导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳.docx

导教习题题型十七：合多藏导致河题的分类讨论问题含参数导数问题的分类甘论问题1.求导后，导函数的解析式具有参数，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式)，导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。已知函数f(x)=g3-g(+2)2+20r(a0),求函数的单调区间,(x)=x-(a+2)X+2a=(x-a)(x-2) 例1已知函数/(幻=X-二-(+2)lnx(a0)求函数的单调区间X,X2-(a+2)x+2a_(x-2)(x-a)J=2-xixi 例3已知函数f(X)="J1(eR),其中qR.(I)当4=1时，求曲线y=(力在点(2,7(2)处H勺切线方程；(II)当。工0时，求函数/(x)H勺单调区间与极值。解：(I)当Q=I时，曲线y=(x)在点(2J(2)处的切线方程为6x+25y32=0。(II)由于0,因此/'()=2"j+iy2,由/(x)=0,得七=一,为=。这两个实根都在定卜+1Ja,z、2«(x2+l)-2x(2or-6/2+l)-2a()卜+：/X)=5二-=-义域R内，但不知它们之间卜由)(XM)三大小。因此，需对参数日勺取值分。0和lv两种状况进行讨论。当10时，则药冗2。易得F(X)在区间(一8,(,+8)内为减函数，在区间卜J,)为增函数。故函数力在百二一：处获得极小值/1)=-/；函数/(x)在毛=4处获得极大值/()=1。(1)当。0时，则不赴。易得“X)在区间(一8，。)，(一+8)内为增函数，在区间3-十)为减函数。故函数“X)在=-：处获得极小值函数"X)在%=0处获得极大值/（）=1。以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的次序对参数进行讨论。因此，对含参数的导数问题H勺讨论，还是有一定H勺规律可循的。当然，在详细解题中，也许要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂某些了，需要灵活把握。（区间确定零点不确定的典例）例4某分企业经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总企业交a元（3WaW5）的管理费，估计当每件产品的售价为X元（9xll）时，一年的销售量为（12-）2万件.（1）求分企业一年的利润1.（万元）与每件产品的售价X於I函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分企业一年日勺利润1.最大，并求出1.的最大值Q（八）.解（1）分企业一年的利润1.（万元）与售价X的函数关系式为：1.=（-3-a）（12-）2,x9,11.(2)1.,(x)=(12-)-2(-3-a)(12-)93<y,=(12-)(18+2a-3x).令1.'=O得x=6+2a或x=12(不合题意，舍去).3V3a5,86+-a-.33在x=6+2a两侧1.'B值由正变负.3因此当86+-a<9即3a<2时，32UX=1.(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).当96+-a-W-a5时，9(6-a),4(3-1a)3.9-a5.23321.nex=1.(6+-a)=(6+-a-3-a)12-(6+-a)2=4(3-la)3.01tQ（八）=3333答若3Wa<T'则当每件售价为9元时,分企业一年的利润1.最大,最大值Q（八）二9（6,）（万元）；若3aW5,则当每件售价为（6+当元时，分企业一年日勺利润1.最大，最大值Q（八）=4驯"万元）.（导函数零点确定，但区间端点不确定引起讨论的典例）例2、已知/(x)=xlnx,g(x)=丁+ar?一+2(1) .求函数f(x)附单调区间；(11).求函数/(x)在卜"+2p>0)上的最小值;(III)对一切的X(0,-R3),2(x)g'(x)+2恒成立,求实数a的取值范围.解：(I)f(X)=InX+l,(x)<0,解彳0<xv1.(j勺单调递减区间是(0,口;eIe)4/(%)>0,解得冗，“幻的单调递增是(e,+8),(II)(i)0<t<t+2<-,t无解；(ii)0<t<-<t+2,即0<t<时，/(x)min=/(一)=-；eeeee(iii)-r<+2,即r,时，/(x)在rJ+2单调递增，/(x)min=/(0=tint9分ee1 o<<-,/(x)min"e，'tintte(III)由题意：2xlnx<3%2+2ax1+2在x(,+s)上恒成立，即2xlnx32+2ax+1可得“lnx3工一-(分离参数)，设MX)=InX在一口-，22xv722x则的-3+3=-(1+1)X22x2x212分令人(x)=0,得X=l,x=(舍)当OVXVl时，(X)>0；当>1时，h(x)<0.当x=1时，MX)获得最大值，MX)max=-213分.4-2.二.求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式)，但不知导函数为零的实根与否落在定义域内，从而引起讨论。(用导数处理函数问题若求导后研窕函数日勺导数问题时能转化为研究二次函数问题时，二次项的系数含参数按系数不小于零、等于零、不不小于零分类；再按在二次项的系数不等于零时对鉴别式按>()、=()、<0;在>()时，求导函数的零点再根据零点与否在在定义域内进行套论，若零点含参数在对零点之间的大小进行讨论。) 1已知函数=x3-x2+(l-)x,求函数的单调区间f,(x)=x2-x+(l-d)=(l-x)(ar-l+d) 例2已知函数f(x)=(l+)lnx+罗(a>0),求函数的单调区间m、OX2-X+(l-)(X-1)(X-I÷6f)J(X)=XX 例3已知是实数，函数f(x)=J7(x-)(I)求函数/(x)的单调区间；(II)设g()为F(X)在区间0,2上的最小值。(Z)写出g()H体现式;(")求。的取值范围，使得-6g(4)-2。/吟31X解：(I)函数的定义域为0,E),f()=7+号=上%>0),由F(X)=O2x2x2得X=。考虑与否落在导函数/(x)三定义域(0,+8)内，需对参数。时取值分0及。>0两种状况进行讨论。(1)当0时，则f(x)>O在(0,+8)上恒成立，因此f(x)的单调递增区间为0,+8)。(2) 当>0时，由/(x)>0,得x>由/(x)<0,得0<x<°因此，当>0时，/(力的单调递减区间为,/(力的单调递增区间为早+)(II)(/)由第(I)问三结论可知：(1) 当a0时，"6在0,”)上单调递增，从而“X)在0,2上单调递增，因此g()="0)=0°(2) 当>0时，/(x)在0,1上单调递减，在早+8)上单调递增，因此：当(0,2),即0v<6时，力在上单调递减，在1,2上单调递增，因此g()=“卜TA=一喈。当12,+8),即16时，/(x)在0,2上单调递减，因此g（八）=(2)=J(2-a).O,综上所述，g()='2aaJ,0<a<63V3V(2-q)m6(zf)令-6g()2若0,无解;若O<V6,由一6-2解得3<6;若白6,由一60(2-4)-2解得6a2+3°综上所述，4的取值范围为32+3j5.三.求导后，因导函数为零与否有实根(或导函数0分子能否分解因式)不确定，而引起的讨论。例1已知函数F(X)=T2+X求函数的单调区间f,(x)ax+l例2已知函数f(x)=lnx-以求函数的单调区间fx)-af,(x)=-a+1XX,x<1例3设&R,函数/(x)="1-:,F(x)=f(x)-kx,x三Rf-Jx-I,X1试讨论函数F(X)H勺单调性。,x<1解：*/f(x)='1-x,F(x)=f(x)-kx,x三R-Jx-l,X111KXiX<,F(x)=f(x)-kx=H-x,F(x)=<-JX-I-kx,x(71÷2kJx11,X>12,<Jx-考虑导函数F'(X)=O与否有实根，从而需要对参数R的取值进行讨论。(一)若XVl,则FG)=(1T)2(I)2。由于当&0时，/'(x)=O无实根，而当我0时，F1(X)=O有实根,因此,对参数欠分40和ZO两种状况讨论。(1)(2)当上0时，F,(x)=(IT2-k(-x。一,由于&0,因此王1。由Fa)=0,得用当A0时，尸(x)0在(-8,1)上恒成立，因此函数尸(X)在(一,1)上为增函数;由/'(x)>O,得1<X<1；由尸'(v)v,得因此，当A0时，函数尸(X)在(上为减函数，在(1一天,1)上为增函数。(二)若xl,则/(x)=-l+2fG,由于当A0时，FQ:)=0无实根，而当欠VO时,2-1尸(X)=O有实根，因此，对参数A分0和ZvO两种状况讨论。(1)当k0时，/Vo在口,”)上恒成立，因此函数F*)在1,-8)上为减函数;当。时,尸=-若1-kIy-l+二I2ky-由R'()>0,得R>l+'y;由F'(x)V,得l<Xl+'y。4K4K因此，当女0时，函数F*)在1,1+T4%11.上为减函数，在IH§,+8上为增函数。_4*J综上所述:(1) 当人0时，函数尸(X)在(-8,1-2)上为减函数，在(1一场)上为增函数，在1.+X)上为减函数。(2) 当A=O时，函数尸(X)在(一oo,l)上为增函数，在1,+oo)上为减函数。(3)当AvO时，函数r(x)在(一8,1)上为增函数，在1,1+3)上为减函数，在l+3,+oo4公)1.4k上为增函数。19.设a>0,讨论函数f(x)=lnx+a(l-a)x2-2(l-a)X的单调性。.,J.M1.JI、i_。、/，/、2(lc)x2(1d)x÷1解：函数/(X)的定义域为(0,+8).f(X)=X当01时,方程2a(a)x?-2(1-)x+1=0的鉴别式=12(a-1)当OCaCg时,>(),/'*)有两个零点,J叵更亘>0,“1.旦亘2a2a(-d)2a2(l-a)(1)1a3且当0<x<石或X>电时,/'(X)>0,/'(X)在(0,%)与(电,+0°)内为增函数;当XI<工工2时，/'(幻<°，/(冗)在(工1，2)内为减函数;当;<1时,0J'(x)0,所以(外在(0,+00)内为增函数;当=1时,/。)=工>0(R>0),/(X)在(0,+oo)内为增函数；X当a>时>(),1(3-l)(-l)1(3-l)(-l)x=+2a2a(-a)2a2a(-a)由jJ_y(tf-l)(3tf-l)f1_(347)(aT)13a-1I2a(-a)4a24a2(l-a)24a2+4a2(l-a)I-a+3a-l2a_5=-5<4a(-a)4a(-a)1(3fl-l)(-1)0._1+J(3-l)(-l)(.Ia2a(-a)12a2a(l-a)因此在定义域(0,+8)内有唯一零点X1,且当Ovx<时,/'(x)>0,/Cr)在(0,不)内为增函数；当X>玉时，/'0)v,'(x)在(%,÷)内为减函数。/(x)B单调区间如下表：0<a<-3-a<3a>(0,内)(x1,x2)(x2÷z°)(O,+00)Ox)(,y)1(-l)(3a-l)1J(f(3a7)、2a2a(i-a)"2a2a(-a)因函数的零点的个数不确定而引起的讨论。例.已知函数f(x)=lnX,g(x)=J2+。(a为常数)，若直线/与y=f()和y=g()的|图象都相切，且/与y=f(x)2口勺图象相切于定点P(1,f(I).(1)求直线/的方程及a的值；(2)当kR时，讨论有关X的方程NX?+。-g(x)=k的实数解的个数.解：(1)Vf,(x)=-,f(1)=1.k=l,又切点为P(1,f(1),即(1,O),1三¾解析式为y=xT,X"y=x-lTl与y=g(x)相切，由1尸,12+。，消去丫得/一2乂+2+2=0,，二(-2)2-4(22+2)=0,得a二1.22II(2)令h(x)=f(x2+l)-g(x)=In(x2+l)-r2÷-22Vhz(X)=T_x=_"T)(：+l),则<-l或OVXVl时，MX)>OM(X)为增区数,TVxVO或x>时，“故x=±l时，h(x)取极大值ln2,X=O时，h(x)取极小值一。2因此当k(In2,+8),原方程一解；当k=ln2时，原方程有两解；当1.VkVln2时，原方程有四解;2当k=1.时，原方程有三解；当kv'时，原方程有两解225.求参数的范围时由于不能分离出参数而引起的对参数进行的讨论例1：(此为不能分离出参数a的例题)B(x)=x3-60x2+9(R).当。0时，若对Vx0,3有/*)4恒成立，求实数。的取值范围.解：由于f(x)=x3-6ax2+9a2x,x3-6ax2+9a2-4O因此f'(x)=32T2ax+9a?=(3-3a)(x3a),在(一8M)上r(6>0/(x)是增函数，在(,3a)上,(x)<0/(x)是减函数，在(3,口)上,(x)>0(x)是增函数。因此函数在x=a时，/(x)极大=/()，因此函数在x=a时，/(x)极小=(3)因对WX0,3有/(x)4恒成立，求实数。的取值范围.极值点指定区间端点位置关系不确定引起讨论。讨论如下：当两个极值点都在指定区间0,3内时。即0<3a<3,也就是O<a<l时，(当a>0时为何分为0<a<3,与a23两类。要讲清晰)在(OM)上(>0/3是增函数，在(,3)上,(x)<0/(x)是减函数，在(3a,)上/'(x)>Of(X)是增函数。因此函数在x=a时，/(x)-=f（八）,因此函数在x=a时，/(%)极小=/(3。)m,=三M(3)向南x0,3有/*)4恒成立，O<la3-6a3+9a3-4O27-54z+21a2-401.-即0<aWl等价于解得0<a</(tz)-40/(3)-4O0<aa<12石/c2石1Ih99当两个极值点有一种在指定区间0,3内时。即0<aW3,且3a>3时，也就是kaW3时，(当a>0时为何分为0<a<3,与a23两类。要讲清晰)在(OM)上M)>0(x)是增函数，在(,3上r(x)<03是臧函数，因此函数在x=a时，f(x)极大=/(),/Mmax=/W/Wmin=min(/()WX0,3有/(x)4恒成立，等价于解得1<41+等当两个极值点都不在在指定区间0,3内时。即a3时，(当a>0时为何分为0<a<3,与a>3两类。要讲清晰)在0,3上Q)>0(x)是增函数，F(X)11w=/(3)=4/_4>1084>O与/(x)-40矛盾。综上：对Dx0,3有/(x)4恒成立时，实数。的取值范围是O<l+罟.例4设函数/(x)=Y+z7n(+l),其中bw,求函数x)的极值点。解：由题意可得/(x)三定义域为(一1,中功，f(力=2x+*=2厂：；+1,f(x)三分母x+1在定义域(一1,+8)上恒为正，方程2d+2x+8=0与否有实根，需要对参数人的取值进行讨论。(1)当=4一助O,即b'时，方程22+2x+b=0无实根或只有唯一根X=-1.,因此22g(x)=22+2x+80,在(一1,一)上恒成立，则f(x)0在(Too)上恒成立，因此函数力在(T+o。)上单调递增，从而函数/(x)在(T+8)上无极值点。(2)当A=4助>0,即6<g时，方程2/+2尤+8=0,即f(x)=0有两个不相等的实根：-1-1-2Z?-1+1-2Z?x=2，x2=2,这两个根与否都在定义域(一1,+8)内呢？又需要对参数6的取值分状况作如下讨论：.1Jl2b1+Jl2bz、z、(1)当<0时，1=<-l,x2=>-1,因此与一l,+oo),Wc(-l,+)。此时，f(力与x)随X的变化状况如下表：X(TX2)X2(2,+oo)/(x)O+/递减极小值递增由此表可知：当力<0时，f(x)有唯一极小值点X2=士正至<”)当时'寸土”>T,x2=上手至>一1因此X1(-l,+),(-l,+)o此时，F(X)与/(x)随X11变化状况如下表：X(TXI)(为X2(与，+00)/3+00+递增极大值递减极小值递增由此表可知：当0<匕<,时，f(x)有一种极大值点芯二土"二丝和一种极小值点22-1+1-2Z?X)=O-2综上所述：(1)当<O时，/(x)有唯一极小值点X=I,；(2)当O<b<g时，/(x)有一种极大值点x=-g22和一种极小值点X=J+；(3)当b;时，/(x)无极值点。从以上诸例不难看出，在对含参数的导数问题的讨论时，只要把握以上三个基本讨论点，那么讨论就有了方向和切入点，虽然问题较为复杂，讨论起来也会得心应手、层次分明，从而使问题迎刃而解。(19) (I)小问5分，(11)小问7分.)己知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,bR),g(x)=/(x)+f'(x)是奇函数.(I)求/*)的体现式；(11)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值和最小值.解：(1)由题意相广(吗=3«?+筋+6因此=(x)+,(*)=x,÷(3÷l)÷(5÷2)x+6.因为函数或石)是奇函数,所以g(-x)-8(%).即对任意实数人书a(-x)1÷(3a1)(-»)1(6÷2)(-x)6三-(x1+(30l)x,*(b+2)x从而%+I=O/nO,M-y,6=0,Wft(x)AKG.-1÷,(11)山(1)知4()=-f'2x所以/U)=-+2.令Sy)=0,解得航二-0，XJ=G,则当X<-或X>。时/()<O,从而4(")在区间(-8t.g8)上是减函数;当-显。("时G>>0,从而或外在区间-6.Ji上处均函数.由前面讨论知©在区间1,2上的最大值与最小值只能在X=1,6,2时取得，TO(>三T.(f)，子.式2)三4因此4«)在区间1,2)上的最大做为*(。)9最小值为4(2).-c(21)已知函数/(x)=InR-ar+l(aR)X(I)当。二一1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程；(II)当J时，讨论/*)的单调性.224-X2解：(I)当。=一1时，/(x)=InX+X+l,x(0,+),因此/'(x)=,x(O,+)XX因此，f(2)=1,即曲线y=F(X)在点(2,/(2)处的切线斜率为1,.又/(2)=In2+2,因此y=(x)在点(2,/)处的切线方程为1.(In2+2)=/-2,曲线即X-y+In2=0./j-tCl.EHtz、141ClXX+Cl(II)由于f(x)=nx-ax+1,因此f(x)=a+=；XXXXX(0,+),令(?(x)=ax2-x+-a,x三(0,+),(1)当=OH寸,ZZ(X)=X÷l,x(O,÷oo)因此，当x(OJ)时,(幻>0,止匕时f'(x)<O,函数/*)单调递减；当x(l,+)时，h(x)<O,此时尸(X)>(),函数f(x)单调递(2)当OH寸，由f'(x)=O即r2-+i-=o,解得X=I,%=4一1a当=一时，%=%,Jz(x)O恒成立，2此时(X)0,函数/(幻在(0,+8)上单调递减;当OCae1.时2a尤t(0,1)时，hx>0,此时f(x)V0,函数单调递减；X(1,1.1)时，2()<0,止匕时/(%)>0,函数单调递增；a工(,-1,+0。)时,/1*)>0,此时/'(X)VO,函数/(X)单调递减；a当<0时，由于1.-IcOa%(0,1)时，z(x)>0,此时f'(x)<O,函数/(x)单调递减；x(l,+),h(x)<O,此时/'(x)>0,函数/")单调递增。综上所述：当a0时，函数f(x)在(O,1)上单调递减；函数f(x)在(1,+)上单调递增；当二g时，函数/(x)在(O,+)上单调递减；当O<<g时，函数/(x)在(0,1)上单调递减；函数/(x)在(1,一1)上单调递增；a函数/(x)在(1.-l,+0o)上单调递减，a(22)已知函数/(力=皿工一办+上0一1(。砌.X(I)当。g时，讨论/(x)的单调性；（三）设g(x)=X2-2版+4.当时，若对任意百(0,2),存在1,2,使/(xl)U2),求实数b取值范围.解：(I)由于/(x)=InXOr+!-1,因此f(x)=-a+=-x(0,+),XXXX令h(x)=ax-x+-a,xE(,+a),(1)当=O时，(x)=-x+l,x(0,o),听以当XW(0,1)时，(x)>0,此时/(x)<0,函数/0)单调递减;当Xe(1.÷)时，A(x)<O,此时/(行0,函数/O)单调递增.(2)当=O时，由/(X)=0,即ax7、调递减；g(x)min=g(2)=8-480/?(2,+oo)-,+当X(1,2)时，f(x)a(),函数/0)m'n21.8单调递增，因此/*)在(0,2)上日勺最小值为/(1)=一；。由于”对任意(0,2),存在2w1,2,使/()g(%)”等价于“g(x)在1,2上日勺最小值不不小于了在(0,2)上的最小值-；”(*)又g(x)=(x-b)2+4-2,2,因此当人1时，由于g(x)mh=g=5给-0,此时与()矛盾当bl,2时，由于g(切mh=40,同样与(*)矛盾X孑目，/v-42+4x-1-(2x-l)2于是g(x)W=0.XX从而g(x)在(O,+oo)单调减少，故g(x)g(x2),即f(x1)+4xf(x2)+4x2,故对任意X,XiiG(0,+8),|/(百)一/32)性4,一工2|(21)已知函数/(x)=(a+I)InX+1-x+-a=O,解得x1=l,x2=-1当Q=；时，=X2/?(X)NO恒成立，此时/(x)W0,函数幻在(0,+8)上单调递减；当OVaV1.时,1._1>1>O,2ax(O,l)时，MX)>0,此时/(x)V0,函数/")单调递减；x(l,1.-i)时以了)vo,此时f()>O,函数/a)单调递增；ax(!-1,+8)时，(x)>O,此时f(x)V0,函数/")单调递减；a当。VO时，由于上一1V0,ax(O,l),%(x)>0,此时f(x)V0,函数/")单调递减；x(l,y)时，h(x)<O,此时F(X)>0,函数F(X)单调递增.综上所述：O(II)由于a=!(O,1.),由(I)知，X1=ES=3纪(0,2),当x(O,l)时，/(x)-O,函数单42117当bw(2,+oo)时，由于g(x)nh=g=84b,解不等式8-4b,可得b1nun28综上，be取值范围是-,-H/)1.8J(21)己知函数f(x)=(+I)InX+02+.(1)讨论函数幻的单调性;(II)设-2,证明：对任意看,工2e(°,÷°0)，1/(芭)/*2)124|不一/解：(I)f(x)B定义域为(0,+8),f,(x)=-+2ax=2y+1当a20时，,(x)>0,故f(x)在(O,+8)单调增长;当aW-l时，/'(X)VO,故f(x)在(0,+8)单调减少;当一1VaVO时，令f'(x)=O,解得X=.当x(0,Xe(,+8)时，/'(x)V0,故f(x)在(0,2a)时,)单调增长,r(x)>o；在,停,+00)单调减少.（三）不妨假设x1，X2.由于a<-2,故f(x)在(0,+8)单调减少.因此|/(4)一/(W)I4x-X2等价于/(x1)-/(x2)4xi-4x2.即f(x2)+4x2f(x)+4x).令g(x)=f(x)+4x,则gf(x)=+2ax+4X20r2+4x+l(I)讨论函数/(©/'J单调性;(ID(II)设。<一1.假如对任意用,()>I(x1)-(x2)4xi-x2I，求的取值范围。解：(I)f(x)的定义域为(0,+8).尸(X)二"ll+20r=2a1.+lXX当O时，fx)>0,故/*)在(0,+8)单调增长；当-l时，,(x)<0,故/")在(0,+8)单调减少;+),f)<0.当-1VaVo时，令f'(x)=0,解得X=则当XW(0,停)时，(x)>0;x(故f(x)在(0,JW)单调增长，在(再,+8)单调减少.(II)不妨假设不x2,而<-1,由(I)知在(0,+8)单调减少，从而Vx1,a2(O,+),(1)-()4x1-xz等价于Vx1,2(O,+),f(x2)+4x2/(x1)+4x1令g(x)=(x)+4,则g'(x)=+20+4X等价于g*)在(0,+8)单调减少，即+20x+40.X从而4-QXI)；4f2=(2x：I)?_】故a0¾取值范围为(-,-2.2x+12x+12-÷l(18)已知函数f(x)=ln(l+x)-+yx2(k20)。(I)当2=2时，求曲线y=/(X)在点(1,/(D)处的切线方程；（三）求/(%)的单调区间。解：(I)当&=2时，/(x)=ln(l+x)-x+x2,/,(x)=+2x1+x3由于/(l)=ln2,(1)=-*因此曲线y=/*)在点(l,f(l)处日勺切线方程为y-ln2=(x-l)即3x-2y+21n2-3=0(II)f)=-+k,x(-l,÷).当左=O时，fx)=一一.因此，在区间(一1,0)上,1+x1+x,(x)>O;在区间(O,÷)上，尸(幻<0.故/(幻得单调递增区间是(1,0),单调递减区间是(0,+8).WCfIQ,，/、x(kx+k-)z-k当O<A<1时，由/(R)=0,得Xl=0,X2>01 +xk-1.-b因此，在区间(TO)和(一,+00)±,(X)>O;在区间(0,)上，,(x)<0KK-1.-b故/(X)得单调递增区间是(-1,0)和(,+),单调递减区间是(0,).k2当人=1时，/(X)二故f(x)得单调递增区间是(-1,+00).1+x当人>1时，t()=4x+0=,得X=上±(-1,0),x,=0.l÷xk-k-k因此没在区间(T)和(0,÷)上，V)>0;在区间(一,0)上，,(x)<0kk-b-1.故/O)得单调递增区间是(一1,)和(),+8),单调递减区间是(一,0)KK20、(木小题满分16分)设/*)是定义在区间(1,+8)上的函数，其导函数为了'(%)。假如存在实数。和函数(X),其中z(x)对任意的X(l,+oo)均有(x)>0,使得f'(x)=/Z(X)(X2-x+i),则称函数f(x)具有性质P()。(1)设函数/(x)=lnx+2t2(x>l),其中b为实数。x+1(i)求证：函数f(x)具有性质PS)；(ii)求函数/(幻的单调区间。已知函数g*)具有性质尸(2)。给定为,工2(l,+),-<，设“为实数，a=nrl+(1-ni)x2,6=(1一n)x1+mx2,且>1,户>1,若g()-g(P)Vg(Xl)-g(w)I，求机的取值范围。解析本小题重要考察函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考察灵活运用数形结合、分类讨论的思想措施进行探索、分析与处理问题日勺综合能力。满分16分。(1) (i)f,(x)=-生三二一y-(x-bx+).>l时，力(X)=-1r>0恒成立，%(x+1)x(x+l)x(x+l)函数/(幻具有性质尸S)；(ii)(措施一)设以幻=Y-加:+1=(X-)2+l-g,9。)与f'(x)B¾符号相似。当1生>0,-2<<2时，(x)>O,fx)>0,故此时f3)在区间(1,+8)上递增；4当b=±2时，对于x>l,有/'(%)>0,因此此时f(x)在区间(1,+00)上递增;当<一2时，/(/)图像开口向上，对称轴x=g<7,而Q(O)=1,对于x>l,总有夕")>0,(x)>0,故此时/(幻在区间(1,+8)上递增;(措施二)当匕2时，对于x>l,(x)=X2-bx+x2-2x+=(x-)2>0因此f'(X)>0,故此时/(用在区间(1,÷)上递增;bb+Jb2-4b-Jb2-4当人>2时，°(用图像开口向上，对称轴X=>1,方程例九)=0的两根为：一号,'FbZb2_4狂五_42而>I,=f22b+Jb2-4b+Jb1_4b+>Jb2-4当)时，e()<o,f,(x)<0,故此时/(X)在区间(1,)上递减;同理得：/*)在区间上当二l,+00)上递增。综上所述，当h2时，/*)在区间(1,+8)上递增；当匕>2时，/(%)在(,里三)上递减；F(X)在处4m,+00)上递增。(2)(措施一)由题意，得：g,(x)=h(x)(x2-2x+1)=(x)(x-1)2又z(x)对任意B%(1.+00)均有MX)>0,因此对任意日勺X(1,+)均有g'(x)>0,g(x)在(1,+)上递增。又a+=X+x?,a-=(2n-l)(x1-x2)o当a>1时，a<,且-=(z-I)Xl+(1-fn)x2,-x2=(-m)xl+(w-l)x2,二(-x)(-¾)=-(«-I)2(x1-x2)2<0r/.a<x1<X2<£或再<a<j<x2f，g()-g(三)>g(%)-g()：不合题意若<Z<r2<§,贝U()</Sl)</(/)</(£)，.,.r1<a<<x2igp¾<三1+(l-w)¾(l-m)x1+m2<2解得m<l,/<那<1当M=B时，a.=B、0=g()-gC5)<g(¾)-g(r2)»符合题意.当用1时,2a>ffia-x2m(xl-x2)f-=-w(¾-x2)，1.lr-on玉<(-m)xy+mxftza1同理有4<产<</，即</、，解得m>0,.0<淡<一，mx1+(-m)x2<×22综合以上讨论，得：所求加日勺取值范围是(0,1)。(措施二)由题设知，g(x)的导函数g'(x)=(幻(V-2x+l),其中函数力(幻>0对于任意的x(l,+oo)都成立。因此，当x>l时，,(x)=(x)(x-l)2>0,从而g(x)在区间(l,+oo)上单调递增。当m(0,1)时，有=nxl+(-m)x2>wci+(l-77)x1=X1,a=mxx+(l-w)x2<mx2-(y-m)x2=X2,得aeCr”/)，同理可得夕W(M,马)，因此由g(x)0单调性知g（八）、g(P)w(g(再),g(x2),从而有Ig()-g(0<gC)-g(%2)1.符合题设。当n0时，a-txx+(1-m)x2mx2+(l-w)x2=x2,=(-ni)xx+nvc2(1-w)x+nr1=x1,于是由a>,>及g(x)三单调性知g(0g(X)vg(x2)g(),因此g()-g(0I2g(x)-g*2)I，与题设不符。当ml时，同理可得XX2，进而得Ig()g(021g(x)g()，与题设不符。因此综合、得所求时机的取值范围是(0,1)。待研究的J如下问题在求函数H勺单调区间时波