人教版选修21第三章直线与平面的夹角讲义.docx

案例二一精析精练0映了三个角的余弦值之间I,因为仇和。都是锐角，在平面内的射影所成的角,知识点二斜线和平（1）定义:斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）.课堂合作探究重点难点突被知识点一公式COSe=Cos6cos/如右图,OA是平面a的一条斜线,AB_1.a,那么OB是OA在平面a内的射影，设OM是a内通过点的任意一条直线,OA与OB所成的角为仇,OB与OM所成的角为氏,OA与OM所成的角为。，那么有COSe=COS仇cos。?,我们简称此公式为三余弦公式，它反的关系.在上述公式中，因为0cos2Wl,所以COSe<cosd所以夕WO,由此我们可以得到最小角定理:斜线和它是斜线和这个平面内所有直线所成的角中最小的角.面所成的角TT（2）斜线和平面所成角的范围：（0,）.2JT（3）直线和平面所成角的范围：0,上,其中当一条直线与一个平面垂直时，这条直线与平面的夹角为，当一条直2线与个平面平行或在平面内时，这条直线与平面的夹角为0.（4）直线和平面所成角的求法:几何法：用几何法求直线和平面所成角的步骤：i）我（或作）出直线和平面所成的角；ii）计算，即解三角形；iii）结论，即点明直线和平面所成角的大小.向量法:假设直线AB与平面a所成的角为氏平面a的法向量为n,直线与向量n所成的角为。，那么O+0=,利用向量的夹角公式求出cos=“W,再根据sin。=cos求出。利用公式CoSe=COS&cos?求解.I亚典型例题分析题型i几何法求直线和平面的夹角【例1】如下列图，在长方体ABCD-AiBlC1D1中，AB=4,BC=3,AA=5,试求BDl与面A1BCDi所成角的正弦值解析作出Bl点在平面ABCDl上的射C影,从而得到BD在平面上的射影.又因为平面AEDJ_面ABCa,故只要过B1作A1B的垂线，垂足就是B1的射影.答案作BE1B,又因为AlDIl.平面BBl,A1D1IBiE.由BiElA1B及BiEXA1Di得知BF_1.面AIBCDb所以,OE就是DB在平面AiBCDl上的射影,从而ZB1D1E就是D1Bi与面AlBCDl所成的角.在RtBlD1E中，有SinNBDE二且1.上的射影.DE但DIBI=JA欧+A。：=J15+9=5,又SM明=；ABEB1=-AiBiBB1,A1B=25+16=14,44141E4×520M=zr20SinNBIDIE=-1415方法指导如果随意地在直线BD上取一点，然后过这一点向平面ABCDl作垂线，虽然也可以找出直线BD和平面ABCDl所成的角，但面临的一个问题是如何求出这个角，因此“作、证、求三者是紧密联系在一起的,必须系统地统筹考虑.【变式训练1】直角三角形ABC的斜边BC在平面a内，直角边AB,AC分别和a成30°和45°角.求斜边BC上的高AD与平面a所成角的大小.答案如下列图，作Ao_1.a,0为垂足，连结OB,0C,0D,那么NABO,NACO,NADO分别为AB,AC,AD与a所成的角，那么NABO=30°,ZAC0=45o.h,B=2h.B三c*g=Ah.BC3SinZADO=-=-,ZD0=60°.AD2的大小为60°.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，求直解析在确定A在平面上的射影时，既可以利用线面垂直，也可以分析四面体Ai-ABD的性质.答案解法一：连结AC,设ACnBD=O,连结AQ,在aAjAO内作H±lO,H为垂足.设AO=h,那么AoJBC=6h,RtOD中，AAD与平面a所成的角【例2】如下列图所示,线AAl与平面AlBD所成的角.“A，平面ABCD,BDu平面ABCD,A1A±BD.又BD_1.AC,ACA1A=A,BD±jFSlD,BD±H.又AHJ_AOAQCBD=O,，AHJ_平面ABD,ZAAiH为斜线AA与平面AiBD所成的角.ORtAO中，AiA=1.AO=,/.AiO=.V：A1AAO=A1OAH,=且"TsinNAAa空A1A3ZAAH=arcsin.3，A】A平面AlBD所成角的大小为arcSinY3解法二：.AA尸AD=AB,，点A在平面AiBD上的射影H为AAiBD中心，连结AiH,那么AIH为正AABD外接圆半径,7正aAiBD边长为2,.*.AiHzz2二.33»/A.H6RtAH中，cosNAAiH=-.AA3NAAiH为AAl与平面AIBD所成的角,AiA与平面AlBD所成角的大小为arcsin.3解法三：同解法二分析,AH为NBAJ）的平分线，ZBAH=30o,又NAAlB=45°,由最小角原理公式cosZAAB=cosZAAiHcosNBAH,得cosZAAiH=cosZAAlBcosZBA1/cos45o6cos30o3ZAAH=arccos3方法指导在研究空间图形时,根本元素的位置关系和数量关系是密不可分、相互转化的.解法二在数量关系AAi=AD=AB的根底上，得到A在平面A1BD上的射影的性质，解法三在找到根本图形三棱锥A1.ABD后，利用最小角原理公式，最小角原理公式是立体几何的重要公式之一，解法三利用该公式，解法简捷明了.【变式训练2如下列图.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,侧棱PD_1.底面ABCD,PD_1.DC,E是PC的中点.(1) 证明PA平面EDB；(2) 求EB与底面ABCD所成的角的正切值.答案连结AC,AC交BD于0.连结EO.T底面ABCD是正方形，点。是AC的中点.在NAC中，EO是中位线，PAEO.而EOC平面EDB且PAC平面EDB,所以PA平面EDB.作EFXDC交DC于F,连结BF,设正方形ABCD的边长为a.PD_1.底面ABCD,.PD±DC.EFPD,F为DC的中点，EF_1.底面ABCD,BF为BE在底面ABCD内的射影,故NEBF为直线EB与底面ABCD所成的角.在RtBCF中，BF=7bc2+CF2AEF=-PD=-,22aEF5V5：.在RtEFB中，tanZEBF=-=.BF55a2所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为题型2向量法求直线与平面的夹角【例3】在以边长为1的正方体ABCD-AIBlCD中，E和F分别是BC和CD上的点,BE=CF=-,试求EF与平面AlBD所成的角的余弦值.3解析如下列图建立恰当的空间直角坐标系，用坐标向量及平面的法向量求解.r.答案以A为原点，分别以赤，前，萩方向为X轴,y轴,z轴的正方向而建立坐标系，如上图所示，那么12Ai(O,O,1),B(1.O,O),D(O,1,O),C(1,1.1),E(1,-,O),F(-,1.1)._33Xq=(1,1,1),0,-1),(0,1,-1).由于AGAB=(I,)(1,0,-1)=1-1=0,/.C;±4,Xq.而=(Ijj)(o,-)=-=o,：.Xq±Ad,，记_1.平面A1BD,故布是平面1BD的法向量.12.124,J4/又EF=(：，D,EF-Aq=(-,-,1)-(1,1,1)=-,IEF=-JAC1=3.3313333,_.3.尸尸ar4记。为EF与AC之间所成之角那么CoSe=Fz=j1.=/-=-7=Hc'平6E*JT以。记EF与平面AIBD所成之角，那么夕二一0,：.COS=O=COS(y-)=sin¢7=l-COS2ab同网规律总结利用向量法求直线与平面所成角的解题步粟可以分解为:根据题设条件，图形特征建立适当的空,进行计算，其中向间直角坐标系；得到相关点的坐标，进而求出相关向量的坐标；利用分式cos<a,b>=量a是直线的方向向量,b可以是平面的法向量，可以是直线在平面内射影的方向向量；将(a,b)转化为所求的线面角.这里要注意的是：平面的斜线的方向向量与平面法向量所成的锐角是平面的斜线与平面所成角的余角.【变式训练3】如下列图所示，直角梯形ABCD,其中AB=BC=2AD,AS_1.平面ABCD,ADBC,AB_1.BC且AS=AB.求直线SC与底面ABCD的夹角的余弦值.答案由题设条件知,可建立以AD为X轴,AB为y轴,AS为Z轴的空间直角坐标系，如下列图所示,设AB=I,那么A(O,O,O),B(O,1,O),C(1,1,O),D(-,O,O),S(O,O,1).2，斤=(0,0,1),在二(-1,-1,1).显然诟是底面的法向量，它与向量在的夹角B=90°-。，故有sin。=CoSB=望=3=g于是ASCS1×33cos=Vlsin2=.3【例4】如下列图，在直三棱柱ABC-ABC中，底面是等腰直角三角形，NACB=90°,侧棱AAl2,D、E分别是CCi与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是aABD的重心G.R求.B与平面ABD所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)解析求线面角关键在于找到平面的一个法向量，法向量与直线所在的向量夹角的互余的角，即为所求的角,因此结合图形的特征，可以先建立空间直角坐标系，求出平面ABD的法向量，再按公式求解.答案以C为原点,CA所在直线为X轴建立空间直角坐标系，设AC的长为a,那么A(a,0,0),B(0,a,0)D(0,0,l)Al(a,0,2,)那么点G(一,一,),E(一,一,1).由于E在面AB叱的射影为G电产以GE_1.面ABD.又丽=(a,0,T),B-(-a,a,0)/7/72GE=(-t-,-),tiiAB-GE=O及6632-7/°，DA-GE=O可得,I解得a=2.aaa+=0,66*Q42119.取GE=(2，2,±)=(±,2,W,)为平面ABD的法向量，AB=(-2,2,-2).设AB和平面ABD所成的角为氏663333.当厂3=成2+22+223故所求AlB和平面ABD所成的角为arin2方法指导此题也可以不用向量方法求解，而用传统的几何方法求解，但处理的过程不像向量法简单直接.请读者用传统方法试着处理一下.规律方法总结(1)利用平面a的法向量n求斜线AB与平面a的夹角。时,应注意关系，sin6=cosM,n),其中60,-,不要认为族，n或就，n就是。角；2(2)求直线与平面夹角的常见方法：当直线与平面垂直时,直线与平面所成的角为90°,当直线与平面平行或在平面内时，直线与平面所成的角为0°当直线与平面斜交时，用以下三种方法求角：方法一：定义法：在直线上任取不同于斜足的一点作面的垂线，确定射影,找出斜线与平面所成的角，通过解三角形求得；方法二：向量法：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由向量夹角公式，求出法向量n与斜线对应向量的夹角6（锐角），那么所求线面角为卫-。；2方法三：由公式COSe=COSelCs',求斜线与平面所成的角.定时稳固检测根底训练1 .平面的一条斜线和这个平面所成角。的范围是（）A.0o<J<90°B.0o09OoC.O0<90D.0o<<180o【答案】A（点拨：由与平面相交但不垂直的直线为平面的斜线知0。<8<90。.）2 .一条直线与平面a所成的角为30°,那么它和平面a内所有直线所成的角中最小的角是（）.30oB.60oC.90oD.150°【答案】A（点拨:此题考查最小角定理，斜线与平面所成的角是斜线与平面内直线所成角中最小的角.）3 .如下列图，正方体ABCD-A1B1C1D1中BG与对角面BBDD所成的角是（）A.ZC1BB1BZC1BDC.ZC1BD1D.ZC1BOC.重心【答案】B（点拨：由于P出发的平面ABC的斜线段也都相等，故点P是7.从同一点0引出不共面的夹角为【答案】D（点拨：TO是点Ci在平面BB1D1D上的射影，,BO为BG在平面BB1D1D内的射影.NClBO为所求.）4.PA1PBtPC是从P点引出的三条射线，每两条夹角都为60°,那么直线PC与平面APB所成角的余弦值为（）A.1BWC.也D.旦2332【答案】C（点拨，设PC与平面APB所成角为。，那么由COS60。=CoSecos30。得COSe=93.）35.正方体ABCD-A1B1CiD1中，0为侧面BCCB的中心，那么AO与平面ABCD所成角的正弦值为（）.3r1r6n3A.B.-C.D.3262【答案】C（点拨：取BC中点M,连M,OM,易知NoAM即为AO与平面ABCD所成的角,可求得SinZOAM=-.）6能力提升6.如右图所示，点P是aABC所在平面外的一点，假设PA、PB、PC与平面a所成的角均相等，那么点P在平面a上的射影P'是aABC的（）A.内心B.外心D.垂心PA、PB、PC与平面a所成的角均相等，所以这三条由点相等，故它们在平面ABC内的射影P'A、PzB、P'CBC的外心，因此,应选B.）/三条射线OA,OB,OC且两两成60°角，OA与平面BOC的【答案】arccos43(点拨：设OA与平面BOC的夹角为。，由上述分析可得COS60°=CoSecos30°,即CoSe3/7=,所以OA与.平面BOC的夹角为arccos.)338.正方体ABCD-A1BiC1Di中，M、N分别是AB、C1Di的中点，求AB与平面A1MCN所成角的大小.【答案】法一：分别以DA,DC,DD所在直线为X轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系如上图，设正方体的棱长为1,那么A(1,O,1),M(1,；,D,N(0,g,l),B(l,l,1),所以丽=(OJ,0),丽翁0).设平面AiMCN的一个法向量为n=(x,y,z),那么有，竺得n-1.A1M,令y=2,那么X=Z=I,所以n=(l,2,1).cos<A1B1,n)=-x+l=o,2rz=°261×63所以直线AIBl与平面AIMCN所成的角为arcCOS显3MN,BCADAC,如右图、所示，由三垂线定理可得法二：连接以MNJ平面ABCD,又MNU平面A1MCN,所以平面ANCNi.平面与平面A1B1CD的交线是MC,故点氏在平面A1MCN内的射影在ZB1A1C就是AB与平面A1MCN所成的角，在RtABiA1CH-=,即A1B1与平面A1MCN所成的角的大小是A蜴9.如右图在矩形ABCD中，2AB=BC,沿对角线AC将ACB折起到ACB'的位置，使平面ADB'_1_平面ACD.ACB,_1.平面CBD；(2)求AD与平面ACB'所成角的大小.CDlAD平面A。*_1.平面ACD平面Ao8'D平面ACo=Ao=CD_1.平面ADB'=平面ACB'_1.平面CB'D.DM【答案】MNJ1.BC,所ABED,又平面AiMCN直线AlC上，所以中，tanNBAC=2.(1)求证：平面(2)作DEJB'C于E,连接AE.如图，由知平面ACB'_1.平面CB'D,所以DE_1.平面ACB'.所以NDAE为AD与平面ACB'所成的角.设CD=I,那么BC=2,在RtZB'DC中，NCDB'=90oBC=BC=2,CD=I,所以B'D=百，所以DE=BD,CD3CB,23所以在RAiAED中，SinNDAE=Sg=上,故直线AD与平面ACB'所成的角为arcsin=.AD24410.P是aABC所在平面外一点,PA,PB,PC两两互相垂直，且PA=IO,PB=8,PC=6,求PA与平面ABC所成的角.【答案】VAP±PB,PA±PC,P!-PBC,P1BC,过A作ADlBC于D,连接PD,那么BCJ_平面PAD,过P作Po±AD于0.APO±AD；BC±PO,P0±ABC,ZPAO就是PA与面ABC所成的角，;PB=8,PC=6,24.PBPC24/T12BC51025.BC=IOfPD=二，tanNPAD=q"=,12因此PA与面ABC所成的角为arctan.2511.如下列图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,ADBC,/BAD=90°,PA_1.底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.求:CD与平面ADMN所成的角.【答案】建立如下列图所示的空间直角坐标系Axyz,设PA=2,那么P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,l,0),那么尸5=(2,0,-2),AD=(0,2,0),DC=(2,-1,0).因为PB-AD=(2,0,-2)(0,2,0)=0所以PBjJu).又因为由三垂线定理可得PB1.DM,所以PBJ_平面ADMM因此而，反的余角即是CD与平面ADMN所成的角.因为COS(PB,DC);二-,所以CD与平面ADMN所成的角为arcsinpDC55