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2024一招搞定三视图考题（小A）昌0三高中数学解题研究会群3394*963小A1.（湖北省八校2016届高三第二次联考理数卷第U题），如图，用格线上小正方形的边长为1,襁淮及粗磔画出的是某多面体的三视图，则该多面体夕阳球的表面积为（）dA.SlR至灯，2C.12D.-G如图处外四面体的视图这.个视图勺圮魄氏为27的等股近角：布形,正视图和俯视图中的虚线是三角嚏1.已知某几何体的三视图如图所示，则其体积为.【答案】16或20【解析】三视图对应的直观图有两种，如图所示二、填空摩：本大即共7小题,第9至12戚加小题6分,第13至15题的4分.共36分.9.设集合l(x.r)l(x-l),÷(y-2),IO所表示的区域为4,过原点。的直线/将/1分成的滞分.当这两部分而根相等时.直线/的方程为二；当这两部分Ifti阴之必最大时直线，的力程为此时代线/落在Kfct4内的线段K为.,0若臬几何体的禊图如图所小.财这个几何体中最长的核长等于体根等，r(IOW)ARfrum2ff<A4tt)相信看完了，你一定知道这招是什么了吧？一题弄懂极值点偏移5大套路已知/(x)=ln-gM2X,/77R.若/()有两个极值点不，X2,且玉<%2，求证：X1X2>e2(e为自然对数的底数).解法一：齐次构造通解偏移套路证法1：欲证X1X2>e?,需证Inx1+Inx2>2.若/(%)有两个极值点阳，即函数r()有两个零点又r(6=in-如，所以不，%是方程r()=o的两个不同实根.于是，有lnx1-wx1=0Inx2-mx2=0解得m=m%+lnzX1+X2另一方面，由lnxl-rxx=0(Inx2-mx2=0得InX2Inx=机(x2-Xj,X1+X2于是，百+】门2=(2二1哼)色+0=11+垣InE强-1llH-r口Inx1-InX1Inx+InX2从而可得，1.=-!又0<七工2,设，=上，则，>1.因此,Inx1+Inx2=t>x1/-1要证InF+ln>2,即证：(r+1)lnr>2,即：当，时有hu>生二U.设t-，+1函数7(f)=lnr-,1,贝西，纯+J)匕O=-(：&0,r+1t(r+l)r(r+l)所以，Mr)为(1.+8)上的增函数.注意到，MD=O，因此,W(I)=O.于是，当"1时，有lnr>W三J.所以，有ln+ln.>2成立，x1x2>e2.解法二变换函数能妙解证法2:欲证N/>e?,需证InX+ln>2.若/(x)有两个极值点为，即函数/'(力有两个零点.又fx)=nx-mx,所以，x1,超是方程/'(x)=0的两个不同实根.显然加>0,否则，函数/'(X)为单调函数，不符合题意.=InX+Inx2=m(xl+x2)lnx1-mX=Olnx2-ZTtt2=O2即只需证明m(xi+x2)>2即可.即只需证明x1+x2>.设g(x)=r(x)-/仔-XMXjo-,g'(x)=2，；'”一>0,故g(x)在mm)x(2-mx)0,5,，即g()<g=o,故尸(力<尸(X由于广（力=9ZW=M竺，故r（x）在（0,（占+8卜.设玉<<W，令X=X1,则/'（工2）=/'（玉）</'（_玉），2,即x1÷X2>一原m2/1、(1)2,XIe_,÷00,/'(X)在,+coJ故有工2xItnJ7m)m命题得证.解法三构造函数现实力证法3：由须，超是方程r(%)=o的两个不同实根得机二手，令g()=W,g(x)=g(w),由于g'(x)=号"，因此，g(x)在(1.e)T,(e,+).e2fe2设1<玉<e<，需证明内Z>e2,只需证明再>(0,e),只需证明/()>/,X2X2即,即“七)一/停>0.即/7(x)=x)-/(x(l,e)即(X)="ln?(：_)>o,故(力在(l,e)T/x/xe/2/2故(X)VMe)=O,BP(x)<令X=Xl,则/(8)=/(XI)Vf,因为刈，IX,XJe2e2(e,+),/(x)在(e,+oo)J,所以工2>一，即玉.解法四巧引变量（一）证法4:设/ln(0,l)U=Inx2(1收)，则由器二黑二(J)得t.=netlt.Vr1.八11lkekk小、-21,=>-l=e2,设&=.7<0,则?_-,t=-.欲证中2>e，G=m金t2ex-l2e-l需证Inx+lnw>2.即只需证明a+G>2,即HI+9)MJ>2=(l+e")v2(eJI)=&(l+e>2(ej)v.设()=(l+e*)-2(e*-l)(<0),=芯V0,故g")在(o,0)i,故g")>g<0)=0,故g（八）在(-oo,0)T,因此g(Z)Vg(O)=O,命题得证.解法五巧引变量（二）证法5:设4=ln（0,l）/2=1眸«1收），则由；：二皴之得t.=me'it,it,/八八nlknkInk,»、丁2E,.=>-=e,2,iS-l=(0,1),!S!Jr1="-,t2=-欲证XlX2>e?,需t2=met2t2Gk1k-证Inxl+lux2>2,即只需证明:+>>2,即(A+l)ln%-k->2=*三m三k+k+(人1)2(+1)2>0,故g(%)在(0,1)T,因此g(k)=In"2TO伏O(M),g'(k)=Ktlg(9<g(l)=0,命题得证.一类对称或循环不等式的配方法证明纵观国内外数学奥林匹克中的不等式试题，有不少试题是关于。力,C的对称或轮换对称的不等式，直接利用均值不等式、柯西不等式或者重要不等式有时很难达到目的，而利用它们的对称性，直接利用比较法进行适当的配方，就可以使得问题得到完美的解决。本文从历年的国内外数学奥林匹克试题中精心选择若干优秀试题，进行详细的分析与解答，供参赛选手和数学奥林匹克教练员参考。例I设,b,c是三角形的三边,求证:/(b+c)+(c+一份+c2(+b-c)W3bc.(第6届IMO试题)证法一注意到a3+b3+c33abc=(a+b+c)(a2+b>2+c2-ab-bc-ca),得3abc-a2(b+c-a)+b2(c+ab)+c2(a+b-(?)=a3+b3+cy3abc+a(b2+c22bc)+b(c2+a22ca)+c(a2+b22ab)=(a+h+c)(a2+b2+c2-abbc-ca)+a(b2+c22bc)+b(c2+a22ca)+c(a2+b2-2")=2(a+b+c)(ab)2+(bc)2+(ca)2+a(hc)1+h(c-a)1+c(aZ?)2=(a+bc)(aZ>)2+(h+ca)(bc)2+(+c/?)(c)2.：a,b,c是三角形的三边,+力一c>0,b+ca>0,a+cb>0.而(°一份220c)22o,(c-q)22o,故原不等式成立，当且仅当。斗二。,即ABC是正三角形时等号成立.例2已知a,b,c是正数,证明：(1忘：+磊+焉尺(1963年莫斯科数学奥林匹克试题)(2)念言+磊2史第(第2届世界友谊杯数学竞赛试题)证明:金+磊+焉-12a(a+b)(c+a)+2(a+b)S+c)+2c(+c)(c+a)-3(+,)S+c)(c+4)2(。+力)(b+c)(c+)2(3+/?3+。3)(2b+4匕2+力2c+c2+c2q+c42)2(a+b)(b+c)(c+a)+护一(。2活+2)+护+/(b2c+2c2)+护+/(c2+cq2)2一2,2(a+b)(b+c)(c+a)2(a+b)(b+c)(c+a)(+)(-b)2+s+c)(-c)2+(c+0(c-。)(2)不难证明言+焉+施=m+'+c)(自：+磊+焉)-3+c),利用这个恒等式得到不等式士+磊+急弟檐+磊+扁"喏三例3设X,y,Z是正数，则上"；+、4:20(WJanous猜想)证明设=V=¾>“汉z+xx+yy+z,z+xx+yy+z,z2-2fj2-2则mv=X1.x+y+y+z=zr+-y+y-z=(又m+v=(x2->,2)(-)+(y2-z2)(-)+(z2-2)(-)z八y+zz+x-八z+xx+y八彳+yy+,-y,y-z,入z-½+z)(z÷x)+Gj¼泰丽+(Nf)(X+)，*+Z)(z+x)(z-)2(x+y)(y+z)-U(x+)(.r-y)2(y+z)(y-z)2(y+z)(z+x)+(z+x)(x+y)+所以,“v>0.从而20.Iy2-fz2二y2/-z2z+xx+yy+zx5-2/2z5-z2例4正实数xj,z满足xyz21,证明：三再科再至+酉肃介0.(第46届IMO试题)证明因为冷，z21,所以募寿恐点踞儒?，类似地，可得),5-F2y4-V2(z2+/)z5-z22z4-z2(+),2)y5+z2+x22y4+(z2+x2)2'5÷2+j,224+(x2+y2)2"A2,2_2E>-Z赤、土用2。2a(b+c)2-b(c+)2/c<+b)令用/力二比eg,原不等式化为证明不而y+亦应正+r5而而r2°。(一b)+(-c)b(bc)+b(b。)C(C4)+C(C)、=2u2+(b+c)2+2b2+(c+a)2+2c1+(a+b)2O触如(2抖晨2_2庐+(1)2)200触2)2(甚就聚粉器或0.IIIQ奥林匹克试题)例5设X、y>Z是正实数,求证：(Ay+yz+2x)(+y)2+a+z)2+(z+)力2不(1996年伊朗数学证明不妨设xyz>O,1.l119xy+z(x+y)yz+M-+z)zr+y(z+x)9(孙+)'z+")时+和+罚5=7X+(y+z)2+(z÷x)24XVz_3xy1yz1zx1z>+z4+x÷y2+(x+y)2-4+(>+z)2-4+(z+x)241(1.lV)2(Z-X)2(v-z)2(ay)2G1.Z)2(zx)2zl(y+z)(z+x)+y)(y+z)+(x+)，)(z+x)l4(-+y)2+4(y+)2+4(z+)2jj212121=4f1C>-+z)(z+x)(x+y)xy)2+(x+y)(z+x)(>4-z)21('V1+t(x+y)(y+z)(z+x)2zx,=S2(->t)2+5>,-z)2+¾(z-x)2,其中SZ-(j+z)(z+x)(x+y)2,SX-(+y)(z+x)(y+z)2,Sy(x+y)(j+z)(z+x)2'因为x2y2z>0,所以2+y)2>(+y)2>(y+z)(z+x),即Sz>0.又2(z+x)2-(+y)(y+z)=(2->)+(2-yz)+2z2+3zx>0,所以S>20.若$20,的右端20,不等式得证.若SXVO,因为x2y2z>0,所以?2三20,于是,()，-z)2wg)2(-z)2.人XZ人S4,-z)2+sy(z-)2252(xz)2+Sz。2二"'苛%zx)2.下面证明y2S+fSy20,事实上，y+x2Sy2O0y22(y+z)2(z+x)(x+y)(z+x)2+f2(y+z)(z+x)2-(x+y)S+z)2=(2z+x>f2+3yz2+2xyz+2？+xz2-2zr-3)+2(2>>z2+x2y+3xz2+2xyz+2z3+x2z-2z-/)=2xyz(x1+y22y)+y(x3+y3-x2y-xy1)+y1(2)z+3yz1+2zi+x2r)+x1(2yz2+3x2+z3+x2z)=2xyz(-y)2+x)x+y)(-y)2+(2y2z+3yz2+2z3+xz2)+x2(2yz2+3xz2+z3+x2z)>0,所以,式右端20,所以5.(->,)2+5,>'-z)2+5v(z-X)2>0.综上,不等式得证.例6设0,b,c是一个三角形的三边长,求证b()+c(b-c)+c2(c-)20.并指出等号成立的条件.(第24届IMO试题)证明d1b(ab)+b2c(b-c)+c2a(c-a)=(a+bc)(b+c-ci)(a-Z>)2+(b+ca)(a+cb)(bc)2+(a+c-b)(a+bC)(Ca)220例7已知。力,c>0,证明：等+华+呼2叱吟需瞥3.(2006年罗马尼亚数学C<C/VC4CCvex'C)奥林匹克试题)、下日日+cKaa+b3+/+c2)(4i+.c+c4)'a+b+cabc(a+b+c)_b+cc+a+b(/+/+¢2)(-1+?c+c4).-a+b+cabc(a+b+c)(bc)2(c-a)2(a-b)2(b+c)(bc)2(c+a)(ca)2(a+b)(ab)2becaablbc(a+b+c)ca(a+b+c)ab(a+b+c)J1_(b+c)v>1_(c+a)_>>1_(a+b)_,.2TbCbc(a+b+cC)caca(a+b+cc")Iabab(a+b+c)a)一项&Hc)(c)%Csz的(1.4+说+b+c)3f)22o.例8在44BC中,证明:/一1)+师一1)+组一1)20.(2006年摩尔多瓦数学奥林匹克试题)证明不等式两边同时乘以2必c,不等式化为证明2a3b(bc)+2b3c(c-a)+2ca(a-b)0.2a,b(bc)+2b3c(c)+2c3(b)=a3b+c)+(b-c)(bc)+b3(c+a)+(c-a)(c-a)+c3(a+b)+(ab)(a-b)=-S-c)2+b3(c-a)2+？(-b)2+ab2-)+(c2-a2)+c3(a2-b2)=/(6。2+护(c-4)2+(-b)2+2(-)+庐(/-/)+a护一/)=a3(bc)2+bi(c-a)2+c3(a-b)2+a2(c-b)3+3cb(c-b)+b2(a-c)3+3ca(c-a)+c2(b3a3)+3ba(b-a)=a3(bc)2+3(c-)2+c3(b?a2(b-c)3(c0"c2(Z?)3+3abca(cb)+bca)+c(ba)=Q(bc)2+(ca)2+c3(ab?-a2(h-c)i-b2(c-df,c2(-b"=a2(befye+a-b)+b2(c-afya+bc)+c2(a-bfyb+c-a).在aABC中，c+a-b,a+b-c,b+c-a都是正数,而(8一c)220,(ca)220,(°一份220,所以不等式得证.例9在AABC中,b,c是它的三条边,是半周长,证明不等式:2p.(2006年摩尔多瓦数学奥林匹(p-c)(p-a)-(p-a)(p-E)ca+岫克试题)证明令户p-,y=p-b,Z=P-C,贝Ua=y+z,b=z+xyc=x+y.一(p-b)(p-c)一(p-c)(p-a)一(p-a)(p-b)/be+bca+一不°G'+z#+(z+x)y募j+(x+y裾磊焉2x+y+z°2皿/鬲W2(z+6几京二+2(x+yN瀛焉22(x+y+Z)(x+y+z)(-y)2(X+y÷z)(y-z)2(X+y+Z)(Zx)?=(+z)(z+x)+(z+x)(x+y)+(x+y)(y+z).+华)2”z;_h32z+x)(x+y)(z(+z)+j(+y)2(x+华)2(_+(x+y+z)2(-y)2(x+y)(y+z)(z(j+z)÷x(x+y)2+(%+>，)(y+z)(z+x)(x(x+z)+Xy+z)2T而1口口Q+y+z)(-y)2>(x+y+z)?”历>-U÷y÷z)U÷,y)(>t+z)(z+x)4)(y+z)(z+x)x(x+z)-y(y+z)')2/NX(X+z)sy(y+z)2ONnX+z)+y()Hz)22(+y+z)(x+y)2也(x+z)y(y+z)22r),.因为Z是正数,这是显然的.同理可证其余两个不等式.于是不等式成立.例10已知。力,c>0,且HC=1,证明：%/4一焉二22(3+东+%何乐r.(2()04年匈牙利数学奥林匹克试题)证明因为混=1，所以%任一康22(+*+1户枭等价于I1I3一I1.abc/1.Z一诉2(7+/+图西百7注意到(苏+)-(a2b+ab2)=(a2-b2)(a-b)=(a+b)(a-b?有Jc1-Jp+143I1_1abca+b+ca2+b2+c22+b2+c1(4+2+c)(4b+bc+c4)-34。(。2+护+/)(dr+b2d+cr)(+b+c)abc(a+b+c)(cr+b2+c2)(6+82+b2c+bc2+c2+c2)(2+b2+c2)(/川+加/+/+"。abc(a+b+c)(a2+b2+c1)(4%+4)(东尼+层护)+s%+hc4)一(护c2+c3)+(44c+c4)(加/+。?)abc(a+b+c)(cr+b2+c2)"(+/)二(苏>从)+ICK护+¢3)二("。+力c2)+c(03+c3)二(c+ac2)abc(a+b+c)(a2+b2+c1)20.所以,原不等式成立.ab(a+b)(a4产+力匕+。)一。)2+怎(。+)(。一。)2abc(a+b+c)(a2+b2+c2)例11已知XJ,z1,2,证明：+y+z)(%1)26(W+±+亲).(2006年越南数学奥林匹克AZ)"rZZJ试题)证明不妨设22x2y2z21,E3111C(_一)¥(y-z)2(Z-X)2因为(x+y+z)、+?9七一+又因为自心+亲1（X落）+（K京）+（X黑）lIiXVZ所W(W)(-÷-÷)-6(-)一(到(y+z)(z+x)(')+0z(X+y)(z+x)。Z)+(y+z)(+j)z工)，。<>z(x+y)(zi+zx+zy2xy)(xy)2+x(y+z)(x2+xy+xz2yz)(yz)2+Xz+x)(>,2+yz+yx_2zx)(zx)2=SXx-y)2+S(yz)2÷Sv<z-x)20.由224，丁2221,易知。+.丫)(2+工)-3户22y223户>0,所以S>O,又品20台(y+z)(x+y)-3zx20<=>xy+yz+y2-2zr2O.由22x2y2z21,易知,y+z222x,所以My+z)2zx,xy2zx,相加得.所以S、，20.如果820,则式右边20,不等式得证.如果SZV0,则(工一y)2=(x-z)-(y-z)2=(zx)2+(yz)22(xz)(y-z),j)2+S.t(jz)2+Sv(z-)2=(Sv+S-)(z-x)2+(Sx÷Sr)(jj-2)2-2S-z)(>,-z)2(Sy+SJ(zx)2+(Sx+SJ(y-z)2.下面证明冬+S=20,Sx+SO.Sx+S二=Xu+z)(f+xy+xz2yz)+z(x+y)(z2+zx+zy-2xy)2z(x+y)(x2+xy+xz-2yz)+(z2+zr+zy-2xy)=z(x+y)(x+2z)(x-y)+2220,Sy+S=yf(z+x)(y2+yz+y-2zx)+z(x+yf)(z1+zx+zy-2xy)2z(x+y)()2+yz+yx2zx)+(z1+zx+zy-2xy)=z(x+y)xy+(y+z-x)(,y+z)0,所以SHVo时,不等式也成立.于是,只要x,y,zl,2,就有(x+y+z)d+；+326(;+W+泉),y1.)/丁人J