3.1.1直线的倾斜角与斜率教学设计.docx

第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率2课时主备老师：李劲东一、内容及其解析“直线的倾斜角与斜率是人教版数学必修2第三章第一节的内容，是中学解析几何内容的开场。这节课学习的内容是直线在平面直角坐标系下的倾斜角和斜率。其核心内容是直线倾斜角的概念和斜率的求法，理解它的关键是在平面直角坐标系中直线向上的方向与X轴正方向所成的角和角的正切值。之前学生已经学过一次函数的图像和平面中两点可以确定一条直线，这节内容就是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法(解析法)的方式来探讨直线及其几何性质(如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等)的根底。通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，渗透解析几何的根本思想和根本探讨方法。直线的斜率是后继内容绽开的主线，无论是建立直线的方程，还是探讨两条直线的位置关系，以及探讨直线与-次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。二、目标及其解析目标定位：1、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.2、会求出直线的倾斜角和直线的斜率3、驾驭过两点的直线的斜率公式。目标解析：1、正确理解直线的倾斜角是指理解平面直角坐标系中以X轴为基准，直线与X轴相交时，X轴正方向与直线向上的方向的角；理解斜率概念是指直线的斜率就是直线倾斜角的正切值。2、会求出直线倾斜角是指直线的斜率求出其对应倾斜角，会求直线斜率是指知道直线的倾斜角会求出其对应直线的斜率。3、驾驭过两点的直线的斜率公式就是要娴熟应用经过B(Xl,yJ,P2(2,y2)两点的直线的力m斜率公式=(x2)x2-xI三、问题诊断与分析在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是对直线的倾斜角的概念及范围理解时会不糊不清和当直线的倾斜角是钝角时的求值会困难，产生这两个问题的缘由是对倾斜角的概念理解不透彻和没有从定义上仔细正理解和对新公式Ian(180-a)=Tana的运用还不敏捷。要解决这一困难，就要让学生从开场就仔细的从定义上理解倾斜角的概念和多用公式tan(180-a)=-Iana。其中理解倾斜角的关键是理解当直线与X职轴相交时倾斜角的概念是怎么定义的当直线不与X轴相交时又是怎么定义的。理解公式的Ian(180-a)=Tana的关键是多用该阶段只要求学生会用就行。四、教学支持条件分析本节课准备用多媒体进展教学，因为多媒体的教学更简单刻画直线在直线坐标系中的位置，直观明白。是学生更简单理解，并且多媒体教学的课容量大，大大提高了课堂的效率五、教学设计情景引入：初中时我们知道确定一条直线的方法是：两点确定一条直线。我们知道一次函数的图像在直角坐标系中画出来就是一条直线，那么在直角坐标系中除了两点确定一条直线外还有其他的方法吗？这就是我们本节课探讨的主要内容问题一：在平面直角坐标系中怎么定义直线的倾斜角和斜率？（设计意图：以大问题的形式呈现本节课要学的内容然后理解这两个概念。）问题1：在平面直角坐标系中过一点P能确定几条直线？视察并思索这些直线有什么共同点和不同点呢？师生活动1：老师提问，学生动手画直角坐标系并过P作图视察并思索结论：如图，过点P在直角坐标系中可以作出多数条直线。这些直线的主要的共同点是都过点P,不同点是这些直线与X轴的倾斜程度不同由此可以定义直线的倾斜角直线倾斜角的定义：当直线/与戈轴相交时，我们取X轴作为基准，1轴正向与直线/向上方向之间所成的角叫做直线/的倾斜角.并且当直线/与X轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°。如图Q为直线/的倾斜角直线/的倾斜角分别为：锐角、直角、钝角、O角。由直线倾斜角的定义可知：直线倾斜角的范围是Oa<180故理解倾斜角的概念须要留意两点：1 .直线倾斜角的定义包括两局部(I)当直线/与X轴相交时，定义它向上的方向与X轴正方向所成的角叫倾斜角，包括锐角、直角、钝角。(2)当直线与X轴平行或重合时规定倾斜角为()2 .在平面直角坐标系中，一条直线对应唯一的一个倾斜角，倾斜程度一样的直线，倾斜角相等。倾斜程度不同的直线他们的倾斜角不同。故我们用倾斜角刻画直线的倾斜程度。问题2：探究在平面直角坐标系中怎么确定直线的位置.？师生活动：1 .直线过点P能确定直线的位置吗？结论：不能，如图点P的直线可以是多数条因为直线可以随意饶点P转动2 .直线的倾斜角是45时，能确定直线的位置吗？结论：不能，如图因为直线可以平行移动3 .当直线过定点P并它倾斜角是45,能确定直线的位置吗？能确定，直线过定点p,并且倾斜角是45,因此这条直线不能转动和平移了。如图:由此可知：确定直线的方法除了两点可以确定一条直线外还有一点和一个倾斜角例1.如下图，直线/的倾斜角是多少度（A.45B135COD.不存在I变式训练：一条直线在第一象限过一点耽其倾斜角是30,作出这条直线问题二：什么是斜率？（设计意图：提出问题，以大问题的形式引出要学的内容）问题1：日常生活中我们描述人走的快慢、汽车行驶的快慢都是用速率来表示的,也就是用路程与时间的比来表示的；我们又如何刻画山坡的坡面的倾斜程度呢？学生思索并进展探讨学习结论：如图一个山坡的坡度可近似看做一个直角三角形假如我们以前进量所在的直线为X轴，点O为原点建平面直角坐标系，就是直线的倾斜角，也就是说我们可以用倾斜角的正切值来刻画直线的倾斜程度.坡度(比)=上升量/前进量即坡度就是倾斜角的正切值，这个正切值我们称为直线的斜率，因此直线斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角。的正切值叫做这条直线的斜率斜率通常用小写的字母k表示，所以k=tana(a90,a=90正切值不存在)当直线的倾斜角a=45时，斜率k=tan45=1,当a=tanl35时，k=tan135因初中学习锐角正切值的计算，因此可以干脆给出公式当a为锐角时tan(18O-a)=-tana,对于这个公式要求会用就行，后面的学习将会进一步推导，因此tan135=tan(18O-45)=-tan45=1问题2：探究当在0度到90度改变时，斜率是如何改变的？当。在90度到180度范围改变时，倾斜角的改变又如何？下面请同学们计算：当直线斜率是以下角时，直线斜率是多少？a=030、45>60,a=120J35J50由公式可计算得k=tan0=0、k=tan30、k=tan45=I、k=tan60二6k=tanl2()=tan(180-60)=-tan60=->3k=tan135=tan(180-45)=-tan45=-1k=tan15()=tan(18()-3()=-tan3()可以利用计算器计算当。由锐角无限接近90度时k值是向正无穷靠近的并且正值，即当在0度到90度改变时随着倾斜角的增大斜率增大，而当。由钝角无效接近90度时，k值是无限向负无穷靠近的并且为负值。即当a在90度到180度范围改变时，随着倾斜角的增大斜率增大。由此可知：当为锐角时，斜率k=tan0>O当。为钝角时，斜率k=tan<0当Q为直角时，tana不存在，所以斜率k也就不存在当a=0时，斜率k=tan=0反过来当直线的斜率QO时，直线的倾斜角为锐角当直线的斜率k<0时，直线的倾斜角为钝角当直线的斜率k=0时，直线的倾斜角为0度角当直线的斜率k不存在时，直线的倾斜角为直角例2：一条直线与X轴平行，那么这条直线的斜率k的值是OA.0BYC1D不存在变式训练：正三角形ABC在直角坐标系中的位置如下图，求出三条边所在直线的倾斜角和斜率解：因为BC与X轴重合所以BC边所在直线的倾斜角为O故kc=tan=0因为NABC=6()所以AB边所在的直线的倾斜角为6()故ab=tan60=3因为NAe3=6()所以NACX=I2()所以AC边所在的直线多的倾斜角为12()所以ZAC=tan120=tan(120-60)=-tan60=-3问题三：直线上的两点Pl(x,y),P2(X2,y2),且直线P1P2与X轴不垂直，即xX2,直线PiPz的斜率是什么？【设计意图】：让学生“应用斜率等于倾斜角的正切值"这一学问点推导出过两点的直线的斜率公式，同时加深学生对斜率概念的理解。师生活动：以下图中PR的水平距离是多少，垂直距离是多少？怎样表示。的正切？_小结：两点间斜率的计算公式k=上工(X1X2)o例3、A(3,2),B(-4,1),C(0,.-1),求直线AB,BC,CA的斜率，并推断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线，图略)分析：两点坐标，而且xlx2,由斜率公式代入即可求得k的值；而当k=tana<0时，倾斜角是钝角；而当k=tana>0时，倾斜角a是锐角；而当k=tana=0时，倾斜角a是0。.略解：直线AB的斜率1.b=17>0,所以它的倾斜角a是锐角；直线BC的斜率k声-0.5<0,所以它的倾斜角a是钝角；直线CA.的斜率3=10,所以它的倾斜角a是锐角.变式练习：求经过以下两点直线的倾斜角。(1)、A(2,1),B(3,1)；(2)、C2,1),D(2,6)六、课堂小结1、倾斜角的定义及范围定义：当直线/与X轴相交时，我们取X轴作为基准，X轴正向与直线/向上方向之间所成的角叫做直线/的倾斜角.并且当直线/与X轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°。范围是0a<1802、斜率的定义和求法定义：我们把一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率求法：a90时，k=tanaa=90时斜率不存在3、两点间斜率的计算公式女=上(xx2)o七、目标检测(1)在坐标系中，每条直线都有倾斜角(2)在坐标系中，每条直线都有斜率(3) 一条直线与X轴的夹角就是直线的倾斜角(4) 一条直线的倾斜角越大它的斜率越大(5两条直线的倾斜角相等，他们的斜率也相等(6)两条直线的斜率相等，他们的倾斜角相等2.直线的斜率，求它们的倾斜角(1)k=W(2)网=%(3)k=-l八、配餐作业A组1、直线的倾斜角，求直线的斜率：(1)a=Oo；(2=60°；(3)=90°；(4)a=42、假设直线/过(-2,3)和(6,-5)两点，那么直线/的斜率为J顷斜角为3、两点A(X,2)方(3,0),并且直线人8的斜率为，那么户，2B组4、推断正误：直线的倾斜角为Q,那么直线的斜率为tana()直线的斜率值为Ian/，那么它的倾斜角为/()因为全部直线都有倾斜角，故所以直线都有斜率()因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平行于y轴的直线的倾斜角不存在5、直线/经过原点和点(一1,一1),那么它的倾斜角是()6、顺次连结A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点所组成的图形是()7、如图,直线4的倾斜角=30。，直线求心多的斜率8、求证：点A(-2,3),B(7,6),C(4,5)在一条直线上。九：教学反思