大题02 数列求和（解析版）.docx

大题02数列求和近几年高考，数列中新定义是必考内容，难度较大，作为压轴题呈现大题典例1数列中新定义问题（2023北京东城统考二模）已知有穷数列A:如出，453）中的每一项都是不大于的正整数.对于满足的整数加，令集合A（7）=M&=6，=1,2，.记集合A（M中元素的个数为S（M（约定空集的元素个数为0）.若46,3,2,5,3,7,5,5,求A(5)及5(5九+="，求证：49，M互不相同;(3)已知=，%=匕，若对任意的正整数i0'i+%)都有i+JwA(,或i+jwA(%),求+%+anffy值.【解】(1)因为=%=4=5,所以45)=4,7,8,则s(5)=3(2)依题意s(q)l,i=l,2,，则有4.Km(J'因此HHf3皿s(q)s(a2)Sa)'又因为一+一+!=，人0仪式4)S(G)s(an)9所以s(q)=l所以4Ma互不相同.(3)依题意=a,%=b由i+/A(ai)或i+JeA(aj),知ai+j=或ai+j=aj,令J=I,可得=4或=卬，对于，'=2,3,.-1成立,故。3=%或a3=%当二b时，%=4=af,=a，所以q+g+an=na.当出人时，%=。或%=b.当生=。时，由%=%或4=4，有。4=a，同理%=，=4=。，所以+an=(n-)a+b,当见二人时，此时有4=%=。,令i=l,j=3,可得4A(")或4AS),即%=。或4=b.令i=l,/=4,可得5wA()或5AS).令i=2,j=3,可得5A(b).所以=.若出=。，则令，'=1.)=4,可得=。，与&=)矛盾.所以有=6.不妨设4=G=at=b(k5),令i=t,j=k+"惟=23,-1),可得A+1AS),因此4+=R令i=l,j=k,则a=或/+=氏故k=b所以4+%+an=n-V)b+a,综上，4=时，+弓+an=na.=""时，q+%+an=(n-)a+b.时，al+a2+a11=(n-)b+a.»>»解壮族导数列新定义问题的方法和技巧：(1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻;(3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；(4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念，要将''新性质有机地应用到''旧性质上，创造性的解决问题.»>»49变式(2023北京人大附中校考三模)有穷数列勺洪小项(m3)其各项均为整数，任意两项均不相等.4=4-q+J(j=l,2,m-l),bi+l(=l,2,w-2).若6:0,1,求知的取值范围；若z=5,当£同取最小值时，求的最大值；I=I三l.一!若14KM=1,2,.,M,Z4=?+1,求机的所有可能取值.*=1【解】(1)由题设4=IO-II=I%=Il-引,则1一引1,pi->7或1-41,所以为2或七0,任意两项均不相等，故用工。、工1,故出的取值范围6e(-8,0)2,+8)且6WZ；(2)由“各项均为整数，任意两项均不相等，要使之同最小，即同尽量小,(=1则(士同焉=0+1+1+2+2,故/中的前5项为-2T0J2,J=I4要使Zbi最大,即I%I+1%-%I+1%-4I+1%-I最大，/=I而2bM,则14-2国。2-。3国内-4国a4-a5不妨令的=2,只需依次使1%-61，&J%-%一生I取到最大，要使I%-生I最大，则4=-2；要使I/I最大，M¾=h要使1%-%I最大，则。2=T,故4=0;此时I%I=4>%-&I=3>a2-a31=2>al-a2l=1,综上,1+2+3+4=10.maxm-w-1(3)对于14金。=1,2,.,)，则Z4的最小值为相-1,三=w+l>w-l,hlt=1由(m+1)-("1)=2,且d(i=12fm-2),所以图.J有如下情况：最后一项为3,前面各项都为1.最后两项为2,前面各项都为1；"7=3,数列j不可能出现3,或同时出现两个2,排除；?=4,数列册为3,2,1,4,对应数列也小为1J3,故存在满足题设的情况；m=5»以下过程中xN",若存在满足的数列.1)元素依次为1,1J3,令数列q前4项为x+l,x+2,x+3,则第5项为X(存在重复项，舍)或x+6,而第5项为x+6>5,不满足题设；若存在满足的数列耙J元索依次为U,2,2,令数列叫前3项为KX+1.x+2,则第4项为T(存在重复项，舍)或戈+4,第4项为x+4,则第5项为x+2(存在重复项，舍)或X+6,而x+6>5不满足题设；同上讨论，m6时不可能存在满足题设的数列%；综上，n=4.>»»后4模拟1. (2023北京统考模拟预测)正整数集合A=q，生，。“,且4</<%v<4,n3,B中所有元素和为八6),集合C=T(8)8qA.(1)若A=1,2,5,请直接写出集合C；若集合区中有且只有两个元素，求证“心电，4，为等差数列的充分必要条件是“集合。中有2-3个元素若C=123,2023,求的最小值，以及当取最小值时，%最小值.【解】(1)C=1,2.3,5,6.7.8)(2)若4，%,知,凡为等差数列，不妨设a,=al+(ti-)d,ajai+(j-)d,且i</J,j=123,，.aj+a.=21+(/+y-2)d,I<jn9.3+j2n-9.(中有2一1-3+1=2一3个元素,.“4，%,%，4为等差数列"是“集合C中有2-3个元素”充分条件若集合。中有2-3个元素，则至少有如下有2-3个元索q+出<4+/<4+q<4+/<4+4<V4+an-<a+an<a2an<ay+an<<an+an又有如下2-3个元素at+a2<a+aj<a2+o3<a2+ai<a2+a5<<a2+an_2<a2+an_f<a2+an<a3+an<-a,+a4=a2+a3al+a5=a2+a49ai+an=a2+an,i.%-q=a4-a3=a5-a4=ab-a5=an-an.l,“,%为，勺为等差数列''是"集合C中有2-3个元索必要条件综上，“%生M3，见为等差数列"是集合C中有2-3个元素充要条件.(3)由题意，al=l,a2=Za34,o8,5161432,i764,i128.%256.io512,/.a1+o2+0101O23又+%+%+4=2023:.an>1000.n=lb且此时，为最小值为10002. (2023北京房山统考二模)若项数为MkN,g3)的有穷数列他“满足：0i<o2<3<<ai,且对任意的(IWiWJW),勺+0或勺-Q是数列/中的项，则称数列UJ具有性质入(1)判断数列0，1，2是否具有性质P,并说明理由；(2)设数列6具有性质P,q(i=1.2,从)是4中的任意一项，证明:m-见一定是q中的项；若数列具有性质P,证明：当k5时，数列%是等差数列.【解】(D解：数列0J2具有性质P.理由：根据有穷数列叫满足：0W0<色<的<,<以，且对任意的H(IiQ,或%一是数列q中的项，则称数列加“具有性质产，对于数列0,1,2中，若对任意的V(IiZ),可得勺-=0或1或2,可得力一4一定是数列4中的项，所以数列OJ2具有性质P.(2)证明：由q(i=12,幻是数列%中的任意一项，因为数列%具有性质P,即%+4或%-6是数列q中的项，令i=k,可得或-4是数列q中的项，又因为04<%<<%可得%+4一定不是数列q中的项，所以4-4一定是数列an中的项.解t由数列6,具有性质尸，可得4+后凡,所以4一4"J则°£叫，且q=0>又由+/4,所以4-4wz,又由°=%-4<ak-ak-<ak-ak-2<1.<ak-a2<ak-a设2WiA,因为0«4<4<<at可得勺-4=°，4-%7=%，4-4_2=%，4-%=。1，4-4=4，当25时，可得T=4+(IWiWk-1)，(*)设3i"2,则4-+a,>%+/=4，所以4+4走4，由O=%-47<4.1一%.2V1.Vak,l-a3<ak-a3=ak_2，又由°qv%VVakTVa5可得%一%=4，%-=生<ak-x-4-3=4，%-4=ak-y，所以，*-%=a,(1i&-3),因为攵5,由以上可知：%-%=4且%-%2=，所以/-6=4I且ak-x-a2=ak-t，所以4一=q(1i女一1),(*)由(*)知，ak-ak_i=aM(ik-)两式相减，可得-4_1=a,一q(1i%-1),所以当A5时，数列q为等差数列.>»»49真题(2022,北京卷)已知数列几,圾的项数均为m(m>2),且%也wl,2,m,q,低的前项和分别为A”,B”,并规定A)=Bo=0.对于攵w0,l,2,加,定义以=max*g4,i0,l,2,m,其中，maxM表示数集M中最大的数.(1)若4=2,/=1,%=3,伪=1,仇=3,4=3,求个”,小八的值；(2)若q4,且2qo.ut=l,2,w-,求小证明：存在PMSj0,l,2,m9满足P>q,s>i,使得(+B=A。+纥.【解】(1)由题意可知：40=2,4=3,A=6,B0=O,B1=1,B2=4,B3=7,当A=O时，则为=A>=0,s,>A>"=i,2,3,j=O;当Z=I时，则/<A,8,>A,i=2,3,故Zj=I;当攵=2时，贝!8照4/=0,1,g>4,纭>4，故=1；当攵=3时，则用A3,i=O,l,2,用>4,故4=2；综上所述：“=0,4=1,r2=tg=2.(2)由题意可知：rnm9且GWN,因为凡121,且q伉，则儿M>对任意eN"恒成立，所以=。，4N1,又因为2/；wj+邑，贝!j%-"。一人，即%-QC"T-2之NZi-Gz1，可得，泊il,反证：假设满足*f>的最小正整数为O/?-1,当i时，m+l-2t当i-1时，则Jr=1,贝？k"=(%-)+(%-%.2)+-w)+782(m-j)+j=2n-j,又因为0J"zT,则，2m-j2m-(m-)=n+>mt假设不成立，故.*-。=1,即数列"J是以首项为3公差为1的等差数列，所以Z=O+1x=%gN.(3)因为为也均为正整数，贝U4,纥均为递增数列，S)若，=纥，则可取=g=0,满足>g,s>f,使得4+用=4+用；<三）若，<练，则<?,构建S.=%-4,1Z2m,由题意可得：S<0,且5.为整数，反证，假设存在正整数K,使得臬工-加，则BrK-AKK,n'BrK1.&.>0，可得%尸BM-4=（唠-A）-（理-A）>?，这与%+1w1,2,竹相矛盾，故对任意1”&N,均有S“1-小.若存在正整数N,使得SN=缘-AN=0,即Ay=B,一可取/=q=0,p=MS=灰，满足>s>r,使得&+乌=4+3T若不存在正整数N,使得SZ=O,因为Sne-l,-2,-（m-l）,且l"m,所以必存在lXvV<m,使得SX=S即之一AX=4-4,可得4+4=A+,可取=y,s=勿，4=XJ=仪，满足>q,s>E,使得Ap+旦=Ag+优；（B）若A,>Bn,定义Rk=maxA¾0,l,2,1.,m,则Rk<m,构建S.=A1.纥,1"%由题意可得：S.0,且S“为整数，反证，假设存在正整数K,1K"?,使得Sr*贝!|Azf*B-m,Ak+1-¾>0,可得a%*=4E-A&.=（为小一8K）（4.练）>加，这与%+1e1.2,时相矛盾，故对任意1"<"l1,"N,均有Sr,-m.若存在正整数N,使得SJV=A心-4=0,即4”与，可取q=i=Qs=NP=Rn，即满足>q,s>f,使得%+g=4+反；若不存在正整数N,使得SN=。，因为Sne-l,-2,一（6一1）,且1"W,所以必存在lXvy<m,使得SX=S-即ARA-BX=A/-%，可得Ar，+BX=ARJBy，可取P=RY,f=X,q=R,s=Y,满足>q,s>E,使得Am一综上所述：存在0q<pm,Ot<s使得p+B1=Ag+Bx大题典例2裂项相消求和已知各项均为正数的等比数列的首项4=:，,+1.=9.求数列加，的通项公式；已知数列卜的前项和S”，证明：5z<p【解】（1）设数列.的公比为解得q=；或夕=-；.又数列6各项均为正数，所以夕=-；舍去，故夕=；,所以""二99（2）证明：由（D，得，q=gx券，两式相减得gs“=g（+g+*+击一方）因为噤>0,所以S“寸2一竽)<；>»»解法林导裂项相消法求和的步骤像列T观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式)保与T将数列裂项后的各项相加)总将中间可以消去的项相互抵消,将剩余的有限巴厂项相加,得到数列的前项和提醒消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.>»»变式已知等比数列&满足4=2,且4+%=20.求数列qj的通项公式;(2)若数列也J满足包=q,他其前项和记为S“，求S“【解】(D设等比数列的公比为4由已知q=2,且%+4=20,得2夕+243=20,8P+-10=0(*)易观察，2是(*)方程的一个根，0(z7-2)(+2z7+5)=O,又夕？+2q+5=(q+l)2+4>0恒成立，团9=2,Xa1=2,团4=27(2)由(D知，bn=n-2n90Srt=1×2l+2×22+n×2n925n=l×22+2×23+n×2n+l9以上两个式子相减得,-S11=l×2,+1×22+1×2,-11×2,+1=2,+1-2-n×211+,=(l-)211+,-2,0=（11-l）2rt+l+2.>»»后”模拟1） （2024河南郑州三模）已知正项数列Iq的前项和为S”，4=4,且当2时2f（6>67）=4.（1）求数列%的通项公式；若数列出J满足d=黑区，数列"的前项和为小试比较（与5的大小，并加以证明.【解】（1）因为2时2"T（回+斤）=%=1-S,"=（病+后）（国-反），数列4为正项数列，所以6>67=2".由累加法得6-6=2+22+2m=2=2"-252）,又叔=m=2,所以底=2"，即S“二4”，故当2时，QnSnS"-13"4,4,w=l因此4=34"T2.Q2） ）?；<.证明如下：由题意及（1）可得a=条246In故卷=z+不不+不，1242n-22n产=不+不+r=÷ss出3.22222n282n两式相减，得Wq=*+不+不+不一产=§一/1.尸，%BT88÷6,4,8+6八hi、IT88+68得，,=-由于>0,故>0,所以（=<-.“99x4"9×499x4"92.（2024湖北鄂南高中模拟）已知递增的等差数列4（"N）满足：%+4+4=21,生，%成等比数列.（1）求数列的通项公式；C记S,为数列q的前项和，bn=9求数列mJ的前项和乙.【解】(1)设q=q+("T)d,d>O,由题意得3%=21a2=W53(4+3d)=21(a1+d)=ai(1+4d)4=1.d=2或%=7d=0(舍去)：.an=2w-l,wNt.(2)由(D可得s.=*m=2,则a除夕Z=+&+/+=§+*+*+，+*'可得:,=+÷+-÷.可得：71.=y+-+r+祟-亲,+也+冬，22"+j1.K=幺+&+g+2"222324可得：IIZl222=2+F+F+22n-1C4-I=F222'22n-32+3142+i22"'则鼠=3-竽j.-Tn=Kn-r=3-2nn2"+2+3n22+i9n2+4+6>»»到真题(2022新高考I卷Tl7)记臬为数列4的前项和，已知q=1,是公差为;的等差数列.(1)求%的通项公式；1 1Ir(2)证明：+一<2.4%an【解析】(1)V=1,S1=a1=1,=1,aV1又,1是公差为的等差数列，bJ3Sn.1/+2(+2)凡Y=*1)=丁24/J 当”2时，SJ，十1-1,"T3.(+2"(+1)% 丹=Sn-sn-=飞，整理得：("l)a=(/t+l)4i，,34n/?+1/+1)=lxX×.××=-23n-2n-2显然对于=1也成立， 4的通项公式可=迹土D；anw(«+l)n+1已知数列&的首项4=1,前项和为S”，且SZ=2S”+l(eN).设勿=勺+1.求数列低的通项公式；设C=4(1。；)2-1'数列qj的前"项和为乙'证明：71.<.【解】(1)在数列4中，S的=2S,+l(eN)，S"=2S.+“52)，由-得：r+1-S11=2(Szt-Sn,1)+l,即，a=2an+(n2),所以4m+1=2(%+1)(“2),即%=2(“2),在中令=1,得S2=2S+2,即/+2=24+2,而=1,故生=3.则/+1=2(4+1),即4=2,又+l=20,所以%=2(eN)所以数列»“是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2=2"：、JQ)(h4(log2J2-l4-l(2/1-1)(2/7+1)212n-211+lJ,又因为a=i>°'所以$所以g71.<g.>»»解注赛导错位相减法求和的步骤第一步开S“=a,4+%+4-l+tl,第二步y公比IqS“=a%+°2A+。-611+%6.1)第三步f错位相减-得(1-q)Sil=%4+d(4+4+¼1)-%也】第E4旧工，S°r>+d(%+4+)-小也八第四步->求和S=->»»44变式已知数列满足AA墨+=求数列加，的通项公式；若a=1阴2。”，求数列丁的前项和.l+j1*1由题意得>$+$+畀、当2时，÷J÷J÷+f="l,由得号=1，即%=2"，又=1时，-=1,.6T1=2,满足上式，综上，4,=2"(2)由(1)r=log2a11=n,故%(n+l)n"+1'设数列)1r4的前项和为7-IA÷JTll1111所以T,=11-H=1FH7rM9nbb1打也a%1×22x37(+l)1 111Il1In=I1+T1=.2 23n/1+1n+1n+1>»»模拟1 .(2023华中师大一附中模拟)已知数列4的前项和为s“，且sf,=20fji.求数列的通项公式；若数列也满足H=炉，其前项和为，求使得黑I成立的的最小值.,4.2024【解】(1)当2时，an=sn-S11-1=(2an-n)-(2an,l-n+1)=2(an-a11,l)-,所以。”=2。1+1,贝11|4+1=2(4_+1),而4=S=2q-l=1,所以6+1=2,故q+l是首项、公比都为2的等比数列，所以/+l=2"=2"-l（2）由=anan(2,'-l)(2rt+,-1)-2rt-12w+,-1*一+.+-=1p2"12023211+,-1>20242n+,-1<2024=>2,+1>2025,77152,-l211+,-1由2H)<2025<2"且N*,贝!)”+llln“10所以使得20232024成立的的最小值为10.2 .（2023上饶市第一中学模拟预测）已知数列叫中，4=1,=2gN*.求数列的通项公式;设a=Iog24+3，求数列；:的前项和Sti.lJ【解】（1）因为4=1,=2”,所以4=子署u-1un-2(n-l)/z-jI4=2,-1.2n22l1=2"2+("T=22n-)t当=1时，q=1满足上式,所以（一】）(2)因为2=l0g2d+3n=n(n-)+3n=n(n+2),所以苏=;r?:一忘），2/1+3Iill111八Il1所以于T3)=5。+5一百一；7?>»».9真题（2023全国甲（理）卷T17）11.已知数列4中，a2=t设S”为%前项和，2Szt=凡.（1）求4的通项公式；求数列空I的前项和J【解析】（D因为2S”=6，当=1时，2%=%,即q=0；当=3时，2(1+6)=M,即%=2,当2时，2S”-i=(-,所以2(S,t-S“T)=1)q一=2«"，化简得：(-2)4=(-1)明，当3时，="=1,即“=-1,一1一22当=1,2,3时都满足上式，所以勺=1("N).因为铝唠,所以T=IXs+2Xs+3x(J+.+X3，I=IX(+2x(J+(,1)x(5+唱，两式相减得,2=I-(I+?出,即'1=2-(2+)(9,