人教版选修21第三章空间向量的基本定理讲义.docx

案例二精析精练课堂合作研究重点难点突破知识点一共线向量定理(1)定理内容：对空间两个向量，。人的充要条件是存在唯一的实数X，使。=动。此定理可以分解为以下两个命题；假设。地Wo),那么存在唯一实数X,使=幼。存在实数X,使。=幼(工0),那么a/Z?。(2)在定理中为什么要规定b0呢？当力=0时，假设=0,那么。人，也存在实数X使=她；但假设Wo,我们知道零向量和任一非零向量共线，但不存在实数X,使=Xb,因此在定理中规定了人工0。假设将定理写成。bu>6=m,那么应规定工0。说明：在=就功中，对于确定的X和Z?,=动功表示空间与人平行或共线且长度为I必的所有向量;利用共线向量定理可以证明两线平行，或三点共线。知识点二共面向量定理(1)共面向量(右图)，通说指这些向O量就不一向量，作。4=。，如果QA的基线平行于平面，记作常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。明：是指。的基线在平面内或平行平面QO共面向量是量的基线平行或在同一平面内，共面向量的基线可能相交、平行或异我们，对空间任意两个向量，它们总是共面的，但空间任意三个向定共面了。例如，在以下图中的长方体，向量A3、AC、AD,无论怎样平移都不能使它们在同一平面内。(2)共面向量定理共面向量定理：如果两个向量。、力不共线，那么向量C与向量、b共面的充要条件是，存在唯一的一对说明：在证明充要条件给出了平面的向两个不共线的平面向的另一种形式，可以理可证明点线共面、实数x,y,使C=W+地。条件问题时，要证明两个方面即充分性和必要性。共面向量的充要量表示，说明任意一个平面可以由量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又是共面条件借此共面条件化为向量式，以便我们的向量运算。利用共面向量定线面平行等。三个向量共面，又称做三个向量线性相关。反之，如果三个向量不共面，那么称做三个向量线性无关。知识点三空间向量分解定理(1)空间向量分解定理：如果三个向量。、b、C不共面，那么对空间任一向量P,存在一个唯一的有序实数组X,y,z,使"=m+yZ>+xc。C的线性组合一个基底，记作(3)空间向量表示出空间任意一(2)如果三个向量、b、C是三个不共面的向量，那么、b、Xa+yb+zc能生成所有的空间向量，这时。、b、C叫做空间的,c,其中、b、C都叫做基向量。根本定理说明：用空间三个不共面的和向量组,Ac可以线性个向量，而且表示的结果是唯一的。空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底。由于O可看做是与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是0。要明确：一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念。典型例题分析题型1概念问题【例1】设x=+力,y=b+c,z=c+a,且,Ac是空间的个基底，给出以下向量组：,b,x,h,y,txty,zt(三)a,x9y,x,y,z+O+c0其中可以作为空间基底的向量组有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析正确理解向量的基底与基向量。答案如下图，设=AB,6=/1.41,c=AD,那么X=A氏y=A。，z=AC,+b+c=AC,由A、Bi、CsD四点不共面，可知/、y、Z也不共面，同理可知、b、C和工、y、z、a+b+c也不共面。/.选D.方法指导能否作为空间的基底，即是判断给出的向量组中的三个向量是否共面。充分利用一些常见的几何体，如：正方体、长方体、平行六面体、四面体等可以帮助我们进行直观判断，即模型法的应用。【变式训练1】设。、b、C是三个不共面向量，现从+Z?,-Z?,+c,b+c,+8-c中选出一个使其与。、b构成空间向量的一个基底，那么可以选择的向量为o【答案】。题型2共线向量定理的应用【例2】空间三个不共面的向量，假设=3加一2-4p,b=(x+)m+yn+2p,且/?,求实数x,y的值。解析解决向量共线问题的依据是应用共线向量的充要条件，即人=M(HR),且;I是唯一确定的实数及a0o答案因为b,所以b二九r(4R),即(+)7：+2p=3m-2n-4沏。-42=2,由于向量中,不共面，所以，-24=y,3=x+,Z5解之，得J2'故实数,y的值分别为-1,1。y=1.规律总结待定系数法也可以用来解决空间向量中的有关问题。在解决此题的过程中有两个关键：一是运用共线向量的充要条件得到相应的关系式；二是根据空间向量定理的推论得到关于儿x,y的方程组。【变式训练2】空间三个非零向量。、b、C满足+b=3c,a-b=5c,判断向量。与Z?是否平行。,c+b=2>c答案因为，Ua-b=5c所以±绍得：。=4。,二得:b=-c,所以。=-4，故由共线向量充要条件得：cHb022【变式训练3】向量。、h,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,那么一定共线的三点是()A.A、B、DB.A、B、CC.B、C、DD.A、C、D答案BC+CD=BD=-5a+6b+7a-2b=2a+4b=2AB。所以BD/AB,所以A、8、。三点共线。题型3共面向量定理及应用【例3】A,B,C三点不共线，对平面ABC外一点O,确定以下各条件中的点P是否与点A,B、COP=IOa-IOB-OC.2112,一定共面，(1)OP=-OA+-OB+-OC;555解析由共面向量定理知，要证明P,A,3,C四点共面，只要证明存在有序实数对(x,y)使得AP=XAB+yAC.2*1*2*答案(1)共面。OP=WoA+2O3+WC,555,*31-21,>1/12/,1.2*12,*.()P-OA=-OA+-OB+-OC=-pB-OA+-pC-OA=-AB+-AC,即4P=-A8+-AC.5555v75v75555丽主衣不共线，.而,通公共面且具有公共点A,从而P,A,B,C四点共面。(2)不共面。如果P与A,B,C共面，那么存在唯一的实数对(x,y),使得而=X而+丁元，对平面A6C外一点O,有而一苏二x(而一苏)+)依苏)，即而=(1%)g+_¥丽+历，与原式比i-x-y=2,拟得(x=-2,此方程组无解，故A,B,C,P四点不共面。J=T规律总结判断四点共面，除了此题中的解题方法外，还可以用其变形，即：空间一点尸位于平面ABC内的充分必要条件是存在有序实数对(x,y),使得对空间任一定点O,有而=5X+x布+yZ6;或假设四点P,A,B,C共面，那么对空间任一定点O,有OP=xOA+yOB+ZOc(X+y+z=1)。【变式训练4】假设是三个不共面的向量，试问向量0=34+262+63，=一G+02+3e3,c=2q-e2-41是否共面，并说明理由。答案令必3,+2g+e3)+y(，+/+3s)+z(2e-g-4%)二°，亦即，(3x-y+2zk+(2x+y-z,2+(%3y-4z13=O，因为勺,，是三个不共面的向量，3x-y+2z=0,2x+y-z=Oi,解得x+3y-4z=0,X=Ty=7、z=5,从而=7j+5c,Z?,C三个向量共面。【例4】求证：三向量=e/=3q-202,c=2e+3/共面；假设=力+“C,试求实数优,的值。解析要证明三个向量。=q+6,力=34-2e2,c=2q+3/共面，可以利用向量共面定理的推论，证明存在三个不全为零的实数4",y,使得而+9+兀=。即可。答案a-jub+c=(el+2)+(3q2/)+y(2q+3/)=(2+3+2)el+(几一2+3)e2如果,适合方程组+3+2y=0,-2÷3/=0,那么就能使力2+"?+妙=O,=-13t,而显然上述方程组有无数组解=f,其中rR°X=5r,于是有一13柩+#+5%=0,所以，,"c三向量共面，并且可得=-b+上c。1313故所求的实数加=-,二»。1313规御总结事实上，对于任意两非零向量q,«2，那么。=4。1+,2,8=44+4202，。=44+462(4,4,4，2，"3£扭)总是共面的。从此题的解法中不难发现，其解题方法是一箭双雕，即在证明,b,c三向量共面同时，只要对结论稍作变形就得到了加与的值。另外，面对解题过程中关于Z",y的方程组有数组解的情况，假设不能利用其中的一组解，或者是获得§与与的值，就不能就得所求的阳与的值。【变式训练51,b,c是三个不共面向量，假设,b,c的起点相同，那么当实数f为何值时,a,b,tc反：(+8+c)的终点共面？(1)OB、而C解析(苏、丽、答案由于a,b,fc及;(+b+c)的终点共面，所以等价于b-/c-及:(+b+c)。共面，于是，设a(b-a)-(tc-a)-a+b+c-a=O,4所以_。_夕_:/)4+(。+；卜+少+；=0.故有方程组1+2=0,有解，4第+4=0，4(1)+(2)得：=-,由(3)得：=-,所以-二4，即/=!.24r4r22题型4空间向量分解定理及应用【例5】如右图所示，平行六面体OABc)-OAbCtAOA=a,OC=by=c,用1,C表示如下向量：O7B.AC；H分别是侧面BB,C,C和O,A!B,C的中心)。OA.OB.无不共面，可作为空间的一个基底，其他向量用OC)表示出来。答案(1)OB=OB+BB=OA+OC+OO=a+b+c,B=OV+OB=+OA+OC=c+a+h=a+b-c,A,=AC+CC,=AB+A+AA,=OC+AA,-OA,=b+c-a0GH=G-OH=-+OH=-pB,+Oc)pB,=-(«+/?+c+/?)+(«+/?+c+c)=-(c-/?).规律总结在平行六面体中，从同一顶点出发的三条棱所对应的向量都可作为基底。向量法的关键就是用表示未知，然后进行向量的运算。【变式训练6】如图，空间四边形OABe中，G、H分别是A48CAO8C的重心,设OA=a、OB=b,OC=c,试用向量、b、C表示向量GH。答案由GH=OH-OG.v0H=-D=-×-(B+c)=-(Z7+e),332、73v7OG=OA+AG=OA+-AD=OA+-pD-OA33v7=-OA+-×-pB+OC=-a+-(b+c),332'733v7.丽=ge+c)-g-g0+c)=f,即而=_卜.题型5综合应用【例6】如下图，旦F,G,H分别为正方体ABeo-Al用GA的棱AI耳，A2,与G，。ICl的中点。求证：(1)E,£0,8四点共面；(2)平面AE/平面5O”G。解析由其面向量定理可知，要证明E,ED8四点共面，只要证明存在有序实数对羽y使得访=M丽+y而即可；要证明平面AEF7/平面3。4G,只要证明平面AE尸内的两条直线平行于平面5。"G内的两条相交直线即可。答案-ED=EB+BD=EB+BDl=EB+2EF,.访,丽,丽共面且具有公共点E,.瓦尸,0,6四点共面。瓦尸,G,H分别是A综AAqGQG的中点,=-=GH,7f=AA1+AF=BBi+Bfi=BG,/.EFHGHyAF/BG,.EF平面BDHG,4/平面8£>”6,又AFnE尸=F,.平面AEF平面3O”G。方法指导(1)要证明区尸,QB四点共面，也可以证明E/7/8D,也即只要证明：BD=AEFo丽=而一通=丽一漉=2乖一2乖=2每万一章)=2赤，丽丽共线,又；BD,EF不重合,：.BDHEF,即瓦RRB四点共面。(2)要证明两平面平行，只要证明一平面内有两条相交直线平行于另一平面。转化为向量问题即是要证明，一个平面内两条直线对应的向量分别与另一平面内的两条相交直线所对应的向量共线即可。【变式训练7】EEGH分别是空间四边形ABCo的边A3,5C,CROA的中点,(1)求证：E,F,G,H四点共面；(2)求证：BD”平面EFGH。答案(1)如图,由题意知丽=1.而且就=1.而t.EH=FG四边形EHGF是平行四边形，22:.E、F、G、”四点共面。(2)由(1)知丽=,而t.EHBD,即3。石”,又3力0平面ER7”,EHu平面EFGH,2.BD平面EFGH。规律方法总结(1)0与任一向量。是共线向量。向量的平行(共线)不具备传递性，即假设。人，。C不定有Zc。但当。为非零向量时，平行(共线)的传递性将成立，即假设。工0,ab,ac,那么Zc0(3)在共线向量定理中，AwO不可去掉，否那么实数几就不唯一。(4)如果。、b共线，那么p=x+效不是p、a、匕共面的充要条件。原因是：假设。、匕共线,那么P与a、匕一定共面。当P与。、匕不共线时，p无法写成必+劝的形式；当P与a、匕共线时，虽然可以写成P=M+)力的形式，但实数对x,y不唯一。(5)利用空间向量的分解定理时，不可无视条件中三向量“,b,c不共面的条件。(6)证明两向量共线的方法：首先判断两向量中是否有零向量。假设有，那么两向量共线；假设两向量。,b中,80,且有=H(xR),那么。，力共线。(7)判断三向量是否共面的依据：共面向量定理是判定三个向量是否共面的依据，要证明三个向量,b,c共面，只需存在一对实数x,y,使=xb+yc就可以了。在证明时要结合空间图形，假设通过运算得不出4,b,c的向量等式，x、y就不存在，a,b,c就不共面。但一定要注意：三个向量共面是指它们所在的基线平行于同一平面或在同一平面内，并不是指它们的基线一定在同一平面内，利用此定理可以证明四点共面。(8)空间向量根本定理的应用方法：选定空间不共面的三个向量作为基向量，用它们表示指定向量时，要结合图形，联想相关的公式和运算法那么等表示出与指定向量接近的向量，再变形整理直至符合目标。定时稳固检测根底训练1.设M是AABC的重心，记=8C,b=CAc=AB,a+b+c=0,那么AM为()b-cBc-bD.c-b1(下能表示向量OP的为【答案】D(点拨：M为AABC重心，那么而=2l(l+Ac)32172.如下图，A,8,C三点不共线，P为一定点，。为平()A. OA+2AB+2ACB. OA-3AB-2ACC.OA-3AB-2CD.OA+2AB-3C3.以下命题中真命题空间中的任何一个空间中的任何一个空间中的任何一个【答案】C(点拨：根据4、B、C、P四点共面的条件即可求得：AP=xAB+yAC.即OP=O4+尤48+)，4。，由图x=3,y=-2.)的个数是()向量都可用。,瓦C表示向量都可用基向量”,"c表示向量都可用不共面的三个向量表示平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】C(点拨：正确的命题是。)4 .向量(o,b,c)是空间的一个基底，从,b,c中选哪一个向量，一定可以与向量=+b,夕=。一人构成空间的另一个基底()A.aB.bC.cD.不存在【答案】C(点拨：设zc=p+yc,那么ZC=Ma+)+)(-)=(x+y,+(x-y»因C)为基底，只能有X=y=Z=0.)5 .如下图，空间四边形OA3C,其对角线为OB,AC,、N分别是OABC的中点，点G在线段MN上，且分MN所成的定比为2,现用向量OAO民OC表示向量OG,设OG=XOA+yO3+zOC,那么x,y,z的值分别是()A. x=",y=,z=3J3B. x=,y=,z=33C. x=-,y=,z=36D. x=-,y=-,z=63MG*1-2【答案】Dl点拨：由誓=2,知OG=O例+MG=±OA+*N1 1111=-O+-OB+-OCx=-,V=Z=-.63363能力提升6.空间四边形043C中,=a履=b反=C,点M在OA上，且OM=24,N为BC中点,那么丽为（）【答案】Bl点拨：MN=MA+AB+BN1 *1*1*=OA+-OB+-OC.)2 22-12,*7.A5,C三点不共线，O是平面ABC外任一点，假设由0P=04+OB+；IOC确定的一点P与A,8,C53三点共面，那么；I=O2122【答案】(点拨：由P与AB,。三点共面，.1.+-+4=1,解得4=.)1553158 .在长方体4片GR中，假设E为矩形ABCo对角线交点，那么AE=AA+m8+wA中的,y值应为X=，y=。【答案】(点拨：AE=A4+4E=AA+g(AB+4)=A4+g(AA+A8j,.=y=g.)9 .如下图，长方体AG中，用为Dq的中点，N在AC上，且AN:NC=2:1,E为3河的中点。求证:A,E,N三点、共线。.yy.【答案】设AB=a,AO=6,A4=C,那么AN=AN-AA=-AC-AA,=-AC-AAi=g(+c,AE=g(A8+AM)=g,8_AA)+(A_AA)2(<7-c)÷(/?+-C-C=l,÷lUc.224.溟=!嘉.故A,E,N三点共线。10 .如下图,E,F,G,H,K,1.分别为正方体ACI的棱AvA&8C,CG,CQ,4。的中点，求证:EF,GH,K1.三线共而。【答案】设筋=。,诟=6,恐=C,那么无=g港=g向羽)=g(-G)。丽二；西=g福=g(0+c)11*1、K1.wGA=CA=-AC=-(d+/?).EF=-GH-K1.故EF,GH,K1.共面。