3线性方程组.docx

第三章线性方程组考试内容：克莱姆法则：方程组有非。解的充要条件，非齐次线性方程组有解的充要条件；线性方程组的性质和解的结构；齐次线性方程组的性质和解的结构；齐次线性方程组的基础解系和通解，非齐次线性方程组的通解。考试要求：1会用克莱姆法则；2理解齐次线性方程组有非O解的充要条件以及非齐次线性方程组有解的充要条件；3理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念；掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法；4理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念；5会用初等行变换的方法求解方程组。内容概要(3)矩阵形式：AX=b1*2克莱姆法则：当A是方阵且IA工O二X=A'b=UAbH1方程组的形式：(2)向量形式：(1)一般形式IrqqyyaX82X2+a11X11a21Xl+a22X2+a2nXn巾21lj÷%2<<2=忤%Xn=%具体计算A*b时，再应用行列式按行按列展开便是克莱姆法则，即Dir11o其中：Di|是IA中的第i列用方程组的常数列来代替，i=12，n.注意克莱姆法则使用的条件。3齐次线性方程组解的常用结论(1)方程组AX=O一定有解(X=O就是它的一个解，称为0解)有唯一的解二r（八）=nuA的列向量组工起，n线性无关；有无穷多组解Ur（八）VnuA的列向量组口,a2,an线性相关;(2)方程组AX=0解的性质4非齐次线性方程组解的常用的结论：(D方程组AX=b无解二方程工r(Ab)=r（八）ub不能被A的列向量组口1,a2,>an线性表示；注意b不能被a2,an线性表示与向量组b,a仆a25线性无关的含义不完全一样；后者能够推出前，但是前推不出后。(2)方程组AX=b有解二r（八）=r(Ab)=r（八）有唯一的解二r（八）ur(Ab)=r（八）=n二向量b被,a2；an唯一的表示；有无穷多组解ur()ur(Ab)=r（八）<nu向量b被al,a2；其表示法不是唯一的(因O1.逑号2,an线性相关)。5非齐次线性方程组AX=b与其导出组AX=0的解之间的关系(1) AX=b有唯一的解=AX=0但注意，反之并不能成立，即AX=0仅有0解，不能推出AX=b有唯一的解(因为b未必能被a*2,a2,，叫线性表示)。如果A是方阵时，则结论一定成立；如果AX=0,仅有0解，且AX=b有解，贝y此解是唯一的：事实上，用向量的语言就是：若%a2,叫线性无关，而b可被a1,a2,a线性表示，则表示式是唯一的。如果*1,n2是其两个解，则k'+kz-也是此方程组的解；其中k,k2是任意的(2) AX=b有无穷多组解，=AX=O有非O解，Zlr（八）cnusm.线性相关;反之不成立，即AX二0有非。解时，AX=b未必有解；(3)如果n<,是AX=b的一个解，n是AX=0的解，则n0+n是AX=b的解；(4)如果丫%是AX=b的两个解，贝y72-71AX=0的解；(5)如果Y"篦，化是AX=b的解,贝yY=kjR+k2Y如+kj,是AX=b的解的充要条件是：k+k2卡+ks-l;这里bH0(向量)；6关于齐次线性方程组的基础解系(1)基础解系的定义(略)；(2)基础解系的确定方法(当方程组AX=0中的A是具体的数时)系数矩阵A-系列?等行F行简化的阶梯形矩阵T由此确定的与原方程组同解的方确定此其自由变量，由此给出其基础解程组，系，下面用例说明：-4、/for：-.一系列初等行变换相上2X力应的同解方程组为rlI2x2X3+3x4-4X5=0+X,+2x5=0Xi=-2X2-3x4+4X5X2=X2+0X4+0X5方法1将上述的解表达成标准形式：X3=0x1-X4-2x5X4=Ox,+lx,+OXsX5=Ox.+0x4+1X50J9Xi-29，4、X2100X3=X20+X4-1+X5-2-x?®+Xj2+%5JR3Xi010051.0.0>J)方法2由同解方程组可得自由变量为让自由变量取一组线性无关的向量2(其个数为3二自由变量的个数)，例如取1,1,0J)OlO)解:这里的胴，n3便是原方程组的一个基础解系。如自由变量取则得到的对应的解I是n-这里的一,他n3便是原方程组的一个基础解系;同一个齐次线性方程组AX=O的两个%同的基础解系是等价的;7关于一般非齐次线性方程组AX=b的解,则得到原方程组的一组(1)如果是方程组AX=b的一个特解，(令自由变量取一组确定的值得到的原方程组的一个解称为其特解，通常自由变量取0)(2)如果n1,n2,，n是对应的导出组的基础解系，则0,是线性无关的；这是因为：假设有k。kn4使得：&口0栋1口1+knjn-r=°二心0*0+小'+knJn-r)=AO=O又根据条件可得：AS=027=0,，Ah=O二ko存第醺错产小野n昨r¼=0(3)若方程组AX=0,而r（八）=r,则它的基础解系所含有的向量的个数从而由&%+«1*+knJn-r=O=k,i1.P"+knJn-r=0但是由条件=3,112,，11nj是线性无关的kl=k2,2,二二ku=0故结论成立。基本题型题型1具体的数字线性方程组的求解将A=(AbA-系列初等行变换I阶梯型矩阵一初等行变换IT(行简化的阶梯形矩当r（八）=r(Ab)阵)=r（八）时，方程组有解，在有解的前提下给出其解;当r（八）Hr（八）W,方程组无解。要求：过程一定要清楚，具体求解计算要准确。题型2系数为参数的线性方程组解的情况判定例1已知方程组23a+2X二3Ja-2Je解：方法1注意此方程组的系数矩阵是一个三阶方阵，若方程组无解,则必有IA=0,易计算IA=-(a-3)(a+l)组无解;当a=T时，a=-1,A121初等行变换211、此时方程二2313011-11-1-20>.0001)当a二3时A二q21P初等行变换'2112353013JJ3-2M000°-故此方程组有无穷多组解;通解。方法2A=1a+2-2显然当a=3寸方程组有解,2、初等行变换0()-1O(a-3)(a+1)当a二时，方程组无解。t且方程组AX-O的解空间的维数是2,由条件解空间的维数是2=3、1a-3J求AX=O的r（八）=2,由此可确定t,进而可求出AX=O的通解;2、初等行变换l-2t2-2t.由于r（八）=2=t=l,此时与原方程组同解(t-D2(t-)2j的方程组是Xix3+X3+Xd=0因而可得此方程组的通解为：X题型3关于线性方程组的通解的问题(1)具体的数字方程组的求通解应当熟练；(2)含有参数的线性方程组求通解应转化为上面的数字方程组；如上面的题型2；(3) 根据方程组的通解性质求此通解；例1已知四阶矩阵A=(Otla2EJ也也a?a,均为四维列向量其中a2,a3,a4线性无关，且%=22-3,4若=aaaa4,求AX-P的通解。解由条件知r（八）二3二方程组AX=0的基础解系仅含有一个向量，又显然是方程组AX=P的一个特解，故只要求出此导出组AX=0的一个基础解系，而r（八）=3,AX=P是四个未知数的方程组，因此基础解系仅含有一个非0的是AX=0即是(al,酸，a3,3,a4)X=0的一个非0解，故原方程解向量；又ar=22-3=W-22+口3=0例2设A是秩为3的5咒4矩阵，a2,a3是非齐次线性方程组AX=b的组的通解为%+01(其中k是任意的数)。三个不同的解，若%+口2+24,3%+%=求方程组AX=b的通解。解因为r（八）=3而A是5咒4矩阵，故方程组AX=O的基础解系仅含有一个非0向量，由所给的条件可得：=A(%+«2+2%)=A%+皿2+2Aa3=4b故原方程组的通解为X=5÷kS,其中k为任意的数。=A(坯+5)=3Aa1+Aa2=4b例3已知非齐次线性方程组程组AX=b的一个特解，Xq='IX4=-1bx4一1(1),V9,YQ+证明：r（八）=2；(2)求a,b的值，及方程组的从而4x+3x2+5x3-a132小/也线性无关，且是导出组的两个线性无关的解，因此导出ay+X2+3x3+有匚个线性不关的解.通解。解：(1)设ga，2,03是上述方程组的三个线性无关的解向量,有A中有一个二阶子式工O=r()>2二NA)=2组的基础解系所含有的向量的个数>2,即4-r（八）>2=r（八）<2；，111-P，02-42、又A=435-1-1初等行交换01-15-313b1.004-2a4a+b-54-2aJ2-42、A-初等行变换T0-J5-3.0对应的方程组的通解为：0°C因为r（八）=2,故a=2,b=3,此时2、一3n=0例4已知设A1(0J解，；(1)求几，a;(2)解(1)由条件知:/4、-50,其中C,C2为任意的数)。11A-I0a)已知方程组AX二b存在两个不同的求方程组AX=b的通解。A=O,从而可得(几-D(兀+1)=0,即产一1若卷=1,易知r（八）=1,r（八）二2,此时方程组无解;由于方程组有解，所以必有T,此时Ilal初等行交换020111-1,JI1-2Jl1-2由于方程组有解，故r（八）=r（八）=a=-2-1当扎2=l,a=2时，此时AT故方程组的通解为X二-X01q其中K为任意的数。题型4关于线性方程组的公共解、同解问题Xi+2x2+3x3例1已知齐次线性方程组I2X+3x2+5x3=0=0和4.ax3中bx,中ex,二0Xi方程组n(2x朴2%2,+(C+31)x3=0同解,解：因n的系数矩阵B,其秩NB)W2<3,从而n有无穷多组解，由于I与n即r（八）>2=r（八）=2,由此求得I的基础解系为=-1-1+b(-l)+c-2-b2+(c+1)'=b=O或b=1a=2a=2即*b=0,*b=1c=Ic=2a=2(1)当b=0,时，方程口为：c=1同解，故r（八）=r(B)lr（八）<2；=°,显然与I不同解;=0Fa=2(2)b=l时，n为xl+2+2X32x1+x,+3X3C=2又A有一个2阶子式不为0,=0=0此时与I同解。而A01、11包0a2J=0Xi+X2+X3例2设线性方程组为X1+a3+2x2+a3=0与方程组洛+2x2+X3=aT有公2xi+4x2+aX3=0共解，求a的值以及所有的公共解。解设匕是其公共解，因而匕是方程组Xi+X2+X3=OA=O,Xi+2x2+了=0的解，从而r（八）=r（八）,而r（八）<3二Xi+4x2+aX3=0Xi2X2+3=a1易计算A=(a-l)(a-2)(a-l)(2-l)=(a-l)2(a-2)当a=I时，上述方程组有无穷多组解，其解为匕:C0,c为任意的数;当a=2时，r（八）=3=r（八）方程组为唯一的解，其21.2Jt取何值时,题型5有关基础解系的问题设有向量组I：%2-02JIT也循方程组3AX=0噪础礴I是方程组1t+1Ia-2)伊一当aHl,aH2时，r（八）=3cr（八）方程组无解。题型6关于方程组的证明问题例1已知A是实矩阵，证明r（八）=r(A")证明:设方程组I：AX=O；n：ATAX=O下证方程组I与n同解；这是因为若AX=O,=AtAX=0,这说明方程组AX=0的解都是方程组A1AX=0的解;bi_b2'、b2记AX-=(bib2*bmbmIIPm)又若AiAX=0,则必有XtAtAX=0=(AX(AX)=0有条件知bi,bz,bm都是实数，=bi=b2=bm=0这说明：若ATAX=O=AX=0=bi2+Ib2中”+bz因此方程组AX=0与方程组ATAX=0同解，因此基础解系相同，从而可得=n-r（八）=n-r(AA)=r（八）=r(AtA)上述的结论也是常用的一个结论。例2设非齐次线性方程组AX=b的系数矩阵A的秩为r；nid,儿是它的n-叶1个线性无关的解，证明它的任意一个解X可表示为X*1+ki111.*+*OII-；其中ki+k2,z+k11*=1证明：先证明成1(3-111,-,0wJ1是线性无关的；这是因为若tid八)+t2八)+-+tjHn*-叫)=q(ti-12tnjPi+2壮属3十+tnjn"=0因为叫巴，“241线性无关=ti“2二=UvC=,故n2J1巴1厂二”1线性无关；另一方面，由条件知5-id_1.JnTI均是方程组AX=O的n-r个线性无关的解;因此，腐21二I,，忙十I是方程组AX=O的一个基础解系，因此方程组AX=b的任意一个解X可表示为：X+tnjnJi)-ti-t2tnr+P1kS_r/ntt=kji+k?"25”+人*4一+1显然：ki+k2十”+knr十=1例3A是实矩阵，证明：方程Atax=ATb一定有解。-13-证明：Hr（八）=r(AAAb)=rA(Ab)r(A)=r（八）又r（八）=r(AAAb)3r(A%)=r（八）12345533IlO0221112345533110000111234000011000011=0从而NlAfb)=r()=r(A,Al因此方程组一定有解。123412341234553355330000A33*'34=O001100110011221122002200