2百大经典例题——三角函数的图象和性质(新课标).docx

【例I】当a（0,今时，求证Isn+cos>l解：在单位圆中，作出锐角a在正弦线MP,如图2-9所示Va(0.y)MP>0,OM>04MPO中，MP+OM>OP=1即MP+OM>1/.sina+cosa>11例2若sm8>:且8通<；.求的集合解；在声由的正方向上取ON=：,过N作后由的平行线交单位圆于P”P?两点，过P“P2分别作PMj_x轴,PM_1.x轴,垂足分别为M,M3.显然MB=M出=ON=:（如图210）.,.sinl=sin3=.在。,2穴内.B三j三r266适合sm的范固是（2k九+y<<2k11+多，kZ）266同理找出适合cos41的范围是（2k11+-<<2k11+fkZ求交集得（62k兀+;<C+占，kZ）56【说明】学会利用单位圆求解三角函数的一些问题，借助单位圆求解不等式的一般方法是:用边界值定出角的终边位置;依据不等式定出角的范围;在0,2n中找出角的代表；求交集，找单位圆中重叠的部分；写出角的范围的表达式，留意加周期.【例3】求下列函数的定义域：(l)y=V2sm2x÷cosx-1(2)y=Jlog2-IVsmX(3)y=Janxtgxr-1(4)y=JSlnX+/16-xa解：（1）为使函数有意义,需满意2sin2x÷cos-l0即2cos'xcosc1<0解得J<cosx<l由单位圆，如图211所示（2k11.<s<2k11+y,kZ）rl1为使函数有意义,需满足J泡嬴即"nx<5SanX0Slnx0由单位圆，如图2T2所示（xRk11<<2k11栏，kZ）Ux2k11+<N<2k11÷11,kZ【说明】求函数的定义域通常是解不等式组，利用“数形结合”，借助于数轴画线求交集的方法进行.在求解三角函数，特殊是综合性较强的三角函数的定义域，我们同样可以利用“数形结合”，在单位圆中画三角函数线，求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成.Sinx>0(3)为使函数有意义，需满足.,(C12k11<x<(2k+l)112k九+<x<(2k+l)女或2k丸.<x<2k冗即为2k八+g<x<(2k+D冗，kZCJ函数的定义域为(x2k/+*<K(2k+l)九,kZ)(4)为使函数有意义，需满意：SmX>0.2k冗(K2k八+冗kZ162>0-4x4取k=0和T时，得交集为-4Vx-n或0xJi，函数的定义域为(-4,-冗U0,11【说明】求三角函数的定义域要留意三角函数本身的特征和性质，如在转化为不等式或不等式组后要留意三角函数的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要留意三角函数的每一步变形都保持恒等，即不能变更原函数的自变量的取值范围.(2)y=anxcos1+snx+Cosx【例4】求下列函数的值域:(l)y=log1(l-smx)(0<x<y)解;(I)V0x<y.Osnx<l又二函数y=Iog产在O,+8)上是减函数5logl>y>log1l即O<y<li5此函数的值域为yOWyVl令SJnX+Cosx=t,则ItlV1+sinx+cosx0.*.t-l.,sanxcosx=(SInX+cosx)'1D2/-D1y=11-=2而函数y=J(tl)在0,-l)(-l,点上是增函数4.虎+1N贬-1日±1厂<y<且疗JI，此函数的值域为.与1.-1)(-1,与勺【说明】求三角函数的值域，除正确运用必要的变换外，还要留意函数的概念的指导作用，留意利用正、余弦函数的有界性.【例5】推断下列函数的奇偶性：(iX(x)=(2x÷f(x)=sm(cOsC)(3)f(x)=1+anx【分析】先确定函数的定义域，然后依据奇函数成偶函数的定义推断函数的奇偶性.解:函数定义域为R,且f(x)=co2x)=m2x*f(l-)=-sin(-2x)=sin2x=-f(x)函数f(x)=cos(2x+当是奇函数(2)函数的定义域为R,且f(-)=sincos(-)=sin(cosx)=f(x)，函数f(x)=sin(cosx)是偶函数.因l+sinx0,sinx-1,函数的定义域为xxR且x2k11RkZ),由于函数定义域区间关于原点不对称,所以函数丫=善上21+Sinx既不是奇函数，也不是偶函数.例6求下列函数的最小正周期：(l)y=sn(-2x)÷san2x(2)y=cos4x÷sn4x【分析】欲求三角函数的周期，一般是把三角函数f(x)化成易求周期的函数y=Asin(+)÷b或y=Acos(÷)÷b的等形式.函数y=Asin(-rX+竹)+b或y=Acos(SX+9)+b的最小正周期为T=J卷y=A(<x+S)+bs5y=ACtg(3+°)+时最小正周期为T=-.化简的一般思路是“多个化一个，高次化一次”，将所给函数化成单角单函数.解,(1).y=sn(-2x)÷sn2x=2snycos(y-2x)=cos(y-2x)故T=11-2(2) y=cos,x+sin,x=(cos2x+sin2x)2-2sin2xcos2x,】八,l(l-s4x)=1-sinZx=I-T2221cos4x3cos4x=1一+=一+4444,T.2NJ.1.=三21例7求证函数y=ISmxI小。SXI的最小正周期是三证明:7f(x+.=sm(x+/卅COKX+今|=ICosxi+sinxI=f(x)5是函数，y=n÷cosx的周期，下面证明T是这个函数的最小正周期.假设0<T<*是函数y=smxcosx的周期，则对任意xR,sn(x+T)I+cos(x+T)：=ISinX+CoSXl都成立.特殊当X=O时,有IsinTI+cosTI=sinT÷cosT=1.但是当0<T<怖时，SanT+cosT>1与此矛盾，fc<T<g的正数T不存在，所以B是函数y书时比。用的最小正周期.【例8】求下列各函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大值、最小值的X的集合.(l)y=冗-cosx(2)y=cos2x÷cosx+1(3)y=s>nx-V3cosx解：(1)当且仅当COSX=1时，y取得最大值11.1(.1)=11+2使y取得最大值的X的集合为xx=(2kn+l)11,kZ当且仅当COSX=I时，y取得最小值n1(l)=7J使y取得最小值的X的集合为I=2k11,kZ(2)y=COS3X÷cosx+1=(cosx+-)a+-当COSC=.时，即x=2k冗士3，kZ,y取得最小值;234当COSX=1.即x=2k北(kWZ)时、y取得最大值3.(3)y=snx-cosx=2(anxcos-sinycosx)=2sn(xg)当x=2k芯+r(kWZ),y”=26当x=2k九3(kZ),yajh=2【说明】求三角函数的最值的类型与方法：1 .形如y=asinx+b或y=acosx+b,可依据sinx,cosx的有界性来求最值；2 .形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos'x+bcosx+c看成是关于sinx或cosx的二次函数，变为y=a(sinx+m)z+k或y=a(cosx+m)z+k,但要留意它与二次函数求最值的区分,此时ISinXlW1,IcosxI13 .形文小=asnx+b8sx,可化为y=JaNSm(X+)其中,由tg=2确定，则由Ism(X+)|41,可确定盘最值.a【例9】求下列函数的单调区间：(l)y=*sn(x+g)(2)y=sn2x2sinx+2【分析】困难三角函数的单调区间是运用基本函数的单调性及单调区间得出的.增区间应泪y=inxXX2k翼一2k*+22n3m2kn+y#2kx+-O1.W办y88XPkn+*2k÷22kft2k*+n(kZ)尸中nn(k«-k»÷-)z(kZ)yeigZ(kMH)(kZ)醺如泊，版"的醒I侬1标的嬲加.yO11-1图2-13当nk八，k冗)，(kZ)y=snn单剧递增.当nk兀，k穴÷y)(kZ)Jr=Tsinnl单调通喊.Ca.函数丫=相1+9)|的递增区间为k兀-?<÷4<k11424即k11.<x<k114即Z44递减区间为k11<x+<k11+42即k八kZ44(2)函数y=sin2-2sinx+2,是由y=u2-2u+2及u=sinx及复合而成，工Iu【W1X*<inx尸(u4)2+1PkB-.2k»+-22电摩彼«3xPk*+y»2k<+腱.y=n'x2smx+2的递减区间为2k/，2kn+白，kEZ递增区间为2k八+/2k11+1,kZ.【例10当a20,求函数f(x)=(sinx+a)(cosx+a)的最大值、最小值，及相应的X的取值.【分析】本题对f(x)解析式的变换关键在于相识解析式中两项间的内在联系，从而断定f(x)解析式中的平方关系，另外本题含字母系数，要分清常数和变量，还要有对字母a作分类探讨的打算.解：f(x)=(sinx+a)(cosx+a)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2="(snx÷Cosx)2-1+a(snx+cosx)÷a34(snx÷cosx)2+2a(snx+cosx)+2a2-14=(sinx÷cosx÷a)2+a2-14由于a是常数，故这里只要求y=(sinx+cosx+a)的最大值、最小值.合snx+COSX=,则t<M并且y=(t+a)',它的图象是开口向上的.对称轴方程为t=曲抛物线在,虎上的一部分.由a>0,此抛物线的图象如图2-14所示两种可能.，当t=时，y取最大值为（二+a尸若0«衣（如图214），则当t=喧时，y取得最小值O若a、(如图214),则当t=/时，y取得最小值为(a-后)2*外t=&Oanx+cosx=品0Sm(X+彳)=1OX=2k冗+-,kZX5xt=-72Oanx+cosx=-72Osn(x+-)=-1Ox=2k"+,kZ4At=-aox=2k穴±arccos(-)+：,kZ图2-14若OVKy,则当x=2k丸+arccos(/)+：,kCZ时，f(x)的最小值为如1)4若a>心则当x=2k加+彳，kZ时，f(x)的最小值为(a-2)2+a3-1,BP(a-y)3【说明】象本例这种解析式中含字母系数的函数探讨其性质，经常要运用分类探讨的思想，其中为什么要分类，怎么分类和探讨是两个基本问题.【例11】函数f(x)=Asin(3+)的图象如图2T5,试依图指出(l)f(x)的最小正周期；(2)使f(x)=O的X的取值集合；使f(x)<0的X的取值集合；(4)f(x)的单调递增区间和递减区间；(5)求使f(x)取最小值的X的集合；(6)图象的对称轴方程；(7)图象的对称中心.【分析】这是一道依图象读出相应函数性质的典型例题，本身就是数形结合思想的体现，它依据f(x)=Asin(3+)的图象与函数y=sinx的图象的关系得出.*7jrjr解：(l)f(x)的最小正周期是2(?；)=3八注：得出函数f(x)的最小正周期之后，探讨f(x)的其他性质，总是先在包含锐角在内的一个周期中探讨，再延长到整个定义域中.在一个周期内6，y使f(x)=。的X为X=.或X=11故所求的热集合为(XlX=g+3kr,kZ)(xx=11+3k11,kZ)(3)使f()<o的X的集合为(冗+3k11<x<+3k11,kZ)jJT7笊1(4)f(x)的通城区间是每一个匕+3kn，+3k11jkZ.f(x)的递44增区间是每一个卜+3k冗,3k11kZ.447贯(5)使Rx)取最小值的X的取值集合是xx=彳+3k九，kZ)(6)f(x)的图象对称轴有无数条，它们的方程为X=J+桨，kZ42注:事实上f(x)图象的对称轴方程为X=Xo,而其中X。使f(Xo)=I或f(Xo)=T0f(x)图象的对称中，有无数个，它们的坐标为(1+竽，0).kZ.注：f(x)的图象的对称中心为(X。，0),其中X。使f(x0)=0【说明】这种依图读性的问题是提高数形结合实力的重要训练题，其中有两点要留意反思：周期性在探讨中的化简作用，三角函数的“多对一”性.【例12】求如图2T6所示的函数解析式.(3>0,0,211)【分析】由图象确定函数的解析式，就要视察图象的特性，形态位置和所给的条件.通过推断、分析和计算确定A,3、。得到函数的解析式.解；T=2(3(1)三8*=-ZT=7T4'当x=l时，y=OO=3sn(-(-l)+JT笊fiPsn(-)=0/.=E+,kZ取k=0,则B=JO,2H)取k=l,则8=0.2冗但在y=3sm(；x+/)时，当x=0时，y=3sn<0,与图象在X轴上方不符.8=(舍)4,函数的解析式为f(x)=3smgX+：)44【例13】设y=Asin(3+)(A>0,3>0,Vn)最高点D的坐标为(2,企)由最高点运动到相邻的最低点时,曲线与盗交点E的坐标为(6,0),(1)求A、3、的值；(2)求出该函数的频率，初相和单调区间.斛,由已知条件得A=T2%X-=6-2=4T=16又=163=48BPy=Jsin(jx+)O：当x=2时y=J,:Tn(1x2+)=、后即如(?+。)=17+=2k八+，kZ,5Sk=0,则=；424函数的解析式为y=V2sn(x+j)o4(2)频率F=1=,初相为；T164当2k八-y+2k+时，y单调递增故递增区间为16k-6,16k+2,kZ当2kTT+x+2kT+当时，2842y单调递减故递减区间为16k+2,16k+10,kZ【例14】如果Q,与，那么4A. sin0<cos<ctgB. cos<sin<ctgC. sin<ctg<cosD. cos<ctg<sin解一(干脆法)：由三角函数定义，cos。=-,sm=->ctg=-rry*(0)O<y<x<rff-<-<三fHP<cof<ctgrry故选A.解二(图解法)：作出三角函数线，如图2T7MP=sin,OM=cos,BS=Ctg通过视察和度量得MP<OM<BS从而有sin<cos<ctg应选A解三（筛选法），（0,令cos>sin从而可剔除B、D.再由sinVctg,故可剔除C故选A解四（特殊值法）：取6=7,此时qncos=f,sg=#,从而可排除622B、C、D,应选A.【说明】此例题用多种方法求解选项，指出3种选择题的技巧.【例15要得到y=$m（2xg）的图第只要将y=sm2曲图象A.向左平移;B.向右平移;C.向左平移FD向右平移三66解一：由于y=sm(2x)=sn2(x.,所要得到r=sm(c令的图象,需将y=s>112x的图象向右平移6应选D解二：y=sn2x经过点(0,0).y=sm(2x1)则占费i点(，。)这是与36X轴交点中在原点右边最接近原点的交点，而在原点左边与X轴交点中最接近原点的是(=,0)b,只要枷=an2制酶5½巡：个单位，就可得到y=sm(2x马63的图象.选D【说明】y=Asin(+)(A>0,3>0)xWR的图象可由y=sinx的图象经下列各种依次变换得到的.(1)先平移，后伸缩：把y=sinx的图象向左(>0)或向右(V0)沿X轴方向平移II个单位；(相位变换)创嘶有各点触标缩短(>1)或停长(0<<i)到原来的1倍；(周期变换)把全部各点纵坐标伸长(A>l)或缩短(0<A<l)到原来的A倍，横坐标不变(振幅变换)(2)先伸缩，后平移把y=sinx图象上各点的横坐标缩短(3>1)或伸长(0<3<1)到原来的1倍，纵坐标不变(周期变换)觎所得的图象向左(QO)或向右(ZO)沿理(方向平移留个单位,(相位变换)把全部各点纵坐标伸长(A>l)或缩短(O<A<1)到原来的A倍横坐标不变(振幅变换)【例16把函数y=三n(2x+、)的图象上各点向右平移-个单位,J4再把横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的4倍，则所得的图象的解析式是A. y=4sjn(4x-)4xC.y=4cos(2x÷)rB. y=4sn(4x+-)4xD.y=4cos(4x÷)4.解：由y=q11(2x+y)-jy=sn2(x-)+4J即V=sin(2xT)横坐标坐公y=sn(4x1)5到原来的去5姒坐标扩大,.“冗、到原来的4倍J'5，选A.【例17】方程sin2x=sinx在区间(0,2冗)内解的个数是A.1B.2C.3D.4【分析】本题有两类解法(1)求出方程在(0,2n)内的全部解，再数其解的个数.而确定选项，对于选择题，此法一般不用.(2)在同一坐标系中作出函数y=sin2x和y=sinx的图象，如图2-18所示.它们在(0,2n)内交点个数，即为所求方程解的个数，从而应选C.【说明】若先变形方程，sn2x=snxO2atccosc=snxOS1.nX=0或cosx=J,此时再结合图形判断解的个数.对于本题求解更简捷些，它体现了数、形的结合.【例18】设函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(1)=2,则f=解：.f(x)是奇函数，J三1.f(l)=2,f(-1)=-2又f(x)是周期为3的函数.f(3+x)=f(x)f(-1+3)=f(-l)=-2即f(2)=-2f(2+3)=f(2)=-2即f(5)=-2【例19】有一块扇形铁板，半径为R,圆心角为60°,从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，求这个内接矩形的最大面积.(分析】本题入手要解决好两个问题.(1)内接矩形的放置有两种状况，如图2-19所示，应当分别予以处理.(2)求最大值问题这里应构造函数，怎么选择便于以此表达矩形面积的自变量.BBE图解：如图2T9(1)设NFoA=O,则FG=RSino三OEF中与sn(60o6)Rsin120°.rr2Rsn(60o3忑又设矩形EFGH的面积为S,那么S=FGEF=2R?an(603R2cos(2tf-6O0)-cos60。R31-(cos(2-60*)÷-32又：。<0<60°,故当cos(20-60。)=1,即0=30，时,S聚得最大值为持a-$其等34236如图2-19(2),设NFOA=,则EF=2Rsin(30o-),在aOFG中，ZOGF=150°PGR故菽=；BPFC=2M设矩形的面积为S.那么S=EFFG=4MsinOsin(30°-)=2R2cos(2-30o)-cos30o=2Racos(2-3O0)号又.0V0V30°,故当cos(20-30°)=1即=15时,S取最大值为2R1当=Rp-我.,R2>(2)R26因此内接矩形的最大面积为日广