3.1从算式到方程(提高)知识讲解.docx

从算式到方程（提高）学问讲解撰稿：孙景艳审稿：赵炜【学习目标】1 .正确理解方程的概念，并驾驭方程、等式及算式的区分与联系；2 .正确理解一元一次方程的概念，并会推断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；3 .理解并驾驭等式的两个基本性质.【要点梳理】【高清课堂：从算式到方程一、方程的有关概念】要点一、方程的有关概念1 .定义：含有未知数的等式叫做方程.要点诠释：推断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数.2 .方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.要点诠释：推断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：.它（或它们）是方程中未知数的值；将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是.3_.解方程：求方程的解的过程叫做解方程.4.方程的两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必需含有字母（或未知数）.【高清课堂：从算式到方程二、一元一次方程的有关概念】要点二、一元一次方程的有关概念定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1,这样的方程叫做一元一次方程.要点诠释：（1） “元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满意条件：首先是一个方程;其次是必需只含有一个未知数;未知数的指数是1;分母中不含有未知数.（2） 一元一次方程的标准形式是：ax+b=O（其中aWO,a,b是已知数）.（3） 一元一次方程的最简形式是：ax=b（其中a#0,a,b是已知数）.【高清课堂：从算式到方程三、解方程的依据一等式的性质】要点三、等式的性质1 .等式的概念：用符号来表示相等关系的式子叫做等式.2 .等式的性质：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：假如那么±c=b±c（C为一个数或一个式子）.等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：假如=6,那么M=加；假如=b（cw）,那么2=2.cc要点诠释：（1）依据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必需同时进行完全相同的变形；（2）等式性质1中，强调的是整式，假如在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不肯定成立，如x=0中，两边加上工得x+4=，这个等式不成立；XXX(3)等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零.【典型例题】类型一、方程的概念Cl.下列各式，哪些是等式？哪些是方程？83a+4；x+2y=8;5-3=2；®x一一=2；y=10;一一=3；©3y2+y=0；XX 2a，3a2： 3aV-2a.【答案与解析】解：等式有：,；方程有：.【总结升华】方程是含有未知数的等式，方程和等式的关系是从属关系，且具有不行逆性，方程肯定是等式，但等式不肯定是方程，区分在于是否,含有未知数.2.下列各方程后面括号里的数都是方程的解的是()./、5x+l.、A.2-l=3(2,-1)B.=X-I(3,-3)8C.(-l)(-2)=0(1,2)D.2(y-2)-l=5(5,4)【答案】C.【解析】把方程后面括号里的数分别代入方程的左、右两边，使左边=右边的是方程的解，若左边W右边的，则不是方程的解.【总结升华】检验一个数是否为方程的解，只要把这个值分别代入方程的左边和右边：若代入后使左边和右边的值相等，则这个数是方程的解；若代入后使方程左右两边的值不相等，则这个数不是方程的解.举一反三：【变式】(2011广东湛江)若X=2是关于X的方程2x+3W-I=O的解，则用的值为【答案】-1.类型二、一元一次方程的相关概念3.已知下列方程：f+i=o；x=0；,+x=3;x+y=O;=6x-2；X30.2x=4；2x+l-3=2(xT).其中一元一次方程的个数是().A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】方程中未知数X的最高次数是2,所以不是一元一次方程；方程中的分母含有未知数X,所以它也不是；方程中含有两个未知数，所以也不是一元一次方程；经化简后为-2=-2,故它也不是一元一次方程；方程满意一元一次方程的条件，所以是一元一次方程.【总结升华】方程中的未知数叫做元，只含有一个未知数称为“一元”，“次”是指含有未知数的项中次数最高项的次数，推断一个方程是不是一元一次方程，看它是否具备三个条件：只含有一个未知数；经过整理未知数的最高次数是1；含未知数的代数式必需是整式(即整式方程).举一反三：【变式】(1)已知关于X的一元一次方程1.dg2=0,求得m=.5(2)己知方程(m-4)x+2=2009是关于X的一元一次方程，则m的取值范围是.(3)若(m一2)H=5是关于X的一元一次方程，则m的值为()A.±2B.-2C.2D.4【答案】(1)机二一！(2)m4(3)B3类型三、等式的性质Ch.用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明依据等式的哪条性质，以及怎样变形得到的.(1)若4a=8a-5,则4a+=8a.(2)若-6x=-,则X=.31-3y=l-3y,则;+l=.(4)ax+by=-c,则ax=-C.【答案与解析】解：(1)5；依据等式性质1,等式两边同时加上5.(2)依据等式性质2,等式两边同时除以-6.18(3) 2；依据等式性质1,等式两边都加上(l+3y).(4) -by；依据等式性质1,等式两边都加上-by.【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再依据等式的性质，对另一边也进行同样的变形.举一反三：【变式】下面方程变形中，错在哪里：(1)由2+x=-4,得x=-4+2.9(2)由9x=-4,得X=一一.4(3)由5=x-3,得x=-3-5.324x+1(4)由士上二1一士匚三,得3-2=5-4x+l.55(5)方程2x=2y两边都减去x+y,得2-(x+y)=2y(x+y),即-y=-(-y).方程x-y=-(x-y)两边都除以x-y,得I=1.(6)由己二=+2x,得3(3-7x)=2(2x+l)+2x.23【答案】(1)不正确.错在数2从方程的等号左边移到右边时没有变号.(2)不正确，错在被除数与除数颠倒(或分子与分母颠倒了).(3)不正确，错在移项或等号两边的项对调时把符号弄错，正确的变形是：由5=x-3,得5+3=x,即x=5+3.4+1(4)不正确，没有留意到分数士一中的“分数线”也起着括号的作用，因此当方程两边5的各项都乘以5时，+1没有变号.(5)不正确，错在其次步，方程两边都除以x-y,由等式性质2要除以不为零的数.(6)不正确，错在2x没乘以公分母6.类型四、等式或方程的应用C5.(2011河北模拟)视察下面的点阵图形(如图所示)和与之相对应的等式，探究其中的规律：(1)请你在和后面的横线上分别写,出相对应的等式.14×0+1三4×1-3；(2)通过猜想，写出与第n个图形相对应的等式.【答案与解析】解：通过视察图像可得：图形呈放射状，四条线上每改变一次各增加一个点，第n个图形每条线上应当是n个点：再视察对应的等式：等式的左右两边都是表示对应图形中点的个数,等式的左边是从1个点起先的，第2个图形增加4个点表示为4X1+1,第3个图形又增加4个点，表示为4X2+1,，第n个图形共增加(nT)个4个点，表示为4(nT)+l;等式的右边，把第一个图形看作4点重合为一个点，表示为4X1-3,第2个图形增加4个点，表示为4X2-3,第3个图形又增加4个点，表示为4X3-3,，第n个图形看作n个4个点少3个点，表示为4n-3,所以有4(n-1)+1=4n-3.(1) 4X3+1=4X4-34X4+1=4×5-3(2)4(n-l)+l=4n-3【总结升华】设出未知量并用此未知量表示出题中的数量关系.举一反三：【变式】(2011山东滨州)某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为X,则下面所列方程中正确的是()A.289(1-%)2=256B.256(1-x)2=289C.289(1-2x)=256D.256(1-2x)=289【答案】A