2平面几何定理及公式.docx

初等几何选讲复习资料二平面几何定理及公式1过两点有且只有一条直线2两点之间线段最短3同角或等角的补角相等4同角或等角的余角相等5过一点有且只有一条直线和直线垂直6直线外一点与直线上各点连接的全部线段中，垂线段最短7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8假如两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也相互平行9同位角相等，两直线平行10内错角相等，两直线平行11同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13两直线平行，内错角相等14两直线平行，同旁内角互补15定理三角形两边的和大于第三边16推论三角形两边的差小于第三边17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180。18推论1直角三角形的两个锐角互余19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等26斜边、直角边公理(H1.)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28定理2到一个角的两边的距离一样的点，在这个角的平分线上29角的平分线是到角的两边距离相等的全部点的集合30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高相互重合33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34等腰三角形的判定定理假如一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形36推论2有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形37在直角三角形中，假如一个锐角等于30。那么它所对的直角边等于斜边的一半38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的全部点的集合42定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形43定理2假如两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3两个图形关于某直线对称，假如它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理假如两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a人2+b人2=c八247勾股定理的逆定理假如三角形的三边长a、b、C有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360。49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180o51推论随意多边的外角和等于360。52平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线相互平分56平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3对角线相互平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2矩形的对角线相等62矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1菱形的四条边都相等65菱形性质定理2菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(a×b)÷267菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2对角线相互垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且相互垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1关于中心对称的两个图形是全等的72定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理假如两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半1.=(a+b)÷2S=1.xh83(1)比例的根本性质假如a:b=c:d,那么ad=bc假如ad=bc,那么a:b=c:d84(2)合比性质假如ab=cd,那么(a±b)/b=(c±d)/d85(3)等比性质假如ab=cd=.=m/n(b+d+n0),那么(a+c+m)/(b+d+.+n)=a/b86平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88定理假如一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相像91相像三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相像（ASA）92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相像93判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相像fSAS）94判定定理3三边对应成比例，两三角形相像SSS）95定理假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相像96性质定理1相像三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相像比97性质定理2相像三角形周长的比等于相像比98性质定理3相像三角形面积的比等于相像比的平方99随意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，随意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100随意锐角的正切值等于它的余角的余切值，随意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同始终线上的三点确定一个圆。110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧Ill推论1平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧112推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等115推论在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等118推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90。的圆周角所对的弦是直径119推论3假如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形120定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角121直线1.和。相交dvr直线1.和。O相切d=r直线1.和。相离d>r122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径124推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127圆的外切四边形的两组对边的和相等128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129推论假如两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等130相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等131推论假如弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134假如两个圆相切，那么切点肯定在连心线上135两圆外离d>R+r两圆外切d=R+r两圆相交R-r<d<R+r(R>r)两圆内切d=R-r(R>r)两圆内含d<R-r(R>r)136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137定理把圆分成n(n3):依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形138定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆139正n边形的每个内角都等于n-2)×180on140定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形141正n边形的面积Sn=pnrn/2P表示正n边形的周长142正三角形面积3a/4a表示边长143假如在一个顶点四周有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360。，因止匕kx(n-2)180°n=360。化为1n-2)(k-2)=4144弧长计算公式：1.=n兀R/180145扇形面积公式：S扇形=n兀R人2/360=1.R/2146内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r)好用工具:常用数学公式乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b±c)2=a2+b2+c2±2ab±2ac+2bc三角不等式a+ba+ba-ba+bab<=>-baba-ba-b-aaa一元二次方程a2+bX+c=0的解X=-b±(b2-4ac)2a根与系数的关系X+X2="baXlXX2=ca注：韦达定理判别式：b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根b2-4ac>0注：方程有两个不等的实根b2-4ac<0注：方程没有实根，有共利复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBSin(A-B)=SinAcosB-SinBcosAcos(A+B)=CosAcosB-SinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)(l-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)(l+tanAtanB)ctg(A+B)=(CtgActgB-l)(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+l)(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA(l-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a半角公式sin(A2)=(l-cosA)2)sin(A2)=-(l-cosA)2)cos(A2)=(l+cosA)2)cos(A2)=-(l+cosA)2)tan(A2)=(l-cosA)(l+cosA)tan(A2)=-(l-cosA)(l+cosA)ctg(A2)=(l+cosA)(l-cosA)ctg(A2)=-(l+cosA)(l-cosA)和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2SinASinB=COS(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin(A+B)2)cos(A-B)2cosA+cosB=2cos(A+B)2)sin(A-B)2)tanA+tanB=sin(A+B)cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+.+n=n(n+1)/2l+3+5+7+9+ll+13+15+.+(2n-l)=n22+4+6+8+10+12+14+.+(2n)=n(n+l)l2+22+32+43+n2=n(n+l)(2n+1)÷6l3+23+33+43+n3=(l+2+3+4+n)2=n2(n+l)24l×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+.+n(n+l)=n(n+l)(n+2)3正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R注：其中R表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边C的夹角圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：a,b)是圆心坐标圆的一般方程×2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c,*h正棱锥侧面积S=l2c*h,正棱台侧面积S=l2(c+c,)h,圆台侧面积S=l2(c+c,)l=pi(R+r)l球的外表积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=l2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=l2*l*r锥体体积公式V=13*S*H圆锥体体积公式V=l3*pi*r2h斜棱柱体积V=S11.注：其中,S'是直截面面积，1.是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h塞瓦定理在AABC内任取一点0,直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,那么(BDDC)×(CEEA)×(AF/FB)=1梅涅劳斯定理:假如一条直线与AABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AFFB)×(BDDC)×(CE/EA)=1勾股定理：a2+b2=c2圆幕定理(切割线)最开场学的，梅涅劳斯定理，赛瓦定理，托勒密定理，蝴蝶定理，西姆松定理，婆罗摩羯定理，斯德瓦特定理，欧拉线