4.1.2 极坐标系.docx
4.1.2极坐标系1 .了解极坐标系.2 .会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置.3 .体会在极坐标系和平面百角坐标系中刻画点的位置的区分.I基掰初探1 .极坐标系（1）在平面上取一个定点0,自点。引一条射线0,同时确定一个长度总位和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了个极坐标系.其中，点。称为极点,射线。X称为极轴.（2）设M是平面上任一点，p表示OM的长度，夕表示以射线OK为始边，射线OM为终边所成的角.那么，集个有序实数对S，仍确定个点的位置.称为点M的极径,称为点M的极角.有序实数对S，仍称为点M的极坐标.约定夕=0时，极角，可取随意角.（3）假如（,阴是点M的极坐标，那么。什2E）或（一,4+（2A+1）jO（KZ）都可以看成点M的极坐标.2 .极坐标与直角坐标的互化以平面直用坐标系的原点。为极点，X轴的正半轴为极轴，且在两种+标系中取相同的长度单位（如图4J-3所示），平面内任一点M的直角坐标（x,），）与极坐标S,"）可以互化，公式是:JX='COS仇Iv=gsin0：4>2=.v2+y2,tan0=*x=0).图4-1-3通常状况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取“20,0<ev2.I思索探究I1 .建立极坐标系须要哪儿个要素？【提示】建立极坐标系的要素是：（I）极点：（2）极轴：（3）长度单位：（4）向度单位和它的正方向，四者共一不行.2 .为什么点的极坐标不惟？【提示】依据我们学过的随意角的概念：一是终边相同的角有多货个，它们和爰2n的整教信，所以点S，g还可以写成S,夕+2E）（AZ）:二是终边在一条直线上且互为反向延长浅的两角的关系,所以点S，夕）的坐标还可以写成（一小+2A-11+11）（Z）.3 .将直角坐标化为极坐标时如何确定P和O的值？【提示】由=x2+.v2求时，不取负值：由tan"=*r0）确定时，依据点（x,y）所在的象F艮取得最小正角.当0时，。角才能由tan=*按上述V方法确定.当X=O时,tan夕没有意义，这时又分三种状况：（1）当.r=0,y=0时，可取任何依：当.r=0,）>。时，可取8=去当K=O,）V）时，可取6=笔I质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨沟通：疑问:解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：3Ti极坐标系中点的坐标例口写出图4-1-4中A、B、C、。、£、F、G各点的极坐标S>O.OW6V2jO.困4-1-4【自主解答】对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为A（7,三）,44,C（5,引，,6,与），£（9,0）,丹3,11）,电劈I再练一题I1 .已知边长为"的正六边形A8CDEF,建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.【导学号：98990003【解】以正六边形中心。为极点，OC所在直浅为极抽珑立如图所示的极坐标系.由正六边形性蜃得：C(«,0).D(a,j)»Ea,y).F(a,it),A(a,11).B(a11)或C(40),D(a.).E(a,y)»F(a,11)>A(a,),B(a,).a三¾例目在极坐标系中，求与点A*3,-E)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标.【自主解答】极坐标系中点A/S，例关于机轴对林的点的极坐标为M'S，2履一，)(4Z),利用这个规律可得时称点的坐标为(3,2日+AZ).I再练一题I2 .在极坐标系中，点A的极坐标为(3,剃限定p>0,0W6V2n).(1)点八关于极轴对称的点的极坐标是：(2)点A关于极点对称的点的极坐标是.(3)点八关于直线对称的点的极坐标是.【解析】通过作图如图可求解为【答案】(1)(3,岩)(2)(3.)(3)(3,).极坐标与直角坐标的互化例3把点M的极坐标(8,离化成直角坐标：把点P的直角坐标(#,一i)化成极坐标S>0,O0<211).【自主解答】(1)a-Scosy=4,V=8siny=43,因此，点何的直角坐标是(-4.44).(2)p=(6)2+(-2)2=22,an"=j*=一坐11111.又因为点尸在第四条限且0W"<2h,得0=7.因此，点P的极坐标为(2,当6),I再练一题3 .把点A的极坐标(2,卷)化成直角坐标：(2)把点P的直角坐标(1,一小)化成极坐标S>0,0W”<2n).【解】(lr=2cos=3,y=2sin=-1,故点A的直角坐标为(一书.-1).-yR(2)p=l:+(3)2=2,(an-1=3.又因为点P在弟四象限且OWJV2小得=争因此点P的极坐标是(2,y).11极坐标系的应用例口在极坐标系中，已知人(3,一野，G号)，求人、8两点之间的距离.【思路探究】将点的极坐标化为直角坐标，在用两点间距离公式求解.【自主解答】对于43,一马，明一3-2,XfA对于8（1,守），X=IXCoS专=-g,y=l×sin华二坐，B（-1,坐）.V8两点之间的距离为4.有些问题在用极坐标表示时没有现成的解法,但在直角坐标系中却是一个常见的问题.因此，换一个坐标系，把极坐标系中的元素换成直角+标系中的元素,问题就可以迎刃而解了.假如题目要求用极坐标作答，那么解完再用极坐标表示就行了.I再练一题I4 .在极坐标系中，已知三点：4(4.0),04,节、C(,(1)求直线AB与极轴所成的角：(2)若A、从C三点在一条直线上，求P的值.【解】(1)点A的直角坐标为(4,0),点B的直角坐标为(0,-4),直线A8在直角坐标系中的方程为,r-=4.故直线人8与X轴所成角为全(2)点C的直角坐标为怜,，5).代人支线,方看得317)一强=4,解得P=京7=4(S+1)真题tii接赏析I»使接(教材第17页习更4.1第6蹈)将下列各点的极坐标化为直角坐标:(隹S&司,(一2,¥)，立(*-y),(-4巾,竽).»盅析己知下列各点的直角坐标，求它们的极坐标.(I)A(3,3):(2)B(-2,-23);(3)C(0,-2)：(4)0(3,0).【命题意图】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，属基础避.【解】由题意Sr知：p=32+(a3)223,tan"=W,所以=能，V所以点人的极坐标为(2币，3.(2)p=(-2)2+(-23)2=4.tan。=三竺=5,又由于。为第三象F艮角.故夕=去.所以8点的极坐标为(4.*).(3)P=VO2+(-2)2=24为表,6在y轴负半轴上，所以点C的极坐标为(2,(4)p=32+02=3,ian"=g=O,故夕=0.所以。点的极坐标为(3,0).1 .点h一2,2)的极坐标(60,2K)为.【解析】曲P=|子r(s=2版.尸点在其次象限内，：.o=%二的极坐标为(2业詈).【答案】(21苧)2 .在极眼标系中，与S，例关于极轴对称的点是.【导学号：98990004】【解析】极径为极角为仇6关于极轴对称的角为负角一，故所求的点为S，一。).【答案】(p,一例3 .将极坐标(2,劣化为直角坐标为.【解析】.v=pcsW=2cos11=0,y=psinW=2sin11=2,故直角坐标为(O,-2).【答案】(0,2)4 .已知八.8的极坐标分别是(3,野和(一3,9则4和8之间的距离等于.【解析】由余弦定理得AB=ypi2+p22-2pplCOS(l-02)j32+(-3)22×3×(3)COS(-j)=9+9+93=l8+9336+32=2,36+32答案Y2Y我还有这些不足：(1) 我的课下提升方案：(2)
