2命题及其关系充分条件与必要条件练习题.docx

§1.2命题及其关系、充分条件及必要条件一、选择题1.设集合A=jrRx2>0,B=xRXVO,C=xR（一2）>0,则“xU8"是"x6"'的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：AU=xRxVO或x>2,C=xRxVO或x>2,.3U8=C,.xU5是xC的充分必要条件.答案：C2.已知命题夕：37N,2>1000,则夕为（）.A.Z7N,21OOOB.Z7N,2>1OOOC.32N,21OOOD.37N,211<lOOO解析特称命题的否定是全称命题.即R三XGM,夕（X）,则RzM,P（X）,故选A.答案A3.命题“若一IVXV1.则1V1”的逆否命题是（）A.若x21或xW1,则*NiB.若步<1,则一ICKlC.若V1,则xl或K-ID.若/21,则或x<一1解析：若原命题是“若p,则q"，则逆否命题为“若。则夕”，故此命题的逆否命题是“若/21,则21或1”.答案：D4.已知。，角的终边均在第一象限，则“。>£”是“sinsin£”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D,既不充分也不必要条件解析（特例法）当时，令=390o,£=60°,则sin390°1 A=sin30o=<sin60o=,故Sin>sin£不成立；当Sin乙乙>sin时，令=60o,£=390°满意上式，此时QV£,故“。>£”是“Sin<z>sin£”的既不充分也不必要条件.答案D【点评】本题采纳了特例法，所谓特例法，就是用特别值特别图形、特别位置代替题设普遍条件，得出特别结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的推断.特例法的理论依据是：命题的一般性结论为真的先决条件是它的特别状况为真，即一般性寓于特别性之中.常用的特例有取特别数值、特别数列、特别函数、特别图形、特别角、特别位置等.这种方法实际是一种“小题小做”的解题策略，对解答某些选择题有时往往非常奏效.5.命题“若f（x）是奇函数，则Ax）是奇函数”的否命题是（）A.若F（X）是偶函数，则x）是偶函数B.若F（X）不是奇函数，则Hx）不是奇函数C.若F（一X）是奇函数，则f（x）是奇函数D.若H-X）不是奇函数，则Hx）不是奇函数解析：否命题是既否定题设又否定结论.答案：B6.设集合"=1,2,%=4,则是“A£"的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件解析：当a=l时，N=l,此时有AUM则条件具有充分性；当”G"时，有3=1或"=2得到司=,a2=-1,a3=29ai=-29故不具有必要性，所以，=1”是仁，的充分不必要条件.答案：A7 .若实数a,6满意0,620,且ab=09则称H及6互补.记(a,Z?)=y4+B'ab,那么<a,6)=O是a及6互补的().A.必要而不充分的条件B.充分而不必要的条件C.充要条件D,既不充分也不必要的条件解析若(a,6)=0,即后彳=a+A,两边平方得劭=0,故具备充分性.若心O,A0,ab=Q,则不妨设a=0.(a,ti)=+2一己一6=的一6=0.故具备必要性.故选C.答案C二、填空题1J8 .若不等式x-M<1成立的充分不必要条件是G<X<2,则实数次的取值范围是4'答案：I2,3-9 .有三个命题：“若x+y=0,则X,P互为相反数”的逆命题；“若a>b,则>>夕的逆否命题；(3)“若XW3,则V+-6>0”的否命题.其中真命题的个数为(填序号).解析(1)真，(2)原命题假，所以逆否命题也假，(3)易推断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假.答案110.定义:若对定义域上的随意实数X都有F(X)=0,则称函数f(x)为上的零函数.依据以上定义，“Hx)是上的零函数或g(x)是上的零函数”为“Ax)及g(x)的积函数是上的零函数”的条件.0,Xe1,0,解析设片(一1,1),f(x)=U八1X90,1,X,1,QJ,g(x)=明显/(X)=F(X)g(x)是定义域上0,x0,1,的零函数，但AX)及g(x)都不是上的零函数.答案充分不必要H.P：“向量a及向量b的夹角。为锐角”是S“a力0”的条件.ah解析：若向量a及向量6的夹角。为锐角，则CoS彳丁苏>0,ab即a6>0；由a6>0可得CoSO=>0,故。为锐角或O=Oo,故夕是°的充分不必要条件.答案：充分不必要12 .已知a及6均为单位向量，其夹角为0,有下列四个命题,2吟Px：Ia+b>1<=»Oe0,f211'PizIa+A>1Q飞几11PitIab>1<=>O0,'11PazIa-b>1QO,11其中真命题的个数是.解析由a+b>l可得/+2ab+>1.因为Ial=1.Ib=1.12冗）2兀11所以"b>-,故。0,飞-.当。0,飞-时，ab>-,故11-I<3÷62=a'÷2a0b+b2>l9即a+b>1,故夕正确.由a-b>1可得才一见6+Z>1.因为Ial=I,IA=1,11"1、三11，反之也成立，PI正确.答案2三、解答题13 .设P：函数AX）=2'在区间（*+8）上单调递增；g：log2<l,假如“力”是真命题，或也是真命题，求实数。的取值范围。解析：K"）=2i在区间（4,+oo）上递增，.”=在（4,+8）上递增，故4.（3分）q:由log“2<1=log“=>0<<1或>2.（6分）假如“力”为真命题，则P为假命题，即>4.（8分）又因为P或4为真，贝心为真，即0<"1或>20<<1或。>2由1。>4可得实数。的取值范围是。>4.（12分）14 .已知函数F（X）是（一8,十8）上的增函数，a、Z?R,对命题“若a+820,则（功+（，）2-（一百）+一，）”.写出其逆命题，推断其真假，并证明你的结论；写出其逆否命题，推断其真假，并证明你的结论.解(1)逆命题是：若AH)+F(8)2Aa)+1(6),则h+620为真命题.用反证法证明：假设a+6V0,则aV"b<-a.f(x)是(一8,十8)上的增函数,则f（八）<f(-b),f6<f-a),AM+f(b)<f(-a)+-b)f这及题设相冲突，所以逆命题为真.逆否命题：若F(d)+ab)vaa)+a6),则a+SVO为真命题.因为原命题=它的逆否命题，所以证明原命题为真命题即可.Va+O,:a-b,62a.又f(x)在(一8,+8)上是增函数，.f（八）2F(-b),/（八）(-a),f（八）+f(Z?)NAc?)+/(6),所以逆否命题为真.15 .推断命题“若a0,则1+-a=0有实根”的逆否命题的真假.解法一写出逆否命题，再推断其真假.原命题：若/20,则9+-a=0有实根.逆否命题：若*+xa=0无实根，则aV0.推断如下：V/+-a=0无实根，11/.=l+4a<0,aVVO,4,“若*+xa=0无实根，则aVO”为真命题.法二利用原命题及逆否命题同真同假(即等价关系)推断V50,.4a2O,4+l>0,.,*方程x+xa=O的判别式/=4a+1>O,，方程产+X一H=O有实根，故原命题“若刘0,则/+xh=0有实根”为真.又原命题及其逆否命题等价， “若a20,则，+x司=0有实根”的逆否命题为真命题.法三利用充要条件及集合关系推断.命题RaN0,Q：f+xa=0有实根，Ap：J=aRaO,q：B=a£R|方程x+-a=0有实根=aRa三一；即力£凡“若夕，则g”为真, ,“若R则。”的逆否命题“若Q9则0”为真. “若h20,则，+xd=0有实根”的逆否命题为真.16.设夕：实数X满意彳24斯+3步<0,其中aW0,q：实数X满意y-X-6o,<y+2-8>0.若a=l,且夕Ag为真，求实数X的取值范围；若是。的必要不充分条件，求实数a的取值范围.解：(1)由步一4ax+3*0,得(x3a)(xa)<0,当a=l时，解得kx<3,即夕为真时实数X的取值范围是1<K3.X-X-60由2ICox，得2<3,即q为真时实数X的取值范围是X+2-8>02<x3.若夕q为真，则夕真且q真，所以实数X的取值范围是2<K3.(2)0是q的必要不充分条件，即心夕且夕多S设4=x夕(x),B=xg(x),则4是8,又6=(2,3,当a>0时，A=(a,3a)；a<O时,A=(3a,a).a2,所以当a>0时，有“°解得l<aW2;3<3a,当水0时，明显/G8=。，不合题意.综上所述，实数H的取值范围是1<h<2.