大题02 数列（精选30题）（教师解析版）.docx

黄金冲刺大题02数列(精选30题)1. (2024江苏南通二模)设数列,的前项和为S”，若SZf-Ta“="+i,gn求q,d2,并证明：数列如+4用是等差数列；求SV).【答案】(1)6=4,%=2,证明见解析：(2)420.【分析】(1)直接代入=1可得4=4,再代入=2,结合可的值求出的=2；再由S"-gzf=+仿写出Sn-in,i=(n-)2+f作差后得到q+为_|=4-2,即可证明结果.(2)由(1)知数列a.+4为等差数列，然后代入等差数列的前项和公式求解即可.【详解】(1)当=1时，由条件得4-gq=2,所以q=4.当=2时，由条件得(+/kg%=5，所以a?=2.因为S"一g""=2+1，所以SrJT-gfj=(-1),+1(n2),两式相减得：。“-(。”+3。小=2-1,即4+4=4一2,所以(%+4)-(q+%)=45+1)-2-(4-2)=4,从而数列q向+4为等差数列.(2)由(1)知为+%_=4-2,所以4+勾川=4(+1)2=4+2,所以数列+0为等差数列，首项为4+%=6,所以Szo=(q+%)+Q+,)+(%+o)=°Xkq'所以S20=(4x2-2)+(4x42)+÷(4×20-2)=1°x6+7=420.2. (2024福建福州模拟预测己知数列“满足4=2,alt=an,l+2n(w2).求数列0的通项公式；记数列，卜勺前项和为S”，证明：Sn<1.【答案(l)11=11+lN*；(2)证明见解析.【分析】(I)根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前项和公式求解即得.(2)利用裂项相消法求和即可得证.【详解】(1)数列"中，当2时，an=an,x+2n,即a,*=2，则为=4+(%4)+(/一4)+(4-1一。“-2)+(4-6,11-)an=2+4+6+伽一2)+2/1="2；2")=.2+,而“=2满足上式，所以数列.的通项公式是勺=/+，hN*.,/、1Ill(2)由(1)知4=犷+=(+1),HGN则二-二(皿=77，C111I因此Sfl-1f÷I-1×22×3(-1)”«(/?+1)illIlll,1H=1一一+-+=1,Ifijwl,则1<1,223n-nnzz+1n+n+所以S“<1.3.(2024全国模拟预测)已知数列4满足”胃肾且4=1.(1)求数列0的通项公式.求数列.的前100项和SK)0.2亏,为奇数【答案】(1)4=J25-1/为偶数3x250-53【分析】(1)由递推公式得，当&cN*,是首项为1,公比为2的等比数列，令“=。”+1，4是首项为2,公比为2的等比数列，分别求出通项公式即可；（2）由分组求和，分别计算奇数项和偶数项之和，再根据等比数列前八项和公式计算即可.【详解】（1）由题意，得当左cN'时，a2k=2a2k_i-t%=%t+l将代入，得川=2%一所以%l是首项为1，公比为2的等比数列，所以如=2i.又因为%+2=2%t+T，所以a2k.2=2出。+1，所以%+2+1=2(%k+1).令4=°2a+1,则=沟,而。2=2一I=1,bi=a2+l=2f所以4是首项为2,公比为2的等比数列,所以a=2。所以所以4=42*为奇数2乙,为偶数SloO=(+aj+99)+(¾+4+rt100)=(2o+2,+249)+(2,-1+22-1+25o-1)=(2o+2,+249)+(21+22÷+25o)-50×(-22×(-25q1-21-2=3x250-53.4.（2024浙江宁波二模）己知等差数列4的公差为2,记数列也的前项和为SMA=O也=2且满足+=2S“+an.（1）证明：数列d+l是等比数列;（2）求数列rt的前项和Tn.【答案】（1）证明见解析:C(211-l)3n+lzI=(+1)【分析】(1)根据通项与前项和之间的关系，作差可得加广32+2,即可利用等比数列的定义求解,(2)根据错位相减法求和以及分组求解，结合等差等比数列求和求解.【详解】(1)n>2f,+1-bn=2(Srt)÷a,=2bn+2,gp+1=3+2.又&=O也=2,也符合年=34+2,所以m1时，+1=3+2,即2.+1=3(0+1).又4+1=1h0,所以2+1hO,所以把?=3,所以数列也+1成等比数列.(2)由(1)易得d=3"T_l.由4=24+4可得q=2,所以勺=2.所以anbn=2(3"T-I)=23"-2,所以T=203°+23+332+311,)-(+1).÷M=l30+23,+332+z3f则SM=1-*+2-?+?+113n.所以2M=-(3°+3+32+3w,)+3”=3"-yy=,所以I=2M-n(n+)=-?3+1_(>+).5.(2024浙江杭州二模)已知等差数列/的前项和为S“，且S4=4S2,%=2为+1("N)(1)求数列0的通项公式；a9数列%满足2=3,令%也=4+2,向，求证：X<-.=11.答案4,=2"1("N)4a+6"=84+444+(2-1)d=2q+2(-1)d+1'解力(2)证明见解析【分析】（1）设等差数列4的首项为q,公差为d,由题意可得，程求出4,d,即可求出数列q的通项公式；（2）由（1）可得导=|1,由累乘法可求出以的通项公式，再由裂项相消法求解即可.【详解】（1）设等差数列凡的首项为4,公差为d由S4=4S22n=2。0+14al+6d=84+4da+(2n-l)tZ=21+2(一l)d+l解得：a1=l,d=2,所以a.=l+2(-l)=2-l(eN*).(2)由(1)知，(2n-l)=(2n+3)+1,51'=7>=5bn.,2n-bn2-3bn12-51b112w+3,b.2+1,b22-l,十l十，,.bnbn.b、2-32一5利用累乘法可得：4=在产-=-%-2U2/2+12n-l99rl1Az二（2-1）伽+1）=丸"C,+Js冈，伉=3也符合:式,4=1=b1+÷+.,+所以%4一击退6.（2024浙江二模）欧拉函数°（M（"N'）的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数,例如：夕(1)=1,°(4)=2,。=4,数列,*的足zt=°(2"X"n)（1）求卬，4，%，并求数列0的通项公式；记a=（）"g警1.,求数列出的前和S”.a2n【答案】（1）G=1，/=2,%=4,an=2"620÷6S1.石+西可【分析】（1）根据题意理解可求%,生,%,结合与2"互素的个数可求数列q的通项公式;(2)求出数列的通项公式，利用错位相减法求和即可.【详解】(1)由题意可知4=0(2)=1,a2=(4)=2,=W=4,由题意可知，正偶数与2"不互素，所有正奇数与2"互素，比2”小的正奇数有2"个,所以%=0(2")=2"T；(2)由(1)知。”=“2")=2"T,所以%,=e(22")=22i,所以以=(T)*=(-1)"墨二=(T)'Qf*=(4-2=+,所以S.=2x（一;）+6x（-；）+（4-6）x（-；）+（4-2）x（-；）,32011÷610-5×（-4）w+,所以s620+6=+2525x（T）"7.(2024重庆模拟预测)已知数列4满足4+2%+36+wzr=+l)!,weN(1)求4的通项公式;若力1023且AeN*,记”二，讨论数列出的单调性.ak'flI024-A【答案】(1)4,2,n=lw!,w2（2）当1A512,AN'时，瓦单调递增；当512E024,tN时,4单调递减【分析】（1）分两种情况讨论，=1和2,即可求解；（2）先计算出A和如23,当2<A1022时，计算出?，令3=1，再检验两端点，即可得出也的单调Dk-Ink-性.【详解】（I）由已知得，当=1时，q=2!=2,当2时，ax+2a2+3ay+5-l)"=!,a+Ia2+33+na11=(w+l)!,一得，凡=(+1)!！=！，BPan=nf所以为2,=l!,w2(2)当Z=I时，4=2,=当上二1023时，瓦=如“1023a4024a“0231024!1024!1024当2A1O22时，bk=2×1023!1024!2x102312嘤=512,=512,%!(10242)!-11024!-l)!(IO25-)!1024!伏一l)!(1025W¾,1!(IO24-)!1024!J025-攵1025-Zlo25-1,显然，当2左1023,AeN*时，单调递减,令袅=1,即华1=1,解得k=512.5,bk-k所以当2k512,kN时，卢>1,4单调递增,%1024!1O23×IO242!(1024-2)!>512=4,所以当lWk512,kN时，4单调递增;当513WA1024,kN时,又“10221024!1022!(1024-1022)!红<1,M，1023x1024、1.=2>512=3,所以当512Z1024,AN时，4单调递减.8.（2024河北邯郸二模）己知正项数列4的前项和为S“，%=3,且瓦=厄+底.求“的通项公式;45若包=%，求数列他的前项和沙.anan+【答案】%=2T得到Szt=2,利用+Ui【分析】(1)首先求出4=1,可证明数列JT为首项为1,公差为1的等差数列,4=f-Szt,1得到.的通项公式;(2)由(1)知，bn4,4anan+(2-l)(2w+l)，化简可得32e利用分组求和以及裂项相消即可求出数列也的前项和口【详解】(1)当=1时，由6=后+6,即斤Z=2j1，解得：4=1,所以S=而=1，则数歹U#7为首项为1，公差为1的等差数列;当2时，atl=Sa-SZtT=-1)2=2/1-1,当=1时，4=2x1-1=1满足条件,所以M的通项公式为an=2-1(GN*)(2)由(1)知，4S“4cnan+x1.1)(2+1)所以“W"故北=+g|14+1+；4-l111-+35=1÷(2w-l)(2n+l)212-12«+12n-l211+l=rt÷i2l12n+ln=11+2n+l即"U?9. (2024福建三明三模)己知数列4满足y求数列.的通项公式;(2)设数列4的前项和为Sf,若不等式14Sj对任意的几eN恒成立，求实数，的取值范围;(3)记5=丁二，求证：+组台<忘("N).log24【答案】(IM=2,25-9,早(3)证明见解析【分析】(1)当=1时求出外,"2时，用分二%：3U,即可求解；a'a2an-(2)由4=2”得出S“，由144S：得(T)”fW,根据对勾函数的单调性及S“的值，即可求出，得范围；由得也$，则犹二悬m根据放缩法得7犷在出一看)即可证明【详解】(1)当=1时，q=(应=2,当2时，/=4.生4,%=感)；=(戊产=2",=1时成立，的(2yn-0+11-,所以勺=2".(2)由q=2"得，S"=生二变=2向-2,显然N'时，S”单调递增，S11S1=2,12由(T)S,T4<s2得，()')ll,又好l=S,+f2jw当且仅当S.=节时，即EJ=JiZ时等号成立，33“14id251414因为s=2,§2=6,S3=14,S1<Tu<S2,且S+三=9,S2+=t53+-=15>51+,.4所以当=1时，（T）"Si+g=9,解得，-9,2142575当=2时，（T）4S2+不=可，解得,“）325所以，引-9,7.J1（3）证明：由（1）得“=嬴_J_b”-%_22+2_log?2?"一五'-IT2(rt+l)V2w因为n>Jn+yfn(n+)1二应二应>2n(n+l)2yfn(n+)«(+1)+诟(+1)在(J"+1-五)_1)4nyn+(>Jn+Vzj+1)4nJnyfnJn+_b.-b-ib-t-Z?,所以kk+/7z11111111.72"方-/丁耳+一忑+忑一E)=2(1-rJ=)<2.n+l10. (2024全国模拟预测)已知等差数列4的前项和为S.,数列也是等比数歹I,a=hi=1,53=Z>3+2,S4=+2.求“和也的通项公式；设="+4,求数列q的前项和工.【答案】（1）q=，bn=2n-in-7>2'商【分析】（1）根据等差、等比数列的通项公式可得+1=92、6d+2=",解之即可求解；（2）由（1）得=*-J+21,结合裂项相消求和法和等比数列前项和公式计算即可求解【详解】（1）设数列,的公差为d,数列也的公比为q（q0）,由4=1,S3=4+2,S4二为+2得3d+1=d,6d+2=,两式相除得9=2,所以3d+l=4,d=l,所以=4=+=，bn=biqn'i=2n't(2)由(1)得4=,S“=-,=2"T,1,2所以=“八而用+2w,=-+2n,n/1+1C222222l-211-l所以Z=+=2+.,1223n+11-2/1+111. （2024全国模拟预测）已知数列4满足4+2%+3%+”=吐-1）2"+1.（1）求数列.的通项公式;n2+3n+2,求数列4的前项和S”.【答案】（1）%=2小*lSFT【分析】（1）利用数列的和与项的关系构造，两式，相减即得数列的通项;（2）求出父，将其裂项后，进行求和，消去中间项即得.【详解】(1)当=1时，6=1.依题意，4+2/+3%+nan=(w-l)2rt+I®当2时，4+2%+3/+(-=(-2)2"1+1.一得nan=(-1)2"+l-2)2"T+l=w2nl(2),所以%=2i(“2).因=1时，该式也成立，故q的通项公式为凡=2"，(2)由(1)知%=21,由e=一出一犷+3+2可得-2"_2、5+1)5+2)-n+2n+2÷l12. （2024全国模拟预测）己知数列4满足3”-"+32%+.+341+/=4”，wN求数列.的通项公式；,Il17Q）若a证明：彳+百+7<34,=1【答案】可=/之2（2）证明见解析【分析】（1）考杳巴与色的关系，借助（与S”的关系的解题步骤q=S,=St-Sf52）,检验的思想方法进行求解即可.（2）先求出!，再求和!+!+1,"i"2时对;进行放缩变形即可求和证明出不等式.bb2bnbn【详解】（1）当=】时，4=4；当2时，3nial+r2a2+.+3an.l+an=4”，3-2q+3-3%+.+3an,2+J=4"T.一3x得q=4'"52）,4=二、土4,n>23,w=1由"/I='”因为4-1=3x4"2+4"2-13x4”-2（w2）,所以十忌W（2），当>2时，M1.+=+.+-+f-1.÷÷.÷lijab2b,t34l-l42-l4rt-,-l3314°4,4z,-2J41117综上，对任总的£N*,-+,+7cO-U力2913. （2024全国模拟预测）已知数列%的各项均不小于1,前项和为S"=1,2S”-叫是公差为1的等差数列.（1）求数列.的通项公式.（2）求数列黑的前项和Tn.【答案】（1）q=：4/?2+8(+1【分析】（1）利用前项和与通项公式之间的关系判定“是等差数列，再求通项公式即可.（2）对需要求和的数列先进行化简，再利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）由4=1,得2Sa；=l.因为2S“-吗是公差为1的等差数列，所以2S”-d=l+5-l）=z.当2时，25w-1-1=W-I.两式相减，得2。”一片+。3=1，所以07）2=q*又0f,l,所以a”1=一，则。“一%=1,所以“是首项为1,公差为1的等差数列，所以4=1+（-1）=.（2）由（1）可知，S"="""则Ql_4吁伍_1S；/(“+1)21/5+1)2z1111111=4卜中+中丁÷-(y1-I4+8/7=417=(÷1)(w+1)14.（2024安徽模拟预测）已知数列4的首项4=2,且满足+”=3x2”.求”的通项公式;已知求使也取得最大项时的值.（参考值：21.26）【答案】（1）2=2"（2）4【分析】（1）由递推关系将己知等式变形为凡u-2*=-q-2"），即可求出通项;（2）由已知可设，代入人解不等式组求出即可.IA+【详解】因为1+4=3x2”,所以*2向=-3-2"）,又4=2,所以42=0,所以%一2”=0=>q=2".（2）由（1）有q=2",所以a=:=*,设=k时，"最大，k班(k-l)2kk+k<解得，k>4.853.85又无自Z,所以k=4,所以使他取得最大项时的值为4.15. (2024辽宁一模)已知S”为数列4的前项和，满足S.=；d+ga”-l(wN),且“吗吗吗，成等比数列，当5时，an>0.求证：当5时，/成等差数列；求叫的前项和S”.【答案】(1)证明见解析；l-(-l),',ln4,N*S”=(125CyWn+2,5,/?N122【分析】利用。用=+1-*得到和%的关系即可证明；结合(1)中结论得4+为=0e5),求出和公比，得到4通项公式，从而根据等差和等比数列前项和公式即可求解.【详解】(1)VSn=l+n-l(1N),"2S”=a；+%-2,2Sn+1=%+on+2»两式相减,得2"+=+-j+zr+-4,即(乌山+4)(4+1-4IT)=。.当5时，z,>0,J,an+l-an=f当八5时，qj成等差数列.(2)由q=ga；+ga|-l,解得q=2或=-1,又卬出，的，。4，%成等比数列，由(1)得4t+qt=0(5),进而q=T,而6>0,q>0，从而4=2=%，2×(-l)n1,l114；4=，一3,5Sn=,I-(T)",1"4,"N*n2-n+2,n5,nN'.2216. （2024湖南岳阳三模）已知等差数列/满足：4=2,且q,%,%成等比数歹J.求数列,的通项公式;（2）若等差数列&的公差不为零且数列也r满足:b=”k-0k÷)求数列也的前项和【答案】（IM=2或=2；(2)Tn=n+n2+1【分析】（1）设数列公差，由条件列出方程，求解后运用等差数列基本量运算即得；（2）求出数列步“的通项公式，根据其形式结构进行拆项和裂项，利用分组求和法与裂项求和法即可求得【详解】（1）设数列,的公差为d,依题意，2,2+d,2+3d成等比数列，所以（2+4）2=2（2+3d）,解得d=0或d=2,当d=O时，an=2当d=2时，an=2+(n-l)×2=2n所以数列M的通项公式为4=2或4=2.因为等差数列小的公差不为零，由（!）知"2MN）则“G两4n2-l+l111lfl1、4-l?-1)(2+1)2<2-12w+lJ所以二+12/1+1gpz=w+l!)=+/-"2(2n+)2i+117,（2024湖南二模）记SfJ为数列4的前项和，已知叼+（髯-1）%+an=2Sl-.（1）证明：数列SJ是等比数列;（2）求最小的正整数，"，使得m,+N+'对一切eN都成立.6“2a”【答案】（1）证明见解析(2)7【分析】(1)用+1替换已知，再与已知作差，得到SIH=2S“，即可得证；(2)由(1)可得q=S,f-S,=，：-2,利用错位相减法求出骞=,+工+=7-(zz+2)×22n,1,=Iaa2an进而得到结果.【详解】(1)由题知叼+(-1)生+÷=2S11-l,用+1替换上式的，得("+I)4+/+4=2S川一1.两式作差，al+a2+an+an+,=Sn+1=2Sw+1-2S,1,即Sq“=2S”.而由l=2S-l,可得Sl=IW0.从而Sl是首项为1,公比为2的等比数列.(?n2n>2由得S,r=2"于是为=S“-Si='一,1,=1Tl2n设I=+,则=,44%当2时，q=l+22°+n×22nt故gq=g+22T+n×2,n,两式作差，得，7=9+2<+÷22w)-×2i'w=-+2-12,-¾×2lw2”2I72l-2,整理可得骞=7-5+2)x227.49故4<7,又TS=F>6,因此满足条件的最小正整数m为7.18. (2024,河北石家庄二模)己知数列4满足4=7,4用=收一3，"?£?,2an,为偶数.写出。2吗，；(2)证明:数列%-6为等比数列；(3)若=，求数列(-3)的前项和S,.【答案】(1)4=4,6=8,a4=5(2)证明见解析(3)SzI=I+57)2"【分析】(1)由数列的递推式，分别令=1,2,3,计算可得所求值；(2)推得2m-6=2(%l-6),由等比数列的定义，可得证明；(3)求得,=3+2"T,-(2-3)=小2"”，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式,可得所求和.【详解】由=7,%+="源鲁，|2q，为偶数.可得。2=43=4：a3=2a2=8；4=tz33=5；(2)证明：由题可得出“+1-6=2。26=242“_1一66=2(%“一1一6),则数列-6是首项为1,公比为2的等比数列；(3)由(2)可得*-6=2j即%t=6+2",2=。2“=。21-3=3+2'"，n(bl,-3)n2n-it前项和S,r=l20+22+322+.+2"7,2S11=12+222+323+.+w21_o,r两式相减可得-S"=1+2+22+.+2"T-g2"=3-"2",1-2化简可得S.=l+(-1)2”.19. (2024全国模拟预测)已知数列4的前项和为S。，且生=3,2Szf=(q+2).求数列.的通项公式；若存在WN*,使得=+=+?而"+1成立，求实数义的取值范围.aa2a2a3"Mr+l【答案】(1)q=+1；【分析】（1）当=1时，求得4=2,当“3时,得到2S1=（-1）（加+2）,两式相减化简得到念-怒=-2（七-=结合叠加法，即可求得数列4的通项公式；,111,11111（2）由（1）得到=一一-,求得+=-,4At+1+2a2a2a3anan2/7+2n_1解法1：根据题意，转化为2（：2）2'结合2（+2）2=2（“+4），结合基本不等式，即可求解;解法2：根据题意，转化为不7,结合二次函数的性质，即可求解.，（+2/（+2）【详解】（1）解：当=1时，2S=2q=4+2,解得q=2,当3时，2Sn=(a”+2),2Si=(z-l)(%+2),两式相减可得，(-2)%-5-l)%=-2,则J也"=一2(-1.n-n-2n-2n-)n-2n-3n-3n-2-=-<,4)叠加可得，则为=+i,而=1,2时也符合题意，所以数列”的通项公式为4=+1.1111解：由知4=+1,可得互二=5+1)5+2)=Ur莉万,111Illl11naia2a2aianan+2334+1n+22(+2)*解法1：由一+一+"244+1,可得o>5+2),a2a3anan.l2(,t+2)11Q即人就广即则"UF又由小广*H记,当且仅当=2时取等号，故实数义的取值范围为1-8,.1611111、“7解法2：由+=-(w+2),44a2a3anan.l2n+2可得人环一E=I而力+记当+2=4,即=2时，£，则44故实数4的取值范围为1-8,士.16IoJ20. (2024湖北二模)已知各项均不为0的数列4的前项和为S“，且q=l,S,=*1.±l.(1)求”的通项公式；(2)若对于任意eN2"4S”成立，求实数义的取值范围.【答案】(l)%=2-l(2)2I【分析】(1)根据题意，得到2时，4Sn.i=an,lan+t两式相减得到.一*=4,得到小吗及均为公差为4的等差数列，结合等差数列的通项公式，进而得到数列的通项公式；(2)由(1)求得S.=/,证得为a余恒成立，设包=最，求得数列的单调性和最大值，即可求解.【详解】(1)解：因为数列“的前项和为S”，且4=1,S'="M；+1.即4Sr,=M+l,当2时，可得4S.t+1,两式相减得4%=an(4+%),因为凡工°,故见+1.ql=4,所以4，%，。2.-1，及。24，均为公差为4的等差数列：当=1时，由4=1及S=4用，解得4=3,所以/i=1+45T)=2(2"-1)-1,¾,r=3+4(n-l)=2(2n)-l,所以数列M的通项公式为4=2-1.(2)解：由(1)知勺=2-1可得，因为对于任意N2rt-ASn成立，所以；I.恒成立，设=匕则%也=91.W=也毕1.n2+In2*22“.当1-<"1+,即=1,2时，fl->0,<bn当>1+应,即"3N时，>-<O,>+,QQ所以4<<&：>64>么>,故(")max=4=7,所以27,OO即实数4的取值范围为小+8).21. (2024湖北模拟预测)数列氏中，4=1,出=9,且。源+为=24向+8,求数列4的通项公式；(2)数列2的前项和为5,且满足Y=%,<0,求S.【答案】%二42-4+1(2)答案见解析【分析】(1)依题意可得4+2-向=4用一凡+8,即可得到/为等差数列，即可得至UqlH-q=8，再利用累加法计算可得；(2)由(1)可得=±(2-1),。也%<0,得到"与心2同号，再对年分类讨论，利用并项求和法计算可得.【详解】(1)因为4+2+4=2%+8,所以4+2-11=4+1-4+8,所以数列/凡是公差为8的等差数列，其首项为-4=8,于是叫%=8,则q一4li=8("-1),-2=8(-2),l,生一出=8*2,%一4=8,7、(+n-l)(n-,所以"fl-q=8(l+2+-l)=8-=4-4，所以4=4-4"+152);而4=1符合该式，故q=42-4+1.（2）由（1）问知，an=（2-1）2,则=±（2-1）,又与%<0,则%<0,两式相乘得。%2>0,即她40，为奇数1-2,为偶数'因此2与2+2同号,因为4伪<0,所以当4=1时，b2=-3f此时=当为奇数时，=(+)+(+)+÷(-2+-i)÷=-2×-=2,当为偶数时，=(+)+(+)+(-1+)=-2×-=-n;当4=一1时，4=3,此时"=为奇数为偶数当为奇数时，=(+)+(+)+.+(.2+.1)+=+2×=-i,当为偶数时，=(+)+(+)+(-+)=2×=«:综上，当=1时,S'=(I)"!"；当=T时,S11=(-l)"w.22.（2024全国模拟预测）已知，是各项均为正数的数列“的前项和，<1-2,-3=0,5,=13.求数列0的通项公式；若2=（4-1）可，求数歹U0的前项和1【答案】%=381=（2_|卜叫【分析】（1）先利用题给条件求得数列“是公比为3的等比数列，再求得其首项的值，进而求得数列/的通项公式；（2）利用错位相减法即可求得数列"的前"项和Tn.【详解】（1）。3-24+必-3。；=0,.（rt+4）（同-初）=0.凡>0,.an,i-3an=0,竽=3,数歹J4是公比为3的等比数歹人.S3=al+a2+ai=a1+3a1+32a1=13,.*.=1,.,.arl=3n"1.(2)由(1)知，=(411-I)×311-',11b+,+=3×30+7×3+ll×32+(4n-l)×3n,3f=3×3÷7×32+ll×33+(411-5)×3nl+(411-l)×311,一得-2=3×30+4×3+4×32+4×311-,-(4n-l)×3n=-l÷4(1-3")1-3-(42-1)×3m=-(411-3)×3,-3>F二(24卜3"+(23.(2024湖北黄石三模)已知等差数列4的前项和为S"，S7=56,/+/=2。，等比数列也满足4=%,H是勺，4的等比中项.求数列也的通项公式；设数列%满足czf=4,CoS£十周如年，求数列qj前4项的和心.【答案】(1也=2"或2=(2)"Q=y(T)【分析】(1)根据题总结合等差数列可得4,，可得(，根据等比数列通项公式结合等比中项可得q,即可得"；(2)由(1)可知：c11=2ncosy+2wsiny,利用分组求和结合并项求和分析求解.【详解】(1)设等差数列依的公差为d,S7=1(a,+3d)=56fa.=2由题意可知：V'J"M解得：4+6=2(4+41)=20d=2所以4=2+2(九-1)=2.设等比数列也的公比为/则A=q=2,由题意可知：=28=64,则4=64,解得q=±2,所以a=22"=2"或O,=2(-2)i=-(-2)z,.(2)(1)可知：cn=2ncos-+2nsin,22设卜CoSq前4项的和为A”，KSinTb前4项的和为其“，可知Q=A*+%,对任意mN,(4-3)11因为cos'CCO.11°11=Cos2n11-211+-=cos-=I220,(4zz-2)11-2=cos(211-211+11)=cos11=-l»cs(42-l)11=coJ2w11_2兀+m=CoS型=0,2I2J24z11/cc«cos-=cos(2t11)=cosO=1(4"-3)11(4n-2)11(4-1)兀4n11则¾n-3COSY1.-+aAn_2cos-+4rt_1cos-÷a4ncos=a4n-2+a4n=2d=所以4,=4×n=4n,又因为sin®?”=sinf2n11-211÷yj=siny=1(4-2)11sin-2=sin(2n11-211+1