5.4.2一元二次方程根的判别式.docx

一元二次方程根的判别式学问点A要求B要求C要求一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的解法理解配方法，会用干脆开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简洁的数字系数的元二次方程，理解各种解法的依据能选择恰当的方法解元二次方程:会用方程的根的判别式判别方程根的状况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的状况及由方程根的状况确定方程中待定系数的取值范闱；会用配方法对代数式做简洁的变形；会应用元二次方程解决简洁的实际问题单间一、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到a+%,”,明显只有当从-40c0时，才能干脆开平2a4a方得:x+»佐等,也就是说，一元二次方程+bx+c=O(H)只有当系数。、b、C满意条件A=-4c0时才有实数根.这里从一4c叫做一元二次方程根的判别式.二、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程+bx+c=O(HO)的根由其系数。、b、C确定，它的根的状况(是否有实数根)由A=Z-%c确定.设一元二次方程为以2+u+c=o(H0),其根的判别式为：Au"-.则A>0o方程Or?+以+c=(O)有两个不相等的实数根玉2二心主*於竺.A=Oo方程奴*+H+c=0(HO)有两个相等的实数根X=X2=一.Ia4<0u>方程?+法+c=()没有实数根.若白,占，C为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；若为完全平方式，同时-b±M-4ac是2a的整数倍,则方程的根为整数根.说明：用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来运用，当方程有两个不相等的实数根时，A>0:有两个相等的实数根时，=();没有实数根时，<0.在解一元二次方程时，一般状况下，首先要运用根的判别式A=从4肥判定方程的根的状况(有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根).当A=4c=0时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程只有一个根.当>0时<=>抛物线开口向上o顶点为其最低点；当。<0时=抛物线开口向下o顶点为其最高点.三、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：运用判别式，判定方程实数根的个数；利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；通过判别式，证明与方程相关的代数问题；(4)借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题.一、一元二次方程实数根个数的判定【例1】不解方程，推断下列方程的根的状况：(l)2f+3x-4=O;(2)r2+=O(0)【例2】不解方程，判别一元二次方程2/-6x=l的根的状况是()A.有两个不相等的实数根B.没有实数根C.有两个相等的实数根D.无法确定【例3】已知。，Z?,C是不全为0的3个实数，那么关于的一元二次方程f+(+C)X+(/+/)=0的根的状况().A.有2个负根B.有2个正根C.有2个异号的实根D.无实根【例4】已知0,b,C为正数，若二次方程+bx+c=0有两个实数根，那么方程x2+=。的根的状况是()A.有两个不相等的正实数根B.有两个异号的实数根C.有两个不相等的负实数根D.不肯定有实数根).【例5】若方程。+2)工2一2(2+1)1+加=0只有一个实数根，那么方程(m+l)W-2w+”2=0(A.没有实数根B.有2个不同的实数根C.有2个相等的实数根D.实数根的个数不能确定【例6】已知：方程"tv?-2(，"+2)彳+/+5=0没有实数根，且加会5,求证：(?一5)42一2(?+2)彳+加=0有两个实数根.【例7】对随意实数叫求证：关于X的方程(*+i*_2a+M+4=0无实数根.【例8】求证：关于X的一元二次方程d-(2+m)x+l+m=O有两个实数根.【例9】设方程=4只有3个不相等的实数根，求。的取值和相应的3个根.【例10已知实数。、b、c、rP满意pr>2,pc-2b+ra=0,求证：一元二次方程加+2>c+c=0必有实根.【例11已知关于X的方程5-1)/+,就+1=0有两个相等的实数根.求证：关于y的一元二次方程加产一中世-M+4=0必有两个相等的实数根.IW12已知关于X的二次方程d+p+=0与f+/+%=o,求证：当pg=2(7+%)时，这两个方程中至少有一个方程有实数.【例13】设。、b、C为互不相等的非零实数，求证：三个方程(Xl÷2bx+C=O,bx2+2cx+a=0,ex2+2ax+b=0,不行能都有2个相等的实数根.¢014当m为何值时，关于X的方程(/-4*+2(7+1)%+1=0有实根.【例15】女为何值时，方程(A-l)f_(2A+3)x+/+3)=0有实数根.【例16】当4、力为何值时，方程工2+2(1+44+3/+4曲+4/+2=0有实根？【例17已知>0,b>a+c,推断关于X的方程/+法+c=0的根的状况，并给出必要的说明.【例18】假如方程(?+2)f-2("+l)x+m=0,只有一个实数根，那么方程(n+l)f-2mx+/一2=0().A.没有实数根B.有2个不同的实数根C.有2个相等的实数根D.实数根的个数不能确定【例19若二次方程V+2px+24=0有实根，其中，夕为奇数，证明：此方程的两个根都是无理数.【例20是否存在质数，心使得关于X的一元二次方程px2-+p=0有有理数根？二、一元二次方程中字母参数的确定【例21】2的何值时？关于X的一元二次方程x2-4x+&-5=0：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；没有实数根.【例22】，为给定的有理数，2为何值时，方程+4(l-m)x+3M-2m+4A=0的根为有理数？【例23】己知方程>/+(2m+i)+=o有实数根，求机的范围.【例24】关于X的方程(-6)f-8x+6=0有实数根，则整数。的最大值是.【例25若方程/+23+1)x+病+47-5=0有实数根，求：正整数”.【例26】当“、b为何值时，方程/+2(1+。)4+3/+48+4。2+2=0有实根？【例27欠为何值时,方程(DX2-q2+3)x+伏+3)=0有实数根.【例28】已知关于X的方程£-(+b)x-gW-力+1)=0有两个相等的实数根，且。、b为实数,则3a+2b=.【例29】关于X的一元二次方程(1-2场2_2历-1=0有两个不相等的实数根，求Z的取值范围.【例30】假如关于X的一元二次方程依2-6x+9=0有两个不相等的实数根，那么女的取值范围是()A.k<B.kOC.Avl且ZWOD.k>【例31】关于X的方程犬+2疯+1=0有两个不相等的实数根，则的取值范围为.【例32已知关于X的一元二次方程=0有两个不相等的实数根，求机的取值范围.【例33若关于X的一元二次方程依22x-1=0有两个不相等的实数根，则Z的取值范是.【例34假如关于1的一元二次方程公2A+i)+=o有两个不相等的实数根，那么左的取值范围是.【例35已知关于X的方程/+2(m+1口+济+5=0有两个不相等的实数根，化简：11?I+ym24w+4【例36当。在什么范围内取值，方程,-5耳=。有且只有两相异实根？【例37】已知一元二次方程42-(4%-2)%+4公=0有两个不相等的实数根.则4的最大整数值为【例38已知关于X的方程公了2+(2&-1+1=0有两个不相等的实数根%,2.求k的取值范围；是否存在实数M使方程的两实数根互为相反数？假如存在，求出女的值；假如不存在，请说明理由.【例39已知关于X的方程(?2_7)/-2a+1=0有两个不相等的实数根.求机的取值范围；若，"为整数，且相3,。是上述方程的一个根，求代数式23-生土1+3的值.【例40】使得关于X的一元二次方程2x("-4)-f+6=0无实数根的最小整数A()A.-1B.2C.3D.4【例41】已知：？、为整数，关于X的二次方程f+(7-+3+”=0有两个不相等的实数解，f+(4+m)+"+6=0有两个相等的实数根，Y-(m-4)x+"+1=0没有实数根，求m、的值.【例42若关于X的方程2+2px-q=0和Y-2qx+P=O都没有实数根(p、q是实数)，问式子幺+“是否总有意义，说明理由.(2)问+4是否可以是整数，若可以，当+q为整数时，求吐"+"”的值；若+g不行以为整数，说明理由.【例43】已知力是一元二次方程+b+c=o(WO)的一个实数根，则外的取值范围为().A.ab-8B.必-8C.ab-4D.cbW4三、一元二次方程与三角形三边关系的综合【例44】三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程W-124+35=0的根,则该三角形的周长为.【例45】方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为.【例46已知,3是直角三角形的两边，第三边的长满意方程/-9x+20=0,则。的值为.这样的直角三角形有个.【例47】已知A8C的三边4,8C满意：0+c=8,bc=a2-2a+52,试确定A8C的形态.【例48假如始终角三角形的三边长分别为。、b、c,N8=90,那么，关于X的方程。(炉一l)-2s+%f+i)=o的根的状况是()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法确定【例49】已知八b、C分别是三角形的三边，则方程(+b)+2cx+(+b)=0的根的状况是()A.没有实数根B.可能有且只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根【例50】已知：a、b、C分别是ABC的三边长，求证：方程+(从+/-/,/c?=。没有实数根【例51】在等腰ABC中，Z4、ZB、NC的对边分别为4、b、c,已知=3,力和C是关于X的方程x2+"ir+2-J"7=O的两个实数根，求ABC的周长.2【例52】己知：a、b、C分别是ABC的三边长，当"z>0时，关于工的一元二次方程C(X2+?)+力(f一”)一2。而X=O有两个相等的实数根，求证：A8C是直角三角形.【例53】关于X的一元二次方程(+弓/+云+宁=。有两个相等的实数根，则以“，b,C为三边的三角形的形态是.【例54】已知。、b、C是ABC的三边的长，且方程/+2S-少:+3-与(0-)=0有两个相等的实数根，试推断这个三角形的形态.【例55】已知。、b、C是ABC的三边，其中=l,c=4,且关于X的方程f-4x+b=0有两个相等的实数根，试推断ABC的形态.【例56】假如关于X的方程(x+)(x+b)+(x+b)(x+c)+c)(x+)=O(其中,b,c均为正数)有两个相等的实数根.证明：以。，b,C为长的线段能够组成一个三角形，并指出三角形的特征.例57已知关于方程2(2攵+I)X+4(Ar-l)=0求证：无论攵取何值，这个方程总有实数根；若等腰ABC的一边长为4,另两边长6、C恰好是这个方程的两个实数根，求这个三角形的周长.【例58】已知关于X的方程X2-(Z+2)*+2Z=0求证：无论攵取任何实数值，方程总有实数根；若等腰三角形ABC的一边长=l,另两边长方，C恰好是这个方程的两个根，求ABC的周长.