专题17_手拉手-旋转相似模型（含解析）.docx

专题17手拉手旋转相似模型1.如图，Z1=2=Z3,AC,OE交于M,图中相似三角形共有（）A.3对B.4对C.5对D.6对2 .如图，将ABC绕点A旋转任意角度得到AABC,连接BBCCJJBB，:CC等于（A.AB:ACB.BC:ACC.AB:BCD.AC:AB3 .如图，ABC和ABDE都是等边三角形，点D是AC上的点，连接AE,下列相似三角形：QBCD-BE0;(2)A0D-E0B;AAOEZiDOB;ABODABDA.成立的有()4 .如图，已知Nl=N2,当七=_时，WBCSxDE.5 .如图,AB=4,AC=23,ZDAB=ZDBC=30o,ZBDC=90o,EDlAD交AB于E,贝JDE的长是.6 .在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，将两张等腰直角三角形纸片A8C和CDE如图放置(其中NAC3=NE=9O°,AC=8CCE=DE).CDxCE分别与A8边相交于历、N两点.请完成下列探究：(1)若4C=2,则AN8M的值为一;CN4CF(2)过M作吹J_4C于尸，若若=；则三的值为一.CM3ACE7 .如图，已知BAACE.求证：ABCADE.8 ,已知：如图，ABDACE.求证：ADAESBAC.9 .问题背景：如图（1）,已知A8CSwDE,求证：AB*ACE;尝试应用：如图（2）,在A8C和ADE中，ZBAC=ZZ4E=90o,ZABC=ZADE=30°,AC与OE相交于点尸.点。在BC边上，空=G,求空的值.10.如图，在ABC与DEC中，已知4ACB=4DCE=90°,AC=6,BC=3,CD=5,CE=2.5,连接AD,BE.(1)求证：ACDBCE;(2)若乙BCE=45。，求-ACD的面积.D11.如图,ABCADE中，4ACB=ZIAED=90。,ZABC=ZADE,连接BD、CE,求证:(1)ABC-ADE(2)若AC：BC=3：4,求BD：CE为多少.12.如图，点B在线段CD上,在CD的同一侧作两个等腰直角AABC和ABDE,且NACB=乙BED=90。，AD与CE,BE分别交于点P,M,连接PB.(1)若AD=kCE,则k的值是;(2)求证:BMP-DME;(3)BC=6,PA=3,求PM的长.13.如图，/8AC=90。，一ABC绕点A逆时针旋转得到VAoE,恰好点。在BC上,连接CE.EBNAAE与/D4C有何关系？并说明理由；（2）ZXABO与AACE有何关系？并说明理由；（3）线段8C与CE在位置上有何关系？为什么？14.已知A8C是等腰三角形，AB=AC,将A8C绕点/?逆时针旋转得到ABU,点A、点C的对应点分别是点A、点U.图图图感知：（1）如图，当BC落在AB边上时，NA/8与NeC8之间的数量关系是（不需要证明）；探究：（2）如图，当BC不落在A8边上时，NAZB与NCC8是否相等？如果相等，请证明；如果不相等，请说明理由；应用：(3)如图，若N8AC=90°,A4CC交于点E,则NA'EC=1.AE5A8BCAC15.如图，已知而RF求证:(1)NBAD=NCAE;(2)_ABDtACE.16.把两个等腰直角/8C和VADE按如图1所示的位置摆放，NA=90。，将VADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2,连接80,EC,设旋转角为a(0。Ca<360。).图1图2图3(1)求证：BADCAE.(2)如图3,若点。在线段跖上，且8C=13,DE=I,求CE的长.(1)【问题发现】如图,正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF.填空：线段CF与DG的数量关系为直线CF与DG所夹锐角的度数为一.(2)【拓展探究】如图，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中,(1)中的结论是否仍然成立，请利用图进行说明.(3)【解决问题】如图，二48C和VAoE都是等腰直角三角形，NBAC=NAAE=90。，AB=AC=IO,0为AC的中点.若点D在直线BC上运动，连接OE,则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为_（直接写出结果）.18.【问题背景】如图，在Rt,ABC和mAAOE中，AB=AC,AD=AE,由已知可以得到：【尝试应用】如图，在IABC和VAOE中，ZACB=ZAED=90o,ZABC=ZADE=30°,求证：AACESqABD.【问题解决】如图，在一48C和VAC陀中，NB4C=ND4E=90o,N3C=NOE=30o,AC与OE相交于点F,点D在BC上，缘=6,求差的值.BDCF参考答案：【分析】根据两个角相等可以证明AMEDMC,BACAJME和AMDEMC,根据两边成比例且夹角相等可以证明ABDACE.【详解】解：Z2=Z3,ZAME=NDMC,.AMEooZ)C,/.ZACD=ZAEd,.Zl=Z3,/.ZBAC=ZDAe,.ACZME,ABAC而二次“=皿,anABAD即前二族，.Z1=Z2,.ABDACE,.NB=ZACE,ZADE=ZACe,ZAMD=ZEMc,.AMD>AEMC.图中相似三角形共有4对.【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，有条理的找出相似的条件是解题的关键.【分析】利用旋转的性质得4B'AB=NC'AC,ABz=AB,AC=AC,则可半J断zABB'ZkACC',然后利用相似三角形的性质可对各选项进行判断.【详解】解：MABC绕点A旋转任意角度得到AABC,.-.ZBzAB=ZCzAC,AB=AB,AC=AC,.ABB,-ACC/,BB'48''CC'AC"故选A.【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.3 .D【分析】根据等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质定理进行推理即可.【详解】解：“ABC和ABDE都是等边三角形，.zC=zABC=zCAB=60o,4EDB=NDBE=NDEB=60。，.zABC-zABD=zDBE-zABD,.Z.CBD=zABE,BCD'x'BEO,故正确；4AoD=4BOE,NDAB=NDEB=60。，.,.aAOD-aEOB,故正确；VaAOD-AEOB,AOEO''db'VzAOE=Z.DOB,A0E'x'D0B,故正确；乙DBA=NDBO,4DAB=NODB=60。，.mB0DABDA,故正确，所以，相似三角形成立的有4对.故选：D.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键.AE4 .AC【分析】因为N1=N2,可得NDAE=N8AC,再根据两边成比例且夹角相等，两三角形相似，所以添加条件当=M后，ABC-DE.ABAC【详解】解：添加条件当=生后，abcADF.理由如下：ABACZ1=Z2,.Z2+ZfiAE=Zl+ZEAE,即NDAE=N8AC,ADAE又-ABAC'.ADEABC.即ZVlBCSMDE.故答案为：笑.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，解题关键是熟悉相似三角形判定定理.5.姮3AR11_【分析】连接CE,先证ABDsAECD,得到=6ABD=ZECD,再证乙BEC=90。，ECED由AB=4,得到EC=吨,则AE=JAC?-EC?=汉叵,DE=AEsinNEAD=巫.333【详解】解：如图所示，连接CE,vzBDC=90o,ADlDE,NEAD=NCBD=30。,.tanZEAD=tanZCBD=2=zADE+zBDE=zBDC+zBDE,ADBD3.,.Z.ADB=ZEDC,ABDxx'ECD,ABADr=3,ZABD=ZECd,ECED.zDBC+zDCB=90o,.zDBC+zECB+zECD=90o,.zDBC+zECB+zEBD=90o,.zBEC=90o,.AB=4,“4不EC=13AE=AC2-EC23.DE=AE-sinZEAD=-,3故答案为：埋.3【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键.A45O-48【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得NA=NB=45。，NMCN=45。，可得1IACNIACM2MCN?ACM45?,即可证明,AeNSBMC,可得网=生，即可求解；ACAN（2）过点C作CG_1.AB于点G,可得NCGN=NCFM=90。，由等腰直角三角形的性质可得？NCG?MCG45?,ZACM+ZMCG=45q,从而可得NNCG=NMCF,即可证得&GCNS肝CM,可得=寡=：,设CG=4A,则CF=5%,AC=7ik,即可求解之=孚.CFCM5AC8【详解】解：（1）A6C和ACOE为等腰直角三角形，NA=?B45?,NMCN=45。，BC=AC=Z,ZACN=ZACM+ZMCN=ZACM+45q,ZBMC=ZACM+ZA=ZACM+45°,ZACn=ZBMC,：.MACNSBMC,.BMBC'AC=AN'BC=AC=2,ANBM=ACBC=4,故答案为：4.(2)如图，过点。作CG于点G,MF1.AC,:"CGN=KFM=处,JVCG+ZCG=45o,ZAGW+ZCG=45°,AzJVCG=ZAfCF,：.二GCNS.FCM,CN4CGCN4''CF'CM5'设CG=4A,则CF=5Z,4C=42,.CF52.=Z"三三三三三AC8'故答案为：2区.8【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题关键是利用图形找到相似三角形，熟练运用相似三角形的性质.【分析】根据i可推出就=兀=在，44）=NGAE，进一步得出NBAC=NZXE即可证A8CsAA£）石.【详解】证明：AB0sACE,丝=丝=当，/BAD=NCAE,ACAECE,'ZBAD+ZDAC=ZBAC,ZCAE+ZDAC=ZDAE:.ZBAC=DAE,ABAD又而=瓦.MBCADE.【点睛】本题主要考查相似三角形的证明，熟知两边成比例和夹角相等的两个三角形相似是解题的关键.【分析】先利用AA皿AACE得至嘿嚏.再利用比例性质得写噎，加上ZDAE=ZBAc,然后根据相似三角形的判定方法可得到结论.【详解】证明：.ABDACE,ADABAEACZBAD=ZCAe,ADAEABACNBAD+NBAE=NCAE+NBAE,RPZDAE=ZBAC,.Z>4EABAC.【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了相似三角形的性质.9.问题背景：见解析；尝试应用：3【分析】（1）问题背景：由题意得出:，ZBAC=ZDAe,则NBA。=NCA石,可ADAE证得结论；(2)尝试应用：连接EC,证明aABCSAAOE,由(1)知ABZ)sACE,由相似三角形AF）1.的性质得出=3,Zace=ZABD=ZADE,可证明aAOFtS2XECF,得出CEBDApAn芸=笑=3,则可求出答案.EFCE【详解】问题背景证明：ABC<ADE,笫嚏，C=NmE,.ZBAD=ZCAEAIiADACAE.ABDACE;尝试应用解：如图1,连接EC,A.MBCADE,由（1）知MBDMCE,AEADrr=3,Zace=ZABD=ZADE,CEBD在RlADE中，ZADE=30°,ADAE退，ADEC=y3×y3=3ADAEXAECE.ZADF=NECF,ZAFD=EFC,.ADF<×>ECF,【点睛】此题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.10.(1)见解析;(2)【分析】(1)根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明；(2)过点。作。G_1.AC交于点G,由NACz)=NBCE=45。得，ZXCGD是等腰直角三角形，即可求出。G,由三角形面积公式即可得出答案.【详解】(1)QzACB=NDCE=90。，:.ZACD+ZDCB=ZDCB+ZBCE,'ACD=NBCE,AC=6,BC=3,CD=5,CE=2.5,.ACCD2"BCCE'ACD一BCE;(2)如图，过点。作OG_1.AC交于点G,ACD&BCE,.-.ZACD=ZBCE=45°,一CGZ)是等腰直角三角形，在心一CG。中，CG2+DG2=52,解得：DG=也,21 C_1"165y25>2v2222【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质与三角形的面积，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.11.(1)见解析；(2)5:3【分析】(1)根据相似三角形的判定方法证明即可.两组角对应相等的两个三角形相似；CAE(2)由ZkABCHADE可得二7;和NBAC=NDAE,进而根据两组边对应成比例证明出ABADACE-ABD,然后根据相似三角形对应边成比例和已知条件即可求出BD:CE的值.【详解】(1).zACB=ZAED=90°,4ABC=ZADE,ABCxADE.ACAE(2)vABC-ADE,.,./.BAC=Z-DAE,='ABADvz.BAC+zBAE=zDAE+zBAE,即nCAE=4BAD,ACAEBAD',ACEABD,BDAB=CEAC'2 AC:BC=3:4,zACB=zAED=90o,AC:BC:AB=3:4:5,BD:CE=5:3,故答案为：5:3.【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和12.(1);(2)见解析;(3)1【分析】(1)根据两组角对应相等得到AABD-ZkCBE,根据相似三角形的性质和勾股定理可得k的值；(2)根据AABDaCBE得至此ADB=ZCEB,利用两组角相等得到ABMD2EMP,从而得到BMDM_r,一U一,工、人而=说，进而可以得到结论；(3)首先证明"BPsAAMB,得至JAB2=AP-AM,利用腰直角ABC得到AB的值，可以根据线段关系求解.【详解】解：(1)“ABC和ABDE都是等腰直角三角形，且ZACB=ZBED=90°,又点B在CD上，.zABC=zDBE=45°,.zABD=zCBE=135°,DABBDo又=，CBBE1,ABD'x'CBE,ABAD2:,-CBCE1,k的值是我;(2)证明：FABC和ABDE都是等腰直角三角形，11zACB=ZBED=90°,又点B在CD上，.zABC=zDBE=45°,.zABD=zCBE=135°,又.空二处=正CBBE1,ABD'x'CBE,.zADB=ZCEB,又乙BMD=ZEMP,.,BMD'-EMP,BMDM'PMEM,又“BMP=ZEMD,.,BMPADME.(3)vBMP-DME,.zBPM=zBED=90o,又.zABM=180o-45o-450=90o,4BAP=4MAB,AABPsZiAMB,ABAPd11,77=-,即Ak=APAM,AMAB在等腰直角ABC中，AB=y2BC=>2×6=23,.(23)2=3AM,AM=4,则PM=AM-AP=4-3=1.【点睛】本题考查的是三角形的相似的性质与判定和等腰直角三角形的性质，熟练应用三角形相似的判定是解决本题的关键.13.(1)/84E与/D4C互补；见解析(2) ZXABD与Z4CE相似；见解析(3) BC±CE,见解析【分析】(1)根据旋转的性质可知，ZBAC=ZDAE=,然后利用角的加减运算即可计算出答案；(2)根据旋转的性质可知，AB=AD,AC=AE,NBAC=N3E=90。，然后利用等边对等角的性质，等角的余角相等的性质即可得出答案；(3)根据(2)可知，ZADB=ZACE=ZAEC,然后利用互余的性质即可得出答案.【详解】(1)NAAE与/D4C互补，理由如下：由旋转的性质知：.ZBAC=ZZME=90°,ZC4E=zr4E-ZmC=90o-Z4C.NBAE=ZBAC+ZCAE=90o÷(90o-ZDAC)=180o-ZDAC；即NBAE+NDAC=180。，BAE与/D4C互补.(2)AABO与ZiACE相似，理由如下：由旋转的性质知：AB=AD,AC=AE,NAAC=NlM£=90。.¾EABD,ZADB=ZB=i(180o-ZBAD),在ACE中，ACE=ZAEC=(180°-ZCAE)又.Z4C=Z4D+Z4C=90o,DAE=ADAC+CAE=9Qo."BAD=NCAESPZADB=ZACE=ZB=ZAEC;：.一ABDS二ACE(3)BC1.CE,理由如下：由(2)可知，ZADB=ZCE=B=ZAEC.在中，ZBAC=90°.Zfi+ZfiCA=90°VZBCE=ZBCA+ZACE."CE=ZBCA+ZB=90。,即4CJ.CE.【点睛】本题考查了旋转的性质及三角形相似的判定，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键.14.(1)ZAAB=ZCCb;(2)ZAAB=ZC,CB,利用见解析;(3)135【分析】(1)根据旋转的性质和等腰三角形的性质证明即可；(2)根据已知条件证明AC8CABA,即可得解；(3)根据等腰三角形的性质和旋转性质计算即可；【详解】解：感知：由旋转可得BC=BC',BA=BA,ZCBC=ZABa,180°-A,BA1800-ZCBC=,22.ZAAB=ZCCb,探究：ZAAB=ZCCb,证明：:由旋转可得8。=阮'，BA=BA,NCBC=ZABA,BCBC,BABA''.CBCBA,.'.ZAAB=ZCCb.应用：A8=AB,.ZAAB=ZAAB,由探究可得NA'A8=NCC8,.'.ZAAB=ACCb,：CB=CB,.'.ZCCB=CCB,.'.ZaAB=ZCCB,.'.ZAOB=ACOe,.ACEO=ZOBA=ACB,-AB=AC,ZBAC=90°,.ZACB=45。=NCEO,.ZAEO=180o-Z.CEO=135o;故答案是135.【点睛】本题主要考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，准确分析计算是解题的关键.15.(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)根据三边对应成比例两三角形相似得到aABOADE,然后根据三角形相似的性质和等量代换即可证明；(2)根据两条对应边成比例，且夹角相等，两三角形相似即可证明.¥加1/1、*日ABBCACm(i)三：.=-=.ABC-'ADE.z,BAC=Z.DAE'Z.BAC-Z.DACZ.DAE-Z.DAC即:ZBAD=ZCAE(2)由(1)得：4BAD=4CAEABAC又=ADAE,ABD-ACE【点睛】本题考查了三角形相似的判定条件和性质美键是熟练掌握三角形相似的判定方法.16.(1)见解析;(2)5;(3)90。或270。；【分析】(1)由等腰直角三角形的性质可得AD=AE,AB=AC,zBAC=zDAE=90o,求得ZBAD=ZCAe即可证明；(2)过点A作AHlBE于H,ABD三ACE可得BD=CE,由等腰三角形三线合一的性质可得AH=DH=EH=TDE=Q,由BC求得AB,再由勾股定理求得BH即可解答；(3)根据D点轨迹可得当ADlAB时，AABD面积最大，由旋转的性质求得即可；【详解】(1)证明：AABC,ZkADE都是等腰直角三角形，.AD=AE,AB=AC,乙BAC=NDAE=90。，则乙BAC-NCAD=NDAEYCAD,.,.Z.BAD=Z.CAE,.BAD三CAE(SAS),(2)解：如图，过点A作AHlBE于H,由（1）证明同理可得AABD三ZiACE,/.BD=CE,vADE是等腰直角三角形，AHlDE,.AH是斜边中线，.-.AH=DH=EH=J-DE=-,22'RtABC中，4ABC=45。，BC=13,e.AB=BCcosz.ABC=>/2,RtAABH中，BH=析而=殍子=零空,.BD=BH-DH=5,.CE=BD=5；(3)解：D点轨迹在以A为圆心，AD为半径的圆上，AD的长度为定值，AB的长度为定值，.ABD底边AB上的高AD当ADlAB时，AABD面积最大，即点D在直线AC上，如图当=90。时，ADlAB,ABD面积最大，如图当a二270。时，ADlAB,ABD面积最大，当a为90。或270。时，AABD面积最大；【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识；掌握旋转的性质是解题关键.17.CF=四DG;45。(2)结论不变.理由见解析半【分析】(1)连接AF.易证A,F,C三点共线.易知AF=0AG.AC=母AD,推出CF=AC-AF=y/2(AD-AG)=2DG.(2)连接AC,AF,延长CF交DG的延长线于点K,AG交FK于点O.证明CAFhDAG即可解决问题.(3)证明BADwaCAE,推出NACE=4ABC=45。,可得乙BCE=90。，推出点E的运动轨迹是在射线OCE上，当OEICE时，OE的长最短.【详解】(1)解：如图中，线段CF与DG的数量关系为CF=DG;直线CF与DG所夹锐角的度数为45°.理由：如图中，连接AF.易证A,F,C三点共线.图.AF=2AG.AC=2AD,.-.CF=AC-AF=y2(AD-AG)=2DG.故答案为CF=2DG,45°.(2)解：结论不变.图理由：连接AC,AF,延长CF交DG的延长线于点K,AG交FK于点O.zCAD=ZFAG=45°,Z.CAF=Z.DAG,vAC=2AD,AF=AG,ACAFl-=2ADAG7CAFsADAG,CFAC1.,ZAFC=ZAGD,.CF=2DG,ZAFO=ZOGK,.zA0F=zG0K,.zK=ZFAO=45°.(3)解：如图3中，连接EC.图0.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°,BAD=ZCAE,ZB=ZACB=45o,.BADCAE(SAS),.zACE=ZABC=45o,.zBCE=90o,点E的运动轨迹是在射线CE上，当OEICE时，OE的长最短，VAB=AC=IO.0A=0C=5-ZACE=ZABC=45°当OEICE时，AOCE为等腰直角三角形贝|1。2=。后2+"52=2OE2.-.OE=2QE的最小值为矩，2故答案为：迫，2【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，属于中考常考题型.18.问题背景：AABD三AACE;AABOZkADE;尝试应用:见解析；问题解决:3【分析】问题背景：利用SAS证明AABDwaACE即可;证明？AeC?ADE45?,利用两个角对应相等的两个三角形相似可得答案；ACAB尝试应用：先证明aABCzADE,RTii-=-,ZCAB=ZEAD,再证明乙CAE=NBAD,AEAD从而可得结论；问题解决：连接CE,依次证明AABCAADE,ABD-ACE,ADF-ECF,可得=3-,结合器=骗=IanzAC5=360。=",从而可得答案.CFCECECEAC【详解】问题背景：解：Q?84C?DAE90?,ABAC,AD=AE,.ZBAD=ZCAEyABDACE;Q?BACRDAE90?,ABC,AD=AE12ABeIADE45?,'ABC'x'ADE.尝试应用：解：.NACB=NAEO=90。，NA5C=NAOE=30。,'ABC,-ADEACAB=,zCAB=ZEADAEAD'Z.CAE=ZBAD,ACE-ABD.问题解决:解：同理：ABC-ADE,连接CE、ABAC=,ADAE,NBAC=Nf)AE=90。，.ZBAD=ZCAEy.".AABD-sAACEABBD.zACE=ZABD=zADE=30o,一=一，ACCEZAFD=ZCFe,.ADFECFDFAD''CFCE，些=此亚=®吧CFCECEV=IanZACB=(an60°=3CEAC【点睛】本题考查的是全等三角形的判定相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟练的应用相似三角形的判定方法解决问题是解本题的关键.