第18章平行四边形--中位线典型例题讲练.docx

中位线典型例题讲练知识框架三角形中位线是三角形内部一条重要的线段，它不仅反映了图形中线段间的位置关系（平行），还揭示了线段间的数量关系（2倍）,它在几何图形的计算及证明中有着广泛应用.当题设中出现中点时，常构造中位线解决问题.三角形中位线还有一个常用的结论：过三角形一边的中点作平行于另一边的直线，必过第三边的中点.已知:如图10ll点D是AB的中点,DEBe求证:点E是AC的中点证明:如图I（M2连结BE,CD,由,等底同高”可得SAADE=SBDE.由“同底等高”可彳导SZiBDE=SADCE,于是（SZiADE=SDCE,故AE=CE,即点E是AC的中点.另外，在梯形中也有中位线，即连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.典型例题例I如图102在ZiABC,AB=AC.M,N分别是AB,AC的中点,D,E为BC上的点,连结DN,EM,交于点。若AB=5,BC=6,DE=3,贝1）.Sg边彤AlMrN+Sam=.分析条件中有三角形两边中点，考虑将其连结，出现三角形中位线.解点评本题充分运用了三角形中位线的位置关系与数量关系.例2如图103在四边形ABCD中,E.F分别是AB.AD的中点、若EF=2,BC=5,CD=3,则点D到直线BC的距离为.分析遇到具有公共端点的两条线段的中点，考虑连结另外两个端点，出现三角形中位线.点评若有两个中点，但没有中位线，则连中位线.若有中位线但没有第三边，则连第三边.例3如图104在AABC中,BE是AC边上的高线,AD是BC边上的中线,NCAD=30。,求证:AD=BE.分析若题设条件中出现三角形一边的中点，考虑取另一边的中点构造三角形中位线.解A点评任意三角形中位线与第三边，直角三角形斜边上的中线与斜边，直角三角形30。所对的直角边与斜边等都存在数量上的关系彳艮多时候会把这些图形糅合在一道题中，要注意寻找连接它们的“桥梁】例4如图IoS点D,E是AABC外两点,满足ADB=乙CEB=90。,连结DE.求证:线段DE的长不超过ZiABC周长的一半.分析虽然题中没有出现中点，但是问题涉及FABC周长的一半”,考虑取448C两边中点构造它的中位线解决问题.解点评再次体现了中点作为“桥梁”的美妙，因为有中点，不仅出现了中位线，还出现了直角三角形斜边上的中线，这样将三角形的周长转化为折线的2倍.例5如图106在AABD中,AD=4,BD=3,AB=5,在AABC中,AC=2,点C与点D位于AB异侧,P是BC的中点,则PD的最大值为一.分析由于点P是线段的中点，可以构造以PD为中位线的三角形，转化为求第三边的最大值.解BD（图10-6）点评本题还可以取AB的中点Q,连PQ和DQ,利用OPQ三边关系解决问题.例6如图IO-7.ABC是等边三角形.48=2,D是BC的中点.直线1经过点D.AE1BFJJ,垂足分别为点EF则AE+BF的最大值为一.分析注意到AE+BF是梯形的两底之和，考虑构造梯形中位线来转化问题.点评用几何方法求线段最值，常见的原理有“垂线段最短”或“两点之间线段最短例7如图10-&任意凸五边形ABCDE.MNRQ分别为ABeD,BC,DE的中点,K,1.分别为MN,PQ的中点,连结MN.PQ.K1.求证:K1.AE且K1.=；4区4分析通过连线，将多边形分割成三角形或四边形，为多个中点的利用创造条件，这是解决本例的突破口.点评需要什么，构造什么，是作辅助线的有效思考方法之一.例8ABC和AADE都是等腰直角三角形乙ACB=AED=90。,F是BD的中点,连结EF和CE如图10-91当点E在AC上时,求证:EF和CF垂直且相等.(2)如图10-92当点D在AB上时,求证:EF和CF垂直且相等.(3)如图10-93当点E在AABC内时,求证:EF和CF垂直且相等.分析如果能将线段EF和CF变成三角形的中位线，即可转移EF和CF的位置解点评第题的做法为下面的问题奠定了基础，(2)和(3)的解法都可以模仿来进行，这就是类比思想.