2a(sina+cosa)2+(sina-cosay)2=2核心素养分析1.任意角、弧度制的概念，角度与弧度的互化是解三角函数的问题基础.2 .利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形.同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些问题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的.3 .若己知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次辕将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型.4 .本专题在高考中多以选择题、填空题的形式出现；诱导公式在任意角三角函数的化简中起到重要作用.K3方法归纳N，一、角及其表示例1(1)(多选)下列命题正确的是()A.终边落在X轴的非负半轴的角的集合为aa=2E,kZB.终边落在y轴上的角的集合为aa=90o+A11,AZC.第三象限角的集合为卜卜+2也会既+2E,女Z;D.在一720。0。范围内所有与45。角终边相同的角为一675。和一315。答案AD解析B项，终边落在y轴上的角的集合为a=+E,k三r1.),角度与弧度不能混用，故错误;C项，第三象限角的集合为a11+2Eva考+2E,kZ故错误；D项，所有与45。角终边相同的角可表示为夕=45。+。360。，Z,令一720o45o+360o0o(Z),解得一曝k-*kwZ),OO从而当女=-2时，夕=675。；当左=-I时，=T15o,故正确.(2)已知为第三象限角，则提第象限角，2是的角.答案二、四第一、二象限或丁轴的非负半轴上解析Ta是第三象限角，3口口2履+兀<<2E+11,ker1.,.,.k11+<<11÷,AZ,4k11÷211<2a<4k11÷311,女Z.当女为偶数时，翱第二象限角；当为奇数时，翱第四象限角，而2”的终边落在第一、二象限或)，轴的非负半轴上.方法归纳：(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(kWZ)赋值来求得所需的角.确定而，(kN*)的终边位置的方法先写出ka或菅的范围，然后根据k的可能取值确定ka或1的终边所在位置.二、弧度制及其应用例2一扇形的圆心角=?半径R=IoCm,求该扇形的面积.解由已知得ct=?R=IOcm,S>=2=102=(cm2).延伸探究1.若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.解=R=WxlO=¾cm),CiC_驷I2.工3弓形=3Sl形-3用形一csn2=竽表02坐=(Cm2).2.若将本例已知条件改为：“扇形周长为20cm”，则当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解由已知得，/+2H=20,则/=202R(OVRVl0).所以S=lR=(20-2R)R=0R-R2=-(R-5+25,所以当R=5cm时，S取得最大值25c11?,此时/=10Cm,a=2rad.方法归纳：应用弧度制解决问题的方法(I)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.三、三角函数的概念例3若sin9cos6kO,黑%>0，则角6是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案D解析由需G得福出所以cosQO.又Sin夕COS农0,所以Sin农0,所以。为第四象限角.(2)己知a的终边在直线y=2x上，则Sina=.答案士芈解析由题意可知，终边落在第一或第三象限，且tan=2,若在第一象限，可在。终边上任取一点(1,2),sin=/J=邛若在第三象限，可在。终边上任取一点(一1,2),12÷225._-225sm=夫I+2?=5.x-3,.4.tana予方法归纳：(1)利用三角函数的定义，已知角。终边上一点P的坐标可求。的三角函数值；已知角Q的三角函数值，也可以求出角Q终边的位置.判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.四、同角三角函数基本关系例4(1)已知cosa=一含则13Sin÷5tana=.答案0解析.cosa=一<0且COS-1,a是第二或第三象限角.若。是第二象限角，此时13sina÷5tana=0.若。是第三象限角,_12.Sina1312tan。=尔=二亍13止匕时，13Sina+5tana=13x（一圣）+5'号=0.综上，13Sina+5tana=0.；sin2a÷sinacosa÷2=T1.1,Sina3COSa已知tan。=，则Sina+coSa答案解析已知tana=2f53,Sina-3COSatana3所以Sina+cosa=3na+lsin2a÷sinacosa÷2sin%+sincosasin2a÷cos2aIan2。+ianatan2a÷l(3)已矢口sin0+Cos，=击，0(O,11),则tan，=.答案_号解析由sinO+cos6=看得SinOcos=因为。£(0,11),所以sinG0,cos<9<0,所以sin。-cos8=y12SinGcosO=在sin9+cos，=丘联立17sin0cos。=百，sin。=7，5CoSe=一丘12所以tan，=一亍.方法归纳：(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于Sina+cosa,sinacosa,sina利用(Sin÷cosa)2=l±2sinacosa,可以知一求二.(2)注意公式逆用及变形应用：I=sin2a+cos2(z,sin2a=1cos2a,cos2a=1sin2a.五、诱导公式cosa这三个式子,(1)已知Uma=3,sin(11-a)+cos答案g分析利用诱导公式化简，然后弦化切可得.解析因为tana=3,所以，原式=cosa+cosaSina+sinatana故答案为：(2)点P(2,5)在角终边上，则2cos(11÷a)-3sin(11-a)4cos(-a)+sin(211+)答案1922929sina=29利用诱导公式二或四或五或六锐角三角函数.分析根据三角函数的定义和诱导公式求解.解析Y点P(2,5)在角。终边上,COSfZ=.2cos(11+)-3sin(11-or)_-2cosa-3sina_19六、同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用sinsinacosaa-cos2a例6若COSa+2Sina=0,则.(11的值为.Sincrsma+I2j3答案f分析根据条件求出tana=-g,再将所求式子弦化切代入运算得解.解析因为COSa+2Sina=0,所以tana=-；,sin2a-cos2asin2a-cos2a1=tanortana3故答案为：.【拓展】1.<1)求值：sln(-12()cos904cos(-tt)+sin(211+)4cos+sin01319故答案为：一方法归纳：(1)诱导公式的两个应用求值：负化正，大化小，化到锐角为终了;化简：统一角，统一名，同角名少为终了.(2)诱导公式的应用步骤任意负角的三角函数吗%公式，任意正角的三角函数利用诱导公式。2n内的角的三角函数.(11lsnasna+2)+cos(-30)sin(-SOr)+tan45,:(2)求FSinXco厂的值cosX-snX答案(1),3314分析(1)由三角函数的诱导公式计算即可;(2)利用三角恒等变换化简后分子分母同时除以cosx,再计算即可.解析(1)(2)I-2sinxcosxCOSX-sinx)COSX-sinrCos2X-Sin2X(COSjr-sirr)(cosx+sinx)cosjr+sinx分子分母同时除以CoSX得:I-1-tan%_3_11+tanx1,12I十一2已知函数3=d三一后黑，其中为第三象限角且/(0=1求cos4a+2cossin-sin4的值.求答案2cos2a+17-§分析(1)根据题意结合同角三角关系分析可得/(X)=黑，进而可得tana=?,结合齐次式问题分析求解;(2)根据同角三角关系结合齐次式问题分析求解.J®=-sin120cos90-sin30cos30+tan45=-×0-×解析(l+sir)(I-Sinx)(1)由题意可得：/(x)=11三.lz三Vl-SinxV1+smx(l+sinx)(l-sinx)M(l+sinx)(l-sinx)1+sinx1-sinx2sinxCOSXCOSXICOSXI'因为a为第三象限角，则/()=2sin0-COSa21=-2tana=,即tana=-,33所以原式=3sina-2cosct2sina+3cosa3tana-2_32tan+32l+332TT(2)由(1)可知:1tana=-,3由题意可得:cos4a+2cosasina-Sin4a2cos2a+1(cos2a-sin2a)(cos2a+sin%)+2cosasina2cos2a+1cos%-Sin%+2cosasina3cos2a+sin2a1-tan2a+2tan<x_13+tan2a2方法归纳：(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.(2)注意角的范围对三角函数符号的影响.3(3)己知的终边过点(x,4),且CoSa=则tana=.答案甘解析的终边过点(x,4),且COSa=a<0.3cosa=f=r=-7,2+163*5