专题19不等式选讲.docx
l.12021年全国高考甲卷数学(理)试题】已知函数/(x)=k-2,g(x)=2x+3-2x-l.(2)若/(x+)NgG),求Q的取值范围.【答案】(1)图像见解析；(2)7-2【分析】(1)分段去绝对值即可画出图像；(2)根据函数图像数形结和可得需将y=(x)向左平移可满足同角，求得y=(x+)过八ll2-X,X<2【详解】(1)可得/(x)=x-2=<,画出图像如下:X2,X2画出函数图像如下:(2)/(x+a)=x+a-2,如图，在同一个坐标系里画出/(x),g(x)图像，y=+)是y=/(x)平移了同个单位得到，则要使/(x+)g(x),需将y=(r)向左平移，即>0,当y=(x+)过A-A时，|不+。一2|=4,解得。二彳或一己(舍去),(27222则数形结合可得需至少将y=(x)向左平移y个单位，.,.【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.2.【2021年全国高考乙卷数学（理）试题】己知函数/（%）=k-4+k+3（1）当时，求不等式G）6的解集；,÷<4（2）若/（力一。，求Q的取值范围.【答案】(1)(0,-42,+).(2)【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简/（力-。，由此求得。的取值范围.【详解】（1）当=l时，/（x）=x-l+x+3,x-l+k+3表示数轴上的点到1和一3的距离之和，则/（x）6表示数轴上的点到1和一3的距离之和不小于6,当X=T或x=2时所对应的数轴上的点到1,-3所对应的点距离之和等于6,，数轴上到1,-3所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是x-4或x2,所以/（冗）26的解集为（-co,-42,+）.(2)依题意/(五)>-，即,-4+卜+3>一。恒成立，x-0+x+3=-+3+3,当且仅当(-x)(x+3)0时取等号，./(X)加“=+3,故+3>一,所以。+3一。或+3v0,3解得a>.2所以的取值范围是(-,+8)【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法.解含有两个绝对值，且其中的X的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件.3.【2020年高考全国I卷理数】选修45：不等式选讲(10分)已知函数Fa)=I3x+l-2xT.(1)画出y=f()的图像；(2)求不等式/()>/(+D的解集.【解析】(1)由题设知F(X)=Tx-I,-g<xl,x+3,x>1.y=()的图像如图所示.(2)函数y=/(幻的图像向左平移1个单位长度后得到函数y=(+i)的图像.y711y=()的图像与y=+D的图像的交点坐标为66由图像可知当且仅当X<时，y=/()的图像在y=/3+D的图像上方，故不等式/O/3+1)的解集为y,-令.4.【2020年高考全国Il卷理数】选修45：不等式选讲(10分)已知函数HX)=x-2+x-2+l.(1)当=2时，求不等式/(x)24的解集；(2)若/(x)24,求的取值范围.7-2x,x<3,【解析】(1)当a=2时，/(x)=U,3<4,2x-7,x>4,311因此，不等式/(x)4的解集为xx5或万.(2)因为/(x)=|xa2|+|一2+l|2-24+l|=3l)2,故当(l)24,即-1>2时，f(x)4.所以当g3或T时，/(x)4.当-l<<3时，f(a2)=|/-2+11=(-1)2<4,所以。的取值范围是(9,-1+oo).5.【2020年高考全国“卷理数】选修4一5：不等式选讲(10分)设,b,cR,a+h+c=0,abc=1.(1)证明：ah+bc+ca<0；(2)用max,6,c表示,b,C的最大值，证明：max,"c.【解析】(1)由题设可知，a,b均不为零，所以ab+bc+ca=-(a+b+c)2-(a2+b2+c2)=-g(+b2+c2)<0.(2)不妨设max,b,c=a,因为Z?C=IM=-(Z?+c),所以a>0,b<0,c<0.由力CM("+'),4可得a%c-,故狎，所以max,A,c逐.46.【2020年高考江苏】选修4-5：不等式选讲(本小题满分10分)设xR,解不等式2x+l+x<4.2【解析】当X>O时，原不等式可化为2x+2+xv4,解得0<x<§；当Tx0时，原不等式可化为2x+2-XV4,解得Tx0;当XVT时，原不等式可化为-2x-2-XV4,解得-2VXVT.2综上，原不等式的解集为3-2<xv§.7.【2019年高考全国I卷理数】已知0,b,C为正数，且满足bc=l.证明：(1) +-+-2+2+c2;abc(2) (tz+Z?)3+0+c)3+(c+t/)324.【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】(1)Ba2+b22ab,b1+c22bc,c2+a22actXahc=1,故有2,22、，1ab+bc-ca111ar+Z?+cab-bc+ca=+.abcabc所以I1cr÷b÷c2.abc(2)因为,"c为正数且。历=1,故有(+b)3+(Z?+cP+(c+a)33y(a+b)3(b+c)3(a+c)3=2>(q+b)(b+c)(a+c)3×(2yab)×(2yhc)×(2yac)=24.所以(+力3+s+c)3+(c+q)324.【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.8.【2019年高考全国11卷理数】已知f(x)=x-%+x-2(x-).(1)当=1时，求不等式/W。的解集；(2)若x(-8,l)时，f(x)<0,求。的取值范围.【答案】(1)(y,i)；(2)l,+oo)【解析】(1)当=l时，/(x)=x-11x+x-2(x-1).当x<l时，/(x)=-2(x-1)2<0;当xl时，/(x)0.所以，不等式/O)VO的解集为(,I).(2)因为/()=0,所以0l.当1,x(y°,1)时，/(x)=(-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-l)<0.所以，。的取值范围是1,一).【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.9 .【2019年高考全国HI卷理数】设x,y,zR,且x+y+z=l.(1)求(无一l>+(y+l)2+(z+l)2的最小值；(2)若(x2)2+6，-l)2+(z)2g成立，证明：-3或T.4【答案】(1)(2)见详解.3【解析】(I)由于K冗一D+(y+D+(z+i)2=(x-l)2+(y+l)2÷(z÷1)2+2(x-l)(y÷l)+(y+l)(z÷l)+(z+l)(x-l)3(x-l)2+(y+l)2+(z+l)2,故由已知得(x-If+(y+If+(z+1)?g,当且仅当x=g,片一g，Z=时等号成立.4所以“-1)2+(丁+1)2+(2+1)2的最小值为§.(2)由于(x-2)+(y-l)+(z-4)=(x-2)2+(y-1)2+(z-«)2+2(x-2)(y-l)+(y-l)(z-tz)+(z-6r)(-2)3(x-2)2+(y-l)2+(z-)2,故由己知(x2)2+(y_I)?+(za)?，了,4a1ci2a2当且仅当X=-,y=-,Z=时等号成立.333因此(x-2)2+(y-1)?+(z-a)2的最小值为(2+<3)".3由题设知(2+")-N1.解得-3或-l.33【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型.10 .【2019年高考江苏卷数学】设XeR,解不等式*2X1|>2.【答案】口|工<一；或x>l.【解析】当x<0时，原不等式可化为一x+12x>2,解得x<一,；3当Ox1.时，原不等式可化为+l-2x>2,即x<-l,无解；2当x>,时，原不等式可化为x+2x-l>2,解得x>l.2综上，原不等式的解集为x<-g或>l.【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力.
