人教版选修21第二章直线与圆锥曲线讲义.docx

案例二-一精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系根据曲线和方程的理论，如果直线和椭圆有交点，那么交点坐标就应该同时满足直线和椭圆的方程，否那么就不满足，因此我们可以将直线和椭圆的位置关系转化为对直线的方程与椭圆的方程所联立的方程组上来，即通过考查方程组解的情况来判断直线和椭圆的位置关系，也就是：设直线方程y=kx+m,假设直线与椭圆方程联立，消去y得关于X的一元二次方程:a2+bx+c=0(a0),(),直线与椭圆有两个交点，直线与椭圆相交；二0时，直线与椭圆有个公共点，直线与椭圆相切；<()时,直线与椭圆没有公共点，直线与椭圆相离.在直线与椭圆相交的问题中，两公共点之间的距离，也即直线被椭圆截得的弦长可以用下面的公式来求取.设直线与椭圆的两个交点为A(x,y),B(x2,y2),直线方程为y=kx+m(kWO)那么IAB=(x1-X2)2+(y1-y2)2=/(x1-X2)2+(Zc+tn-kx2-ni)2=y+k2IX1-X2I或者ABl=Jl+Iy1.y2;当k=0时直线平行于X轴，B=x-2.(2)直线与双曲线的位置关根据曲线和方程的理论，如果直线和双曲线有交点.那么交点坐标就应该to同时满足直线和双曲线的方程，否那么就不满足.因此我们可以将直线和双曲线的位置关系转化为对直线的方程与双曲线的方程所联立的方程组上来,即通过考查方程组解的情况来判断直线和双曲线的位置关系，也就是：设直线方程y=kx+m,假设直线与双曲线方程联立，消去y得关于X的一元二次方程:a2+bx+c=0,当二次项前面的系数为零时，直线与双曲线有一个交点，直线与渐近线平行；当二次项前面的系数不为零时,>(),直线与双曲线有两个交点，直线与双曲线相交;=()时，直线与双曲线有一个公共点，直线与双曲线相切;<()时,直线与双曲线没有公共点，直线与双曲线相离.在直线与双曲线相交的问题中，两公共点之间的距离，也即三直线被双曲线截得的弦长可以用上面的公式来求取.直线和双曲线的位置关系的判别比拟复杂，需要耐心细致地处理，主要原因在于双曲线不是封闭的曲线.(3)直线与抛物线的位置关系的处理在处理直线与抛物线的交点问题，特别是抛物线的弦的问题时，往往采取设而不求的方法，以及直线方程和抛物线方程联立方程组，借助根与系数关系来解，可到达化繁为简的目的.这里要注意：当直线与抛物线相切时,直线与抛物线只有一个交点，当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线也只有一个交点，造成这样情况的原因在于抛物线和双曲线一样，它们都是不封闭曲线，因此在处理直线和抛物线的问题时，要关注消元后的一元二次方程的二次项前的系数以及判别式.另外,前面所提的弦长公式仍然适用.利用抛物线的对称性解题往往会柳暗花明又一村.知识点二直线与圆锥曲线位置关系的三种题型.(1)直线与圆锥曲线的交点问题常用方法是代数方法和几何方法,但在代数方法中，要注意二次项前面系数是0的情况,在几何方法中，要注意直线与圆锥曲线相切不是直线与圆锥曲线只有一个交点的充要条件.(2)与弦的中点有关的问题常用方法是韦达定理和点差法.(3)弦长问题求弦长的方法:公式法；如果弦经过圆锥曲线的焦点，可利用焦半径公式.典型例题分析题型1直线与圆锥曲线的交点问题【例1】直线1.y=kx+1,抛物线Cy2=4x,当k为何值时1与C有：(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点.解析讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，一般都将两个方程联立.y=kx+1,答案将1和C的方程联立，=4x.消去y得k2x2+(2k-4)x+l=O.当k=0时，方程只有一个解x=1.,此时y=l.4直线1与C只有一个公共点(1.,1),此时直线1平行于抛物线的对称轴.4当k0时，方程是一个一元二次方程，=(2k-4)2-4k2=-16k+16=-16(k-l).(1) 当(),即k<l,且k0时,1与C有两个公共点，此时称直线1与C相交(2) 当=()/k=l时，与C有一个公共点，此时称直线1与C相切；(3) 当<(),即k>l时，与C没有公共点，此时称直线1与C相离.综上所述，当k=0,或k=l时,与C有一个公共点；当k<l时，与C有两个公共点；当k>l时，与C没有公共点.规律总结(1)直线与抛物线相切，那么直线与抛物线只有个公共点.反过来，直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线不一定是相切的；(2)解析中方程的二次项系数带有字母,不可无视对字母k的讨论.22【变式训练1】直线1.ax+by-3a=0与双曲线、一三二1只有一个公共点，那么1共有条，它们的方程是.r2v2答案当b=0时，l：x=3,=1,99y=0,此时，1与双曲线只有一个公共点.4(3x)y=(2)当bWO时，<b4x2-9y2=36得(4b2-9a2)x2+54a2x-9(9a2+4b2)=0.2 2a.假设46。-9/=0,即=±时，只有一个公共点，此时l：y=±(3-),即3 32x+3y-6=0.b.4b2-9a20,即巴士±时,二次方程b3=542a4+36(4b2-9a2)(4b2+9a2)=36(8la,+16b¼la4)=36×16b4>0,Ji1与双曲线必有两个交点.综上所述，共有3条，其方程为x3=0或2x+3y-6=0.题型2弦长问题【例2】直线y=-4被抛物线y2=2mx(mR)截得的弦长为62,求抛物线的标准方程.解析直线和抛物线的位置关系仍然是转化为对直线的方程与椭圆的方程所联立的方程组上来，即通过考查方程组解的情况来判断直线和抛物线的位置关系；同时弦长公式仍然适用.答案由，)”得2-2(4+m)x+16=0,y=x-4,弦长=(1+2)(x,-x2)2=24(4+am)2-4×16=2y2(jn2+8帆).由22(+8m)=6,得11F1或11f-9,经检验,11F1或m=-9均符合题意.，所求抛物线标准方程为y2=2x或y2=-18x.规律总结由于mR,故Di的几何意又发生了变化,此时，Im才表示焦点到准线的距离.【变式训练2】椭圆a2+by2=l与直线x+y=l相交于A、B两点，假设IAB=2血，且AB的中点C与椭圆中心连线的斜率为YZ,求实数a、b的值.2答案设椭圆与直线交于A(x,yJ,B(x2,y2)两点，那么由<+"，可得(a+b)x?-2bx+bT=0.所以x1+x2=+y=U*,x+x2=-,所IAB=Jl+（-I）2IXi-XiI=22"+"=2J,得（a+b）Ja+b-ab.又因为kx=a+ba+ba-b恪所以Tbb22R1.把代人,得b-,a=33乂+为2+必_（1-用）+（172）_2X+/X+x2M+x2M+X22题型3中点弦问题【例3】设A、B是双曲线-E-=I上的两点，点N(l,2)是线段AB的中点.2(1) 求直线AB的方程.(2) 如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？解析涉及直线截圆锥曲线所得弦长及弦的中点的有关问题，常常要运用根与系数的关系.答案(1)显然,AB与X轴不垂直，设其斜率为k,其方程为y=k(x-1)+2,代入双曲线方程并整理得(2-k2)x2-2k(2-k)-k2+4k-6=0.设A、B两点的坐标分别为(x,y)、(x2,y2),由根与系数的关系及N是AB的中点，知2/2-/)=2.2-k2解得k=l.因此，直线AB的方程为y=x+l.(2)线段AB的垂直平分线的方程为y=-x+3,代入双曲线方程，得x2+6x-11=0.设C、D两点坐标分别为(x3,y3)、(x4,y4),由根与系数的关系，得X3+X4=-6,X3X4=T1.IX3-X4=(x3+x4)2-443工4=4V5,据弦长公式得ICDl=JfIXj-XjI=4Vlo.又设CD中点为M,求得M点的坐标为(-3,6)点AQ1,0)到点M的距离M=210.由于C、D是线段AB垂直平分线上的两点，点B到点M的距离等于点到点M的距离.这样点A、B、C、D到点M的距离均等于2J10,因此四点共圆规律总结此题考查了直线、圆、双曲线的有关内容,是综合性较强的一个题目；证明四点共圆时,要充分利用CD是直径这一隐含条件.>>2厂V【变式训练3】直线1：6-5y-28=0交椭圆一7+J=1(a>b>2)于B、C两点,A(0,b)是椭圆的一个顶点，且a-b-ABC重心与椭圆的右焦点F重合，求椭圆的方程.答案设B(x,y),C(x2,y2),设BC的中点口&。,丫。)下(，,0)5(0加)，可利用|皿|：恒。|=2：1,结合定比分点公式求得x=c,y=-.22由于点D在BC的直线上，那么18c+5b-56=0,将B、C两点坐标代入椭圆方程并作差：(x1-x2)(x1+x2)(y1-j2)(M+j2)O17U,ahiKAB比=-与，a2a2=5bc.由于b2+c2=/，由©©可得：41C2-194c+224=0,c=2或C=U41Ta>b>2,.c=2,从而b=4,a=20,X2V2二椭圆方程为：112016题型4最值及参数范围问题XV例4在直线1：x+y-4=0上任取一点M,过M且以椭圆-7+J=l的焦点为焦点作椭圆，问M点在何处,所作椭圆的长轴最短,并求此椭圆的方程.ay解析桶圆的长轴的长的2倍即为椭圆上点到两：直线1上点M所作长轴最短的椭圆,即转化为求直线1上一点，使这点到两焦点F1、F2的距答案a2=16,b2=12,；故椭圆F=I的两焦点1612艮(-2,0)产2(2,0),过尸2向引垂直线1'：y=x-2,求出Fz关于1的对称点F'2,那么F2的坐标(4,2)(如右图)，直线FF2,的方程为-3y+2=0.X=2fx+j-4=0,.m（2,3即为所求的点.（22）此时，IMFJ+MF2=MF+MF'2=Ififz2=2i.X2V2设所求椭圆方程为H=1»ab：.a=y0,c=2,b2=a2-c2=10-4=6,22.二所求椭圆方程为-+=1106规律总结此题的实际几何意义是:待求椭圆与直线1相切时，长轴最短.22【变式训练4从椭圆=+与=1(a>b>O)上一点M向X轴作垂线,恰好通过a"b椭圆的左焦点Fl,且其长轴端点A及短轴端点B的连线AB平行于OM,假设Q为桶圆上任一点,Fz是右焦点，求NRQF2的最大值.解析利用OMAB,得a,b,c的关系，由CoSNRQ&的取值范围确定/HQF2的最大值.答案如右图，点M的坐标为(-c,)，因为OMAB,所以k0l=kAB,孙2mn：,=,11Pb=c,a=V2c.aacQF=m,QF2=n,NRQF2=e由余弦定理，得cosgJQF12÷QF2r-F22QQf_(w+11)2-2mn4c2_4Z?2-2mn2mn2mnIb2=-1=0.a当IQFJ=IQF2时,等号成立.0cos9l.，。的最大值为巳,2即NFQJ的最大值为王.222Fl【例5】双曲线2-=l(a>0,b>0)的离心率e=*,过点A(O,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为组a2b232(1)求双曲线的方程；(2)直线y=kx+m(kO,mO)与该双曲线交于不同的两点C,D,且C,D两点都在以A为圆心的同一圆上，求m的取值范围.解析(D依条件建立ab的关系，求a；b*(2)利用直线与圆锥曲线有交点的条件,结合韦达定理作转化.21b242=1+/=于答案(1)由题设,得,r-解得a2=3,b2=l,ab_3_ya2-b12，Y，双曲线的方程为一-y2=l.3(2)把直线方程y=kx+m代入双曲线方程，并整理得(1-3/)2-6km-3m2-3=0.因为直线与双曲线交于不同两点，>0,1所以，即k2-,且才+1-3l>0.l+3P0,36km设C(X1，v),D(X2,y2),那么x+x2=-r，-3k21zc2my+y2=k(x+x2)÷2m=7，l-3k2设CD中点为P(xo,yo),其中那么依题意,AP_1.CD,in.kAP=1-窠Skm13/整理得3k2=4m+1.将式代入式得m-4m>0,01>4,或111<0,1<!，31<2二：1,34m+ll,即m0.又3k2=4m+l>0,即m>=-,4，ni的取值范围为m>4,或-4<m<0.规律总结(D应熟练掌握研究直线与圆锥曲线相交问题的一般方法；(2)第(2)小题中注意将点C、D都在以A为圆心的同一圆上的条件转化为AP_1.CD,进而转化为斜率关系，同时掌握设点不求点的处理技巧.【变式训练5】椭圆的两个焦点为R(O,-2近)下2(0,2五)，离心率所逆.3(1)求椭圆方程；(2)一条不与坐标轴平行的直线1与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN中点的横坐标为-求直线1倾斜2角的取值范围.答案(1);c=2亚，=a=3,c=2V2,a3b2=l.椭圆方程为±+2=1.9设M(x,y),N(x2,y2),且MN中点为P(-,yo),2k=k(k0),那么+x；=1,+x；=1.相减，得)2)(必+'2)+(x1-x2)999(x1+x2)=0.上及=暨3,y0=2.x1-X2y1+y22k19v2由于点(-一，)在椭圆2+x2=l内部,22k9(2Q294：.k>3或k<-3.直线1倾斜角的取值范围是(q,5)u(',与、.规律方法总结(1) 直线与圆锥曲线的位置关系问题可消元构造一元二次方程,利用判别式来解决，并应注意讨论，不要漏项,也可利用图形的性质来解决.(2)涉及圆锥曲线的弦长，一般用弦长公式IABI=Jnl不xl-2=Jl+Iyl-y2,弦过焦点时,也可用定义或焦点弦来解决.(2) 解决弦的中点问题常用方法：一是用韦达定理及中点坐标公式的构造.二是利用端点在曲线上，坐标满足方程,作差构造出中点坐标和直线的斜率.(4)设而不求的方法，是直线与圆锥曲线位置关系的常用方法.(5)有关直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题，一般采用假设反证法或“假设睑证法"，同时要注意直线与圆锥曲线的交点是否存在，即判断与O的关系.定时稳固检测笫1课时直线与圆锥曲线的位置关系根底训练1 .过点A(-p,p)作直线1与抛物线y2px仅有一个公共点的直线共有()A.1条B.2条C.3条D.不能确定【答案】C(点拨：注意有一条直线与抛物线的对称轴平行.)2 .直线1.y=k(-J5)与曲线2-y2=l(>0)相交于A、B两点，那么直线1的倾斜角范围是(),71.713TT、A.0,7)B.(一,)U(,)2224r7.71、.Tt34、C.0,-)U(-,11)D.(-,)2244【答案】D(点拨：当直线1与X轴垂直时符合题意；另外,直线1的斜率必须满足kl或kKT)X2V23.直线y=kx+l与椭圆二十乙=1恒有公共点，且椭圆焦点在X轴上，那么m的取值范围是.5in【答案】lm<5(点拨：直线y=kx+l过定点(0,1),该点应在椭圆的内部(含短轴的端点).)4.直线x+y=l与椭圆mx'ny'l相交于A、B两点，过A、B中点和坐标原点的直线的斜率为YZ,那么'的值2n为.【答案】二(点拨:利用点差法处理.)2能力提升5 .设直线y=k(x+3)与抛物线y=a2交于A(xl,yl)、B(x2,y2)两点，那么-!+-的值是()再12C.-3D.不能确定与k的值有关r答案】a(点拨：将直线的方程代入抛物线方程中，利用韦达定理解决.)6 .双曲线方程二一T=I,.是否存在直线1,使Nd,)为1被双曲线所截弦的中点.假设存在,求出直线1的方422程；假设不存在，请说明理由.-4=1,021,2假设过N的直线交双曲线于A(x1,y1),B(x2,y2),那么作差得区+)(/一二2)_(M+%)(，-%)=0421yX所以底尸工二%=1,1为：y=-1.,但由I'得：2乂2-4*+9=0,4<0,所以无实根，因此直线1与双曲线-rI-22X2y2=1142无交点，这一矛盾说明满足条件的直线1不存在.厂V-7 .直线y=-+l与椭圆r+2v=l(a>b>O)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线1.xNy=O上.ab-(1)求此椭圆的离心率；(2)假设椭圆的右焦点关于直线1的对称点的在圆x2+y2=4上，求此椭圆的方程.【答案】设A、B两点的坐标分别为A(x,y),B(x2,y2).y=-x+t那么由2:(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=O1+3=1根据韦达定理，得2a2z2b2+2=-v»y+yz=X1÷X2)+2=一v»a-ba-+b由得线段AB的中点坐标为2b2a2+b2a2+b2=O,a2-2b2=2(a2-c2),万a2=2c2,故椭圆的离心率为e=".2(2)由(1)知b=c,从而椭圆的右焦点坐标为F(b,0),设F(b,0)关于直线1.-2y=0的对称点为(x°,yo),那么g2且血拦一2X迎0,x-b2223解得X(Fb且yo由得X；+y；=4,*÷()2=4,Ab-4,故所求的椭圆方程为+三刁.848.假设抛物线y=2上存在两点P,Q关于直线y=m(-3)对称，求实数In的取值范围.【答案】如右图，设P(XI,x；),Q(x2,x；),过这两点的直线的斜率为k=五二三=xl+x2=-',线段PQ的中点坐标X中=上土生+2二-一.xl-x2m2Itn又由y=m(x3)=y中=m(-3)=-m(一+3),由于中点总在抛物线之内部，2m2m.f('+3)>(-'一)2(横坐标为一二一的抛物线上的点的纵坐标)，从而有12m3+2m2+l<0,即m<-.2m2m2tn2笫2课时直线与圆锥曲线位置关系的应用根底训练1.直线y=x+b(b为参数)被椭圆±-+y2=l截得的弦长的最值是()4A.245410810B.C.D.555y=+b,C(点拨:设直线与椭圆的交点为A(Xhyl),B(x2,yz),由，f,1,QK消去y得5x2+8bx+4b2-4=0,xl+x2=-一,xlx2=546-45,ab=Vl+1(x1+2)2-4xx2=f64b26b2-6M2I,-c4i缶,缶十巨上估工4丽.2J=J-+5,所以所求最大值为.)V255V555222 .过原点的直线与椭圆TJ=l(a>b>0)相交于A、B两点，假设F(-c,O)是椭圆的左焦点，那么AFAB的最大面ab积是()A.beB.abC.acD.b2【答案】A(点拨：SWmF-cIy-yB|,因为|y-yBna=2b,所以Sfab的最大值为'-c2b=bc.)223 .设P(8,l)平分双曲线2-4y2=4的一条弦,那么这条弦所在的直线方程是.【答案】2-yT5=0(点拨：设弦所在直线的方程为yT=k(-8),由尸一'消去y得y-1=A:(x-8),(1-4k2)x2-8(1-8k)kx-4(1-8k)2-4=0,由x+x?二斗二累K二16得k=2,所以所求直线的方程为2-y-15=0.)4 .抛物线J-y上两点(x,y),B(x2,y?)关于直线1.y=x+m对称，假设xixz=-',那么m=【答案】设AB中点M(Xo,y°),点M在1上,kAB=T,<21石=")722=(x2+xl)(x2-l)=-(y2-yl)=2xO=(T),2：.x-=y=-+m,44又y='*”=x；+x；=(xl+x2)2-2x1x2=-2=2I2j2；4能力提升5 .直线y=x+3与曲线2-一型:194A.没有交点B.只有一个交点C.有两个交点D.有三个交点V2JdJd【答案】D(点拨：曲线金U=I的图象是双曲线的y轴右侧局部和桶圆在y轴的左侧局部.)94X"y2J16 .椭圆+=1,(a>b>O)与直线x+y-l=O相交于P、Q且OP±OQ(0为坐标原点),求证：+等于定值.X4-y1=0,【答案】由，：消去y得(a2+b2)2-2a2+a2(1.b2)=0,bx+a"y=ab,二有两个交点，>(),即4a,-4(a2+b2)a2(l-b2)>0,即b2(a2+b2-l)>O,VbO,a2+b2>l设P(x,y),Q(x2,y2),那么Xl+×2=2/a2+b2,XiXz=/(K)a2+b2由OPj_OQ得x2+yy2=0,又yt=l-,y2=l-X2:2xx2-(x+x2)+l=O,2a2(-b2)2a29.O2a+ha+b+1=0,化简得:a2+b2=2a2,故-V+4=2为定值.ab7 .设抛物线x2=-y与直线y=3-4交于M、N两点，点P在抛物线上由M到N运动(1)求APMN的面积取得最大值时P点的坐标(xo,y°);(2)证明：与线段MN平行的直线和抛物线交于A、B两点，那么线段AB被直线x=x0平分【答案】由二一X得：*1=-4*1,即乂(-4,-16”(1,.-1),因此|呱|二5痴，要使5配的面积最大，只y=3x-4需P到直线MN的距离最大,令P(x,y),3939由于-4<x<l,当x=-士时,d到达最大,此时尸-乙，故P点坐标为(-二)2424(2)设与MN平行的直线截抛物线的弦AB所在直线为：y=3x+b,y=3x+b.由0得卜=->a2+3x+b=0,那么由>()得b<433令A("川田&.)，那么为+*2=-3,即AB中点的横坐标为-士，即线段AB被直线x二-3平分.228 .过抛物线y2=4x的焦点F的直线与这条抛物线交于A、B两点,0为坐标原点.(1)OB的重心G的轨迹方程；(2)当直线1的倾斜角为45°时,试求抛物线上一点P的坐标.使P±BP【答案】(1)抛物线的焦点坐标为(1,0).当直线1不垂直于X轴时,设l：y=k(x-1),代入y2=4x得k22-2(k2+2)x+k2=0与抛物线相交于两点，k#0设A(Xhy入B(x2,yJ,根据韦达定理,XlX2=lXl+X2=y1kxx-k1.4，从而y+yr2=k(x+x2-2)=,y2=kx2-Kkyy2=kj(x1-l)(x2-1)=-4设ZXAOB的重心G(x,y)那么X=3=+3J=0+y+%433k4R消去k并整理得y2=2x-239当1垂直于X轴时,A、B的坐标分别是(1,2)和(1,-2)2 48A0B的重心G(一,0)也透合y2-X3 394 8因此所求轨迹方程为y2=2x-25 9(3)当直线1的倾斜角为4°,k=lxi+x2=6,y+y2=4设抛物线的准线上一点P(T,y0)VAP±BP.AZ21ZA=-1,1+1X2+1即/%一光(弘+乃)+比2>1-4-4y0+y02x1x2+(x1+x2)÷11+6+1(4)解得y0=2,故所求点P的坐标为(-1,2)