专题18坐标系与参数方程.docx

1.【2021全国高考真题（理）】在直角坐标系XOy中，IC的圆心为C（2,l）,半径为1.（1）写出OC的一个参数方程；（2）过点户（4,1）作C的两条切线.以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.x=2+cosa111.【答案】（I）I为参数）；（2）20COS（O+）=4-6或y=1+sina32pcos（-y）=4+>3.【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；（2）先求得过（4,1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.【详解】（1）由题意，0。的普通方程为（X-2）2+（y-1）2=1,X=2+cosa所以OC的参数方程为一1.,为参数）y=l÷sncr（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为丁-1=代-4）,即6一y+l-4Z=0,-2k1由圆心到直线的距离等于1可得不MT=1，解得2=二，所以切线方程为A-3y+3-46=0或+3y-3-4=0,3将X=PCOSe,y=/?Sin。代入化简得2pcos（+y）=4->3»£2qCoS（9-y）=4+J【点晴】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.2.【2021年全国高考甲卷数学（理）试题】在直角坐标系Xoy中，以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为P=22cos<9.（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点4的直角坐标为(1,0),M为C上的动点，点P满足AP=0a,写出P的轨迹G的参数方程，并判断C与C是否有公共点.【答案】(1)(x-2)2+/=2；(2)P的轨迹G的参数方程为+(8为参数)，C与G没有公共点.【分析】(1)将曲线C的极坐标方程化为夕2=20PCOS将X=PCOS6,y=psin6代入可得；(2)设P(x,y),设M(+cos6,垃Sine),根据向量关系即可求得P的轨迹G的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.【详解】(1)由曲线C的极坐标方程p=2Jcos6可得p1=227cos,将X=PCoS6,y=psin。代入可得炉+y2=20x,即1一0,+产=2,即曲线C的直角坐标方程为1-+V=2；(2)设P(X,y),设(J+0cose,Jsi11e)AP=垃AM，.(x-l,y)=yJ22+5/2cos6-1,6Sine)=(2+2cos-丘,2sin6),l=2+2COSe-应fx=3->2+2cos则，即，y=2sin6y=2sin6故P的轨迹Cl的参数方程为一3一点+2cos"(。为参数)y=2sin6曲线C的圆心为(J%,),半径为近，曲线G的圆心为(3-点,0)，半径为2,则圆心距为3-20，3-2忘<2-忘，两圆内含，故曲线C与G没有公共点.【点睛】关键点睛：本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出M的参数坐标，利用向量关系求解.x=1÷3/,3.【2019年高考北京卷理数】已知直线/的参数方程为4C为参数)，则点(1,y=2+4r0)到直线/的距离是1 246A.-B.-C.-D.一5555【答案】D【解析】由题意，可将直线/化为普通方程：U二与2,即4(x-l)-3(y-2)=0,即4x-3y+2=0,所以点(1,0)到直线/的距离d=4-0+242+3故选D.【名师点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化，点到直线的距离，属于容易题,注重基础知识、基本运算能力的考查.4.【2020年高考全国I卷理数】选修44：坐标系与参数方程(10分)X=cosi,在直角坐标系y中，曲线G的参数方程为,卜(，为参数).以坐标原点为极点,y=sintX轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为4夕COSe-162Sine+3=0.(1)当2=1时，Cl是什么曲线？(2)当k=4时，求G与G的公共点的直角坐标.【解析】(I)当A=I时，消去参数t得/+>'2=1.故曲线CI是圆心为坐标原点，半径为1的圆.X=cos4r,1.1.(2)当k=4时，C1:一消去参数t得C的直角坐标方程为7+J7=ly=smI,。2的直角坐标方程为4x-16y+3=0.44故G与G的公共点的直角坐标为44).445.【2020年高考全国Il卷理数】选修44：坐标系与参数方程(10分)已知曲线G,C2的参数方程分别为x=4cos2,、，、（9为参数），C2:j=4sin26Xt,;（t为参数）.y=tt（1）将Cl,C2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系.设G，C2的交点为P,求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.【解析】（1）Cl的普通方程为x+y=4（0x4）.由G的参数方程得V=产+9+2,y2=+"-2,所以2-y2=4.故G的普通方程为V-丁=4.I+y=4,由"得52,53；所以P的直角坐标为O）.SQ设所求圆的圆心的直角坐标为（Xo,0）,由题意得*=（小-5）2+,17解得X。=布17因此，所求圆的极坐标方程为夕=MCoS6.6.【2020年高考全国“卷理数】选修44：坐标系与参数方程（10分）x=2-t-t2在直角坐标系Xoy中，曲线C的参数方程为（t为参数且tri）,C与坐y=2-3t+t2标轴交于4、8两点.（1）求|相|；（2）以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线48的极坐标方程.【解析】（1）因为51,由2-/一产=0得，=一2,所以C与y轴的交点为（0,12）：由2-3/+产=0得卜2,所以C与X轴的交点为（T0）.4=4i.（2）由可知,直线AB的直角坐标方程为?会】，将户。Sa尸。而。代入,得直线A8的极坐标方程3pcos6-PSine+12=0.7 .【2020年高考江苏】选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知点Agq）在直线rcos6=2上，点8（0,=）在圆C:夕=4Sin。上36（其中p0,0e<211）.（1）求Pi,。2的值；（2）求出直线/与圆C的公共点的极坐标.【解析】（1）由月CoS三=2,得g=4；0,=4Sinv=2,又（0,0）（即（0,?）也在圆C上，因此22=2或0.(2)叫Sina得4sinOcosO=2,所以Sin加1.因为夕0,00<211,所以p=2J2.I-/2X=,，l+r24r所以公共点的极坐标为（2应8 .【2019年高考全国I卷理数】在直角坐标系Xoy中，曲线C的参数方程为,为参数）.以坐标原点。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为2pcos6+舟sin9+ll=0.（1）求C和/的直角坐标方程；（2）求C上的点到/距离的最小值.【答案】(I)X2+21.=(-l);/的直角坐标方程为2+JJy+ll=O;(2)7.4l-f2【解析】因为7<前"且八U+2J4f2+7=1，所以C的(1÷r2)直角坐标方程为f+f=QT/的直角坐标方程为2x+>y+ii=0.（2）由（1）可设C的参数方程为.（为参数，兀<v7i）.y=2sin0.4cosICtI÷11s111.r-2cosa+23sna+l1I3JC上的点到I的距离为÷=1='1.77当。=一生时，4cosja-g1+11取得最小值7,故C上的点到/距离的最小值为J7【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.9 .【2019年高考全国11卷理数】在极坐标系中，。为极点，点M（2o,%）（0o>O）在曲线C:夕=4Sine上，直线/过点A（4,0）且与。0垂直，垂足为P.（1）当=1时，求。及/的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.【答案】（1）pb=23,/的极坐标方程为PCOSle-弓=2；八C冗九（2）p=4cos6,S,一._42_【解析】（1）因为MSO,4）在C上，当为=1时，p0=4siny=23.TT由已知得IOPI=IOAlCOs?=2.设。（0,。）为/上除P的任意一点.在Rt。尸。中，/CoS（。-I）=IOPI=2,经检验，点P（2,会在曲线夕cos-）=2上.Z所以，/的极坐标方程为"CoS=2.<3，(2)设P(P,6),在RtAiOAP中，IoPl=IoAlCoSe=4cos。，即夕=4cos0.TrTC因为P在线段OM上，且AP_1.oM,故。的取值范围是._42_TtTt所以，P点轨迹的极坐标方程为p=4cose,e.【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.10.【2019年高考全国In卷理数】如图，在极坐标系OX中，A（2,0）,C（2,-）,44。（2,11）,弧ab，BC，CD所在圆的圆心分别是（1.。），（1,），（1.2，曲线Ml是弧4B，曲线“2是弧BC，曲线加3是弧CQ（1）分别写出何I,M2,M3的极坐标方程；（2）曲线M由M,M2,M3构成，若点P在M上，且IOPl=豆，求P的极坐标.【答案】（1）的极坐标方程为夕=2CoSe（Oe的极坐标方程为p=2sin-,的极坐标方程为夕=一2COs。11.144JI4）【解析】（1）由题设可得，弧A8,BC,CO所在圆的极坐标方程分别为夕=2COS夕=2sin9,p=-2cos9.所以见的极坐标方程为夕=2CoSeoe:）,必的极坐标方程为p=2sin好6>yJ,M3的极坐标方程为p二一2COS11（2）设P（P,6）,由题设及（1）知若09e,则2cos6=,解得。二色；46若'92,则2sin6=1.解得。='或。=2：4433若四6兀，则一2cos。=#,解得。=2.46综上，P的极坐标为【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.11.【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点直线/的方程为夕SinZ+：）=3.（1）求A,B两点间的距离；（2）求点8到宜线/的距离.【答案】5;（2）2.【解析】（1）设极点为。.在OA8中，4（3,-）,5（2，-），42由余弦定理，得48=32÷(>2)22×3×5/2×cos(-)=>/5.Tl（2）因为直线/的方程为PSin（夕+一）=3,4则直线/过点（3&,二），倾斜角为二.24又B（垃,三）,所以点8到直线/的距离为（3应-2）×sin（-）=2.242【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力.