人教版九年级上第二十二章 二次函数 22.2 二次函数一元二次方程.docx

22.2二次函数与一元二次方程一、教学目标(一)学习目标1 .了解一元二次方程的根的几何意义，知道抛物线与X轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况.2 .会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.(二)学习重点：1.二次函数与一元二次方程之间的联系.3 .用图象法求一元二次方程的近似根并且估算.(三)学习难点：1.理解一元二次方程的根在二次函数中的意义.2 .用函数观点看一元二次方程，二次函数与一元二次方程的区别与联系.3 .体会数形结合解决问题的思想方法.二、教学设计(一)课前设计1 .预习任务：二次函数y=公?+1.+c的图象与X轴的交点有三种情况:有两个交点，有一个交点，没有交点.这对应着一元二次方程渥+灰+C=O的根的三种情况：有两个不相等的实数根,有两个相等的实数根,没有实数根(二)课堂设计1.知识回忆(1)二次函数的定义：y=r当d=0时，方程or'+r+C=O有两个相等的实数根；当d<0时，方程ar?+hx+c=0没有实数根.问题探究探究一二次函数与一元二次方程之间的联系I重点、难点知加前£活动通过实际问题，研究二次函数与一元二次方程之间的联系问题如图，以40ms的速度将小球沿与地面成30。角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度力(单位：m)与飞行时间单位：s)之间具有函数关系师问：考虑以下问题：(1)小球的飞行高度能否到达15m?如果能，需要多少飞行时间？(2)小球的飞行高度能否到达20m?如果能，需要多少飞行时间？(3)小球的飞行高度能否到达20.5m?为什么？(4)小球从飞出到落地要用多少时间？一般地，我们可以利用二次函数y=0%2+勿r+c深入讨论一元二次方程翻2+zr+c=o.师问：二次函数y=M_2-3,y=f-2x+l,y=2-2+2的图象如以下图所示,每个图象与X轴有几个交点？+bx+da.b、C为常数,a?0)的函数，叫做二次函数.(2)二次函数的图象和性质：二次函数y=奴2+=+c的图象是一彖抛物线，当>>0时，当x<-2时，y随着工的增大而减小，当x>-2时，y随着X的增大而增大；2a2a当时，当re-2时，v随着X的增大而增大，当x>-2时，y随着。的增大而减小.2a2丁(3)一元二次方程的一般形式：ax2+Z?x+c=O(a、b、C为常数,a0)(4) 一元二次方程0+云+c=o的根的情况怎样判定：用根的判别式：d=bjac当d>0时，方程or?+fe+c=()有两个不相等的实数根；y=2.2x-3的图象y=f-2x+l的图象y=x"2x+2的图象师问：一元二次方程d+2x3=°,d2x+l二°有几个实数根？用判别式验证一下.一元二次方程d-2x+2=0有实数根吗？.师问：二次函数y=2+bx+c的图象与X轴交点的坐标和一元二次方程or?+Ax+。=。的根有什么关系？总结：一般地，从二次函数y=02+云+c的图象可得如下结论：（1）抛物线丁二公+云+。与X轴的交点有三种情况：有两个交点，有一个交点，没有交点.这对应着一元二次方程欠2+加+。=0的根的三种情况：有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根.反之亦然.（即：由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与X轴的位置关系）（2）如果抛物线y=?+云+c与X轴有交点，交点的横坐标是与，那么当X=XO时，函数值是0,因此X=Xo是一元二次方程+zx+c=0的一个根.由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的.探究二利用二次函数的图象求一元二次方程的根活动通过例子，解决问题例利用函数图象求方程242=0的实数根（结果保存小数点后一位）.解：画出函数y=2-2的图象（图22.23）,它与X轴的公共点的横坐标大约是一0.7、2.7,所以方程f-2x-2=0的实数根为工产-0.7,22.7（图22.23）我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根.观察函数y=f2a>2的图象，可以发现，当自变量为2时函数值小于0（点（2,-2）在轴的下方），当自变量是3时函数值大于0,（点（3,1）在X轴的上方）.所以抛物线y=f-2h2在2<v3这一段经过X轴.（抛物线没有间断点，因而抛物线从X轴下方通过X轴上方时一定经过无轴.）也就是说，当自变量取2,3之间的某个值时，函数值为0,即方程d-2x-2=0在2,3之间有根.我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围.（每次可以将根所在的范围缩小到原来的一半.）例如，取2,3的平均数2.5,用计算器算得自变量为2.5时的函数值为-0.75,与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5,3之间.再取2.5,3的平均数2.75,用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0,0625,与自变量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5,2.75之间.重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.5625,2.75之间，在2.6875,2.75之间可以看到:根所在的范围越来越小，根所在的范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值.例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于|2.6875-2.75=0.0625<0.1,我们可以将2.6875作为根的近似值.你能用这种方法得出方程d-2x-2=°的另一个根的近似值吗(要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1)?这种求根的近似值的方法也适用于更高的一元方程.【总结】利用二次函数的图象求一元二次方程的根的一般步骤：(1)画出函数的图象(可用计算机画)；(2)根据图象确定抛物线与X轴的交点分别在哪两个相邻的整数之间；可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围.(可以利用计算器计算).(3)确定方程的近似根.探究三例题讲解学以致用活动根底性例题例1：抢答：判断以下抛物线与X轴的交点个数.(1)y=2x2+4x+2(2)y=6x2+2x+l(3)J=3x2-2x-4【答案】一个交点，没有交点，两个交点.练习：二次函数y=f+3-40的图象与X轴交于4B两点、,那么线段力8长为.【答案】13例2(1)二次函数y二丘2.7.7的图象和才轴有交点，那么A的取值范围为()7777A.k>-B.k-S.kOC.k<-D.A>-jaO4444【答案】B(2)假设二次函数y=f+3+m的图象全部在X轴的下方，那么R的取值范围为.【答案】m<-.4练习：抛物线y=+b的图象全部在X轴的上方，那么。的取值范围为.【知识点】抛物线与X轴的交点问题【答案】b>-4活动提升型例题例3下表是一组二次函数y=Y+3x-5的自变量X与函数值y的对应值：X11.11.21.31.4y-1-0.490.040.591.16那么方程f+3x-5=0的一个近似根是().1B.1.1C.1.2D.1.3【答案】C练习：在平面直角坐标系中，抛物线y=o2+bx+c(>()的局部图象如下图，直线冗=1是它的对称轴.假设一元二次方程0?+瓜+c=o的一个根M的取值范围是2vv3,那么它的另一个根声的取值范围是.【答案】-l<%2<0活动探究型例题例4如图，在平面直角坐标系中，抛物线），=-Id-gx+2与X轴交于反。两点（.点、B在点、C的左侧），与y轴交于点4,抛物线的顶点为。（1）填空：点力的坐标为（,）,点6的坐标为（,）,点C的坐标为（,）,点的坐标为（,）；（2）点P是线段6c上的动点（点、P不与点、&C重合）过点P作X轴的垂线交抛物线于点E,假设器/E,求点£的坐标；在的条件下，点/是坐标轴上的点，且点到£4和切的距离相等，请直接写出线段旗的长；Q【答案】0、2,-3、0,1、0,-1、-；3（2）石（一3,9）,七/=3或3；2222练习：如图，抛物线y=2+云过a（4,0）,B1,3）两点，点C、关于抛物线的对称轴对称，过点3作直线肱1.X轴，交X轴于点"（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点。的坐标，并求出aISC的面积；（3）点尸是抛物线上一动点，且位于第四象限，当A4¾d的面积为6时，求出点P的坐标.【答案】y=-f+4,3,（5,-5）3.课堂总结【知识梳理】bx=-2a抛物线与X轴的交点情况有两个交点有一个交点无交点(2)一般地：二次函数y=2+bx+c的函数值为R,求自变量X的值，可以看作解一元二次方ax2+bx+c=m.反之，解一元二次方程Or?+r+c=m又可以看作二次函数y=OX?+bx+c的值为用的自变量X的值.(3)利用二次函数的图象求一元二次方程的根的一般步骤：画出函数的图象(可用计算机画)；根据图象确定抛物线与X轴的交点分别在哪两个相邻的整数之间；可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围.(可以利用计算器计算).确定方程的近似根.重难点归纳1 .注意抛物线与X轴的交点与抛物线的对称轴之间的关系：当方程奴?+6为+c=0的两个根为为、刍时，那么抛物线y=2+法+c的对称轴为=3(2.2 .注意四个“二次之间的区别与联系，即二次函数，一元二次方程，一元二次不等式，二次三项式；利用他们之间的转化解决问题.(1)二次三项式OV2+b+c恒正=抛物线y=r2+b+c全在X轴上方=Q>0且<()；(2)二次三项式or?+6x+c恒负O抛物线y=ax2+bx+c全在X轴下方OaCO且<().3 .利用二次函数图象求不等式解集的方法：“一元二次不等式实际上是指二次函数的函数值“y>0,y<0或y0,y0",从图象看是指曲线在X轴上方或X轴下方时的/值(对应的自变量X的取值范围)。4 .抛物线与直线的交点：一次函数y=kx+tn(k0)的图象与二次函数丁二奴?0)的图象的个数由方程组y=j+r«,的解的个数确定。(判断两个函数图象有几个交点还可以通过画图象解决，求交点y=axr+bx+c即联立方程求解)