人教版选修21第二章双曲线双曲线的几何性质讲义.docx

案例二精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一双曲线的几何性质(1)范围、对称性/V2由标准方程-y-%7=l可得fq2,当N时，y才有实数值；对于y的任何值，X都有实数值。这说明从横的方向来看，直线X=X=之间没有图象，从纵的方向来看，随着X的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。(2)顶点顶点：1(tz,),A2(»0),特殊点：B(0,Z?),B2(0,b)0实轴：长为2。，。叫做半实轴长；虚轴：BB?长为2b)叫做虚半轴长。工22如右图所示，在双曲线方程F-J=I中，令y=0得x=±,故它与X轴有两个交点A1(一,0)，abA2(,0),且X轴为双曲线一方=1的对称轴，所以4(一兄0)与4(O,0)其对称轴的交点，称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其犷?力，对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段HA2叫做双曲线接一营=1的实T*'轴长，它的长是为。/在方程YV2r2T=I中，令X=O,得y2=/，这个方程没有实数根，说明双曲线和yy轴没有交点。但y轴上的两ab个特殊点隹(0,一。),与(。，。)，这两个点在双曲线中也有非常重要的作用把线段四层叫做双曲线的虚轴，它的长是北，要特别注意不要把虚轴与椭圆的短轴混淆。双曲线只有两个顶点，而椭圆那么有四个顶点，这是两者的又一差异。(3)渐近线2y2如上图所示，过双曲线r2T=I的两顶点4，42,作y轴的平行线X=M,经过B,当作X轴的平行线aby=±b,四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线方程是y=±2('±2=(),这两条直线就是双曲线的渐近线。要证明直线y=aab二j是双曲线£一夕1的渐近线，即要证明随着X的增大，直线和曲线越来越靠拢接近，也即要证曲线上的点到直线的距离越来越短，因此把问题转化为计算IMq,但因IMQ不好直接求得，因此又把问题转化为求IMNI。显然MQ<MN=-x-yx2-a2,当W无限大时，MQ00对圆锥曲线而言，渐近线是双曲线具有的性质。特别地，等轴双曲线的两条渐近线方程为y=±x,它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角。知识点二有共同渐近线的双曲线方程具有相同渐近线的双曲线方程为与-5=4(l0,lR)°当4>0时，焦点在X轴上；当l<0时，焦ab点在y轴上。X2v2(1)求双曲线三一彳=1的渐近线方程，一般采用两种方法，即：ab代入y=±2得渐近线方程。a2y22y2b令彳-4=°得r±4=°，即y=±'x。此法简明有效。ababa(2)反之，假设双曲线一条渐近线方程为y=±2,a.22即y=±2=0,那么设双曲线方程为三一=%(l0)°aa-b典型例题分析题型1由双曲线的方程研究其性质【例1】求双曲线9y2-16=144的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，顶点坐标，离心率，渐近线方程。解析由方程研究曲线的性质，应首先化为标准方程。答案双曲线方程9y2-i6=M4可化为反工二1。169.实半轴长。=4,虚半轴长匕=3,焦点坐标为(0,-5),(0,5),顶点坐标为(0,-4),c534(0,4),离心翠为e=±=3,渐近线方程为x=±±y,即y二±±x°a443规律总结由双曲线方程求渐近线方程时应正确应用公式，也可将双曲线左侧因式分解，使因式分别得零也可。【变式训练1】求双曲线4)，29%2=36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程。v22答案将4/-9/=36变形可2=1,94.,a=3,=2,c=13顶点A(O1.3),A2(,3),焦点巴心一行)工(0,711),实轴长2。=6,虚轴长2/?=4,离心率e=W,渐近线方程为y=±x0【例2】椭圆二3mV2+上7=1和双曲线5n2m2+W=I有公共的焦点，那么双曲线3n2的渐近线方程是A*±结2B"±争百C.x=±y4.解析先确定焦点，确定加、的比值。由双曲线方程判断出公共焦点在X轴上，.椭圆的焦点(x3tn2-5n2,0),双曲线焦点(>j2m2+3n2,0),3m2-5n2=2m2+3,.tn2=8112o又.双曲线渐近线为y=±4gx,刎j3.,.代入机2=82,帆=2，得y=±q-,应选D。答案D规律总结求渐近线时应注意对渐近线的两种不同公式的应用。【变式训练2】假设点P在双曲线/一卷=1上，那么P到双曲线渐近线的距离的取值范围是O答案双曲线的一条渐近线方程是3x-y=0,由渐近线的性质知，当尸点是双曲线的一个顶点时，P到渐近线的距离最大，双曲线的顶点坐标是(±1,0),.p到渐近线的距离最大值为里1=对°l10故P到双曲线渐近线的距离的取值范围是(o,MQoI10J题型2由双曲线的几何性质确定其方程【例3】求与双曲线5一。=1有共同的渐近线，且经过点”(-3,2百)的双曲线的方程。解析双曲线且一上二1的渐近线方程是£±2=0,可设出双曲线的方程，将点M的91634坐标代入，即可求出方程。X2V2答案设所求双曲线方程为二-2-916=(20),由于双曲线过点m(-3,2J),有义=(-3)2(2=19一16-4故双曲线方程为2=一,即不2=1。916494422方法指导(1)与双曲线二-2二1有共同渐近线的双曲线方程可设为ab夕一营=4(4WO)的形式。(2)此题中/1的值为正时焦点在X轴上，为负时焦点在y轴上。【变式训练3】一椭圆的方程为+1=l(>b>0),焦距为2何，假设一双曲线ab与此椭圆共焦点，且它的实轴比椭圆的长轴短8,双曲线的离心率与椭圆离心率之比是5：1,求椭圆和双曲线方程。一"二4,答案设必各为双曲线的实半轴、虚半轴长，依题意有：“Jidlfio>5:1,解这个方程组，得于是,椭圆短半轴长=1/一。2=JF,双曲线的虚半抽长Z/=户工方=3,故椭圆、双曲线方程分别是i+Z=1,-Z251593【例4】如果双曲线的渐近线方程是y=±jx,求离心率。解析欲求离心率，只需求得,c关系即可，注意渐近线的位置。答案方法一：假设双曲线焦点在X轴上，设方程为一4=1（。>0,6>0）。ab由题意知2=3,Xvc2=a2+Z?2,a45:.e=o422假设双曲线焦点在y轴上，设方程为与一与=1（。>0”>0）°ab由题意知：-=-,b45.,.e=-3综上知：.e=9或.e=°43勺2222方法二：设具有渐近线y=±上X的双曲线方程为上一二二4（4WO）,即三一一2二二1。4169v,16292M755假设；1>0,焦点在X轴上，/=164/=9%,c1=a1+b1=25o:.e2=-ye=-0cr164假设；l<0,焦点在y轴上，/=9%/二一16；1,c2=a2-b2=-25,=y,5:.e=»3535.e=一或e=一。43规律总结渐近线不能确定双曲线的位置，因此不管是方法一，还是方法二，都要考虑到其位置的两种形式。22【变式训练4】设双曲线=l（b>4>0）的半焦距为C,直线/过（。,0）、（0乃）两点，原点到直线/的距ab离为Y3c,双曲线的离心率为o4答案直线/的方程为2+上=1,即打+砂一。6=0。ab于是有丝空出=旦，即"=VTTF4两边平方得I6a2b2=3c4,.16a2(c2-a2)=3c4,解得e?=4或/=&,3b>a>0,.->,a-.*.e2=1H->0,故/=4,.e=2oa-a-题型3渐近线求方程【例5】双曲线渐近线的方程为：2x±3y=0°(1)假设双曲线经过P(J82),求双曲线方程；(2)假设双曲线的焦距是2布，求双曲线方程；(3)假设双曲线顶点间的距离是6,求双曲线方程。解析可设出双曲线方程的统一形式，依据题设建立待定参数方程或方程组求解。答案解法一：(1)由双曲线渐近线的方程y=±-x,可设双曲线方程为：一一-=l(三>0),3mn.双曲线过点P尸卜吊,2),w<0,w<0o2又渐近线斜率=±W,3故所求双曲线方程为:2X1-3-2y3-42222(2)设双曲线方程为：:-与=1或4-=l(>0,b>0)°a2b2a2b2v7,c2=a2+b2,.3=a2+b2o由渐近线斜率得2=2或=2a3b3b_2ft?_2故由，。3,或“力3'a2+b2=3,a2+b2=3./=9,=4,a2=4,从=9.2222所求双曲线方程为：-=1,或】1.-E=1。9449(3)由(2)所设方程可得:b2a2-=-Cly.<a3'或"63解得，2a=62a=6.：Y2y2V242故所求双曲线方程为：二一21=1或2=Io949812解法二：由双曲线的渐近线方程y=±(x°可设双曲线方程为1-?=l(40),双曲线过点p(6,2),-=,=-ov794331故所求双曲线方程为：二/一=1。43(2)假设4>0,a2=9,b2=4ic2=a2+b2=i3,由题设2c=2j万,./1=1。X2V2所求双曲线方程为：一一乙=1。94假设义<0,那么/=_4儿=一94/=/+从=-13/1,2c=213,=-1o所求双曲线方程为：-=Io942222故所求双曲线方程为：二一二=1或二一二=19494(3)假设4>0,那么2=94。由题设2o=6,.l=l.所求双曲线方程为：1一2Q假设A0,那么42=-44由题设2=6,.l=-'y242所求双曲线方程为：2=Io98122y242故所求双曲线方程为：-2-=l,或2=Io94981规律总结(1)解法一是设出双曲线的标准方程，利用条件列出独立的关于。力,c的等式，解方程组求出待定系数；(2)解法二利用了共渐近线的双曲线系，由题设条件建立参数/1的关系确定4,但应特别注意4值的符号与双曲线焦点的对应。两种解法都很重要，应认真领会。【变式训练5】是否存在同时满足以下条件的双曲线，假设存在，求出其方程；假设不存在，请说明理由。渐近线方程为x+2y=0及x-2y=0;点4(5,0)到双曲线上动点P的距离的最小值为在o答案假设存在同时满足题中的两个条件的双曲线。(1)假设双曲线的焦点在X轴上，因为渐近线方程为y=±；X,所以由条件，设双曲线22方程为J=1,设动点尸的坐标为(X»),那么4/rbAP=(x-5)2+y2=(-4)2÷5-b2,由条件，假设2bW4,即bW2,那么当x=4时，最小=Jr万=而，=_,这不可能，无解；假设2b>4,即b>2,那么当X=乃时，IA月最小=|»5|二Jd,解得b=笥反(b=i<2,应舍去)，此时存在双曲线方程为92厂r=1(2)假设双曲线的焦点在y轴上，那么可设双曲线方程为/一方=I(XR),所以AP=(x-4)2+2+5,因为xR,所以当x=4时，IAH最小=病E=而。所以。2=1,此时存在2双曲线方程为丁一二=1。4规律方法总结1 .理解双曲线的几何性质应注意离心率的范围：e>l,应区别于椭圆的离心率的范围。2 .求双曲线的渐近线方程的方法：22j22双曲线一与二1的渐近线方程为y=±2,双曲线二一=1的渐近线方程为abaahy=±-x,一般情况下，先求，再写出方程，两者容易混淆。可将双曲线方程中右边的“1"换成"0",b然后因式分解即得渐近线方程，这样就不至于记错了。2 23 .双曲线二一与二l(Q>0,b>0)°F1.%为左、右焦点，P为双曲线上的一点，设NKPF2=。，那么a"b"有：sAFiPF2-tan24 .双曲线二一三二l(>0/>0),直线/过焦点，且垂直于实轴交双曲线于A、B两点,弦AB叫通径，ab其长为之。a定时稳固检测第1课时双曲线的几何性质根底训练221 .双曲线土一匕二1的顶点坐标是()259A.(±5,0)B.仕5,0)或(0,±3)C.(±4,0)D.(±4,0)或(0,±3)【答案】A（点拨：利用双曲线特点求解。）2 .双曲线二一2二=1的离心率是（）2516【答案】C（点拨：利用双曲线标准方程求得b,c即可。）3 .双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，那么它的离心率为（）4 5.-B.-C.2D.33 3【答案】B（点拨：由等差数列可得,6,c三者方程，再由o,b,c三者关系消元即可。）4 .双曲线匕一二=1的渐近线方程为。2516【答案】y=±3（点拨：利用公式y=±g%°）4b2y245 .与椭圆一+21.=I共焦点，离心率为一的双曲线的标准方程为。259322【答案】工-2-=1（点拨：可先求焦点坐标再利用离心率求之即可。）97能力提升6.双曲线的离心率为J5,那么双曲线的两条渐近线的夹角是O【答案】90°（点拨：离心率为J5的双曲线渐近线方程为y=±x。）x2y27.设圆过双曲线2二二1的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，那么圆心到双曲线中心的距离916是O【答案】3（点拨：画出图形即可。）38.根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程。（1）过点尸（3,血）,离心率e=40，苞是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且NEP尸2=60。,Sag='26,且离心率为2。Y2V2亚r2S【答案】（1）假设双曲线的实轴在X轴上，设一2T=I为所求，由e=",得U=己。a2b12a24由点尸（3,在双曲线上，得一-=Ioa2+b2=C2,由、得/=1,/=_1。4假设双曲线的实轴在y轴上，设耳一=1为所求。abM52g17同理有、=二彳-A=1,+Z=c2,解之，得从=_：（不符，舍去）。a4ab2故所求双曲线方程为X2-4/=Io22（2）设双曲线方程为:一方=1,因周=2c,而e=5=2,由双曲线的定义，得归用TP司=2a=c°由余弦定理，得（2c）2=P2+P2-2PP¾cosZP又除时=3啊卜归闾*60。=126.3c2=48,C2=16,得a?=4,=12。故所求双曲线的方程为三一二二1。412笫2课时双曲线的几何性质的应用根底训练1.过点（2,-2）且与二一V=I有公共渐近线的双曲线方程是（）2一二一E=IB.二一E=IA.4242C.-H"=1d.-£=i2424【答】A（点拨：设所求双曲线方程为友一丁=上）X2v22.双曲线一一上-=1的两条渐近线夹角是（）48A. 2arctanVB. arctan22C. arctan2D. arctan(-2a/2)【答案】B（点拨：因为渐近线的斜率的地对值为后>1。）223.双曲线工一二=1的离心率e（l,2）,那么阳的取值范围（4tnA.(-12,0)B(-oo,)C.(-3,0)D.(-,-12)【答案】A（点拨：显然有机<0,其次有1<3三E<20）24.以下各对双曲线中，既有相同离心率又有相同渐近线的是（丫222A. y=1和=1393r22B. y2=1和y2=133C. 2-=1x2-=133，22厂2,-yX-.D. y"=和=1339【答案】D（点拨：依据双曲线的离心率定义和渐近线的求法。）能力提升225.双曲线与椭圆版2二1有相同的焦点，它的一条渐近线为y=-x,那么双曲线方程为（）A.x2-y2=96B.y2-x2=160C.x2-y2=8（）D./-x2=24【答案】Dl点拨：可先求双曲线焦点再由渐近线公式求出，b关系代入即可。）TF6.双曲线的渐近线与实轴的夹角为巴，那么离心率e是（）61023/TA.B.C.3D.233【答案】B点拨：由夹角为王知，2=空，再由/+从=H消去人可求。，c关系。）6a37.双曲线鸟+4=1(>人>0)与士一W=l(>b>0)有公共焦点耳、居，P是它们的一个公共点。abmn(1)用力主表示CoSNKPB；(2)设SAGPF2=/(")，求/(a)。【答案】令IP耳I=石、IP闾=5,/耳明=,在片Pg2中，有忻勾2=/+1-24.弓cos,.P是椭圆和双曲线的公共点，那么4+4=2,且卜一目=2根。.4c2=(/+<>)2-2rir2(+cosa),且4c?=(蜴一0)2+2耳e(1-CoSa),2b12n2rr7=:，1 +cosal-cosaOA2(2)由(1)f+r2=X-=Zj2+1121b-n"1+-5Tb+n而Sina=Jl-COea=2bnb1+n2