微专题06 含参数不等式问题的处理策略（解析版）.docx

微专题06含参数不等式问题的处理策略【方法技巧与总结】解含参不等式，常常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参不等式问题的一个难点。解决此类问题利用函数与方程思想、数形结合思想及分类与整合思想。【题型归纳目录】题型一：含参数一元二次不等式(因式分解型)题型二：含参数一元二次不等式(不能因式分解型)题型三：分式、根式含参数不等式问题题型四：绝对值含参不等式问题【典型例题】题型一：含参数一元二次不等式(因式分解型)例1.解下列不等式：()(1)-r-12t?2<O(<0)；x-J>0(0<<1).【解析】(1)依题意Y-ax-12ai<0(a<0),(-初(x+3)<0,4rz<0<-3a解得4a<xv-初，所以不等式x2-ax-2a2<0(«<0)的解集为x4<x<-3a.(2)依题意(-x)(X-J>O(O<<l),解得<x<1.a所以不等式(ar)。:-1"。'"1)的解集为卜<x<T例2.己知关于X的不等式ox?+3+2>0(R).(1)若0+3+2>0的解集为"B<x<l,求实数,力的值；(2)求关于X的不等式a-3x+2>r-l的解集.【解析】(1)因为a+3x+2>0的解集为卜BVX<1,所以方程公j3x+2=0的两个根为RSvD,由根与系数关系得:<,3p+1=",解得,bl=-a=-5,2;b=5(2)ax2-3x+2>r-l=>ax2-(a+3)x+3>0=>(r-3)(x-l)>0,当“0,不等式为X-IV0,不等式的解集为xx<l;31<x<l当时，不等式化为-(-i)<o,不等式的解集为卜当>0时，方程公2-3x+2=Or-I的两个根分别为：J.a当a=3时，两根相等,故不等式的解集为xxH;3当。>3时，-<1a3不等式的解集为xxv±或x>l;33当OVaV3时，>1,不等式的解集为x为<1或X>,.aa综上：当v时，不等式的解集为当=0,不等式的解集为xx<l;当0vv3时，不等式的解集为xx<l或x>°a当。=3时，不等式的解集为xxl;当4>3时，不等式的解集为xx<1或x>a例3设>l,则关于X的不等式(1一。)(工一"Xx一1.<0的解集是_a【答案】bW)5)【解析】4>l时，1一。<0,Kfl>,则关于X的不等式(l-)(xI)Vo可化为(x-)(x，)>0,aa解得x<1.或x>%所以不等式的解集为(-8，3U(%+8).aa故答案为：(YOq卜(a,+)例4.己知关于X的不等式0r2-x+1-V0.(1)当。=2时，解关于X的不等式；当”>0时，解关于X的不等式.【解析】(1)当=2时，不等式2x27-IVO可化为：(2x+l)Cr-1)<0,不等式的解集为xI-<x<l)：(2)不等式ax2-x+1-a<0可化为：(X-I)(ax+a-1)<0,当.>0时，(.Vl)x+1,0,(x7)(x+l-=0的根为：芭=1,X2=-*,当OVaV!时，】<_1一1,不等式解集为HHVx<1.-1,2aa当=:时，不等式解集为。，2a当时，1>,一,二不等式解集为x1.vvi,2aa综上，当0<<:时，不等式解集为xlVx<1.-l,2a当时，不等式解集为0,当时，不等式解集为xJ-1VxV1.2a题型二：含参数一元二次不等式(不能因式分解型)例5.解关于X的不等式2+2x+l<0.【解析】(1)当=0时，原不等式2x+lv0,解得xv-g,*,不等式解集为(-c0,-g);(2)当0>0时，=4-4,/(x)=o+2x+l开口向上，由图象得：若OVaVl时，=4-4a>0,/U)的两个零点为2二一|士句，-<7+r,aaa不等式f()<o的解集为(土三,土三);aa若l时，0,不等式/(X)VO解集为0；(3)当av时，=4-4«>0,f(x)的两个零点为无2=7±E,7+<T-?f(x)=ax2+2x+1开口向F,由图象得不等式解集为(Y,小地三)D(土三,+00)：aa综上可知，当”0时不等式解集为+；aa当=0时，不等式解集为(Yog)；当0<<l时，不等式解集为(士,土);aa当.l时，不等式解集为0.例6.解关于X的不等式：(1)r2-(+l)x+l<O(cr/?)；(2)加+(2-I)X-2<0(eR)；(3) ax2-2x+<0(aeR)；.(4) X2÷X+zn,O(X>0).【解析】解：(1)ax2-(«+l)x+1<0(or-l)(x-1)<0(R)»当=0,时，不等式的解集为(1,+oo),当0>0.时，等价于(X-1.)(Xl)v,a即当OVaV1.时，不等式的解集为(J)a当=l时，不等式的解集为空集，当>1.时，不等式的解集为(1.,1),a当v.时，不等式等价于(x1.)(xl)>0,a即不等式的解集为(-,-)U(1,+oo)a(2) ajc+(2-l)x-2v0等价于(x+2)(Or-I)V(XacR)当=O时，不等式的解集为(-2,+oo),当白>0时，不等式等价于-1.)(+2)<0,不等式的解集为(_2)aa当v时，不等式等价于(x-3(x+2)>0,a当<<0时，不等式的解集为(F,-)U(2,+oo),2a当=-1.时，不等式的解集为(Y,-2)U(-2,+00),2当4<时，不等式的解集为(7.,-2)U(-,+00),2a(3) 0t2-2x+1<0(。/?)；,当=0.时，不等式的解集为d，+),当>0时，且4=4-4z>0.时,即OVaVI时，不等式的解集为(2一二一4。，2+4-422当>0是，且4=4-4,()时，即l时，不等式的解集为空集，当v时，且a=4-4z>0时，即v时，不等式的解集为(YO,2-4-42+”-422(4)x2+x+Wi,O(X>0),当=l-4"z>0时，即加<4时，x2+x+m=0的根为X=-土匹逅(舍去)或X=土正运422若当T+J1-4吗>0时,即ZWVO时，不等式的解集为0,1+4zn,22若当二1+，1-4叫<0时,即0<?<!时，不等式的解集为空集24若行T+J1-4吗=0时,即Z=O时，不等式的解集为空集当Z=l-4mv0.时,即n>1.时,不等式的解集为空集,4当a=l-4%=0,时，即m=1.时，不等式的解集为空集,4综上所述当mv时，不等式的解集为0.,-Yj,当机.0时，不等式的解集为空集.例7.解关于X的不等式：(1) X2-2(«+l)x+1<0(a/?)；(2) -(tz-8)x+l>0(a/?).【解析】解：(1)Z=4(+1)2-4=0时，解得=0或-2.当。=0或-2.时，不等式化为(x±l)2<0,此时不等式的解集为0.由>()解得>0.或v-2,此时不等式化为x-(+l)-77?x-(+l)+2+2a<0,解得«+1-ya2+2a<x<«+1+-Ja2+2a,此时不等式的解集为：x«+1-Ja2+2«<x<6r+l+J。?+2；vO.时，即一2vv0时，不等式的解集为0综上可得：-2M。时，不等式的解集为0；当>0,或_2时，不等式的解集为x4+I-Ja2+2。<<a+Ja2+2a.(2)当=0时，不等式化为8x+l>0,解得>-J,此时不等式的解集为>-J.88当w时，由A=(-8)2-4>0.,解得4>16或<4.、1/«/*.11_.-r-.i.a8+J°-_20+64/c8_Ja-20a+64、.当>6,或<4且0时，不等式化为a(x)(x)>0.2a2a业TcaIi-I-*>4VlAOajfI-8+yjn'20+64T8Ja20。+641当0>16或OVaV4.时，不等式的解集为xx>或x<.2a2a当v.时，不等式的解集为xa-S-ycr-20a+64<(<-8+02-20«+64综上可得：当=0时，不等式的解集为>-1.8当a>6或OVaV4.时，不等式的解集为xr>''"+1.2-20+64或a-8-2吆空2a2a当<0.时，不等式的解集为幻48。、2%+64<_8+42史皿2a2a题型三：分式、根式含参数不等式问题例8.不等式/V2x+a(a>0)的解集是()【答案】A【解析】解：不等式。，一力<2x+.可化为:a2-x2<4x2+4cx+a2,BP5x2÷4v>0.,(a>0)综上可得：0<用,4.故不等式-Ja2-X2<2x+(>0).的解集是xO<兀,a,故选：A.例9.已知w?,解不等式一>+lX-I【解析】解：原不等式化为一a-"+)。x-1(1)当=0.时，原不等式为二-<0=>>l.x-1在中，分子中X.的系数含有字母。，分类讨论就从这里引起./4+1、g)(2)当#0时，原不等式化为J<0.x-1对于不等式,分子中的系数。不能随意约去，因为根据不等式的性质，若给不等式两边同时乘以个负数,不等式的方向要改变.+lX当白>O时，原不等式等价于瞑<0.x-1由于"1>1,可解得l<<丝1.也可先确定两根X,x2(x1<2),aa然后直接写出解集.,。+1、+1QX)X当v(T时，J<O等价于->0.x-1x-1由±tI=l+l<1.可解得x<但或x>l.aaa综上，当=0.时原不等式的解集为(l,+).当>O时，解集为(1,四)a当<0时，解集为(-,)(h+)例10.解关于X的不等式牛?>2(其中l)x-244解析>2ol-2>0o(“一少一(。一4)001<0,x-1x-2x-2x-2.Q4CClT1./.,又由2=及知a-2a-2一4一4当0<l时，一>2,则集合A=x2vx<->)；a-2a-2当=0时，原不等式解集A为空集：一4一4当av时，一<2,则集合A=x-<x<2(;a-2a-2综上：当Ovl时，A=x2<x<=:a-2当=0时，A为空集；/74-当"0时，A=x<x<2.a-2例11.已知关于X的不等式竿上<0的解集为S,若5S且6iS,则实数，"的取值范围为:x'-tn【答案】U)(25,36：O【解析】由题意，号Q<0u>(蛆-5)，一M<0x-m故5tS且6YS,可得J(5m-5)(25-m)<0(6n-5)(36-n)0由(5加一5)(25-m)VO可得，?<1或切>25；由(6"l5)(36-x)0可得，-m366因此：wf,l)U(25,3616故答案为：R)(25,36O例12,解下列关于X的不等式：(。为实数)W+2x+<0【解析】(1)原不等式对应的一元二次方程为：+2x+=0,=4-4。，当l时，A=4-4a0,原不等式无解；当<1时，对应一元二次方程的两个解为：x=-l±117,所以f+2+<0的解为：-1-l-6f<X<-1+y-a>综上所述，l时，原不等式无解，当时，原不等式的解集为x-l-JH<x<-l+11C;(2)原不等式等价于(OrT)(A2)>0,当=0时，解集为(-8,2)；当<0时，原不等式可化为(必+Da-2)<0,因为T<2,所以解集为g，2)；当0<<1时，；>2,解集为(-8,2)3，+8)；当时，原不等式等价于(Tx-0(x-2)>0,所以。-2)2>0,解集为xx=2:当>g时，g<2,解集为(-3)d(2,+oo);综上所述，当=0时，解集为(Y>,2)：当<0时，解集为(5,2当Ov;时，解集为(一以2)u(,+oo当白>/时，解集为卜oo,十)u(2,*°)例13,解不等式：-7<0.【解析】含0=0r(x+l)40且x+lw.当。>0时，Or(X+l)0且x+1=0。X(X+l)0且x+1HOO-IVX<0,此时原不等式的解集为止<o:当=O时，原不等式的解集为卜卜。-1；当<0时，r(x+l)OJx+lO<>x(x+l)OHx+l0<x<-l°Ex0,此时原不等式的解集为xx<T或x0综上可知，当白>0时，原不；式的解集为x7<xM0:当a=0时，原不等式的解集为xxl:当<0时，原不等式的解集为<T或0题型四：绝对值含参不等式问题例14.对于任意的实数X,不等式x+l."恒成立，则实数上的取值范围是()A.(o,0)B.-1,O.C.0,1D.O,+oo)【解析】解：不等式x+l.日恒成立，.y=x+l的图象不能在y="的图象的下方，如图所示：二.展世1：.故选：C.例15.已知集合A=x2vxv4,8=M2x-20-ll,若AB=B,则实数的取值范围是.【答案】（2,3）【解析】由2x-20-11,axa+f.B=jtaxa+.由A8=8,得B=A.a>2显然50,解得2<<3.÷l<4故答案为：（2,3）.例16.设集合A=刈xVl,xR,B=x<x<5,xR,若A是B的真子集，则。的取值范围为一.【答案】24【解析】由IX-。|<由得-IVX-Vl,.a-1<x<a+l,由A是8的真子集，得Wi,2<<4.又当=2时，A=1<x<3,。=4时，A=R3VV5,均满足A是B的真子集，2a4.故答案为：24例17.若不等式|3工-4<4的解集中的整数有且仅有2、3,则b的取值范围是.【答案】7h8【解析】由3x-U<4可得-4<3x-h<4,也就是容<x<与，因为解集中的整数只有2,3,所以lf<2<3<学4,33（7b<0所以U-。，故7b8.5<8填7b8.例此解关于X的不等式：x->k-（wR）.【解析】两边平方，得(x-l)2>(x-)2,即2(-1)x>(-1)(+1).当a=l时，不等式解集为0；当>l时，不等式解集为(等,+8)；当。<1时，不等式解集为(Yo,誓).例19.已知集合A=x2+2<3,xeR,集合3=四卜-1|<a,a>0,xR.若A=B.求实数。的取值范围.【解析】由/+2x<3得/+2x-3<0,解得一3<x<l,11A=(-3,1).又由上一1|<。,。>0解得l_a<x<l+4,即B=(l-,l+a).fl-a-3因为Aq5,所以,解得白4.l+al因此所求实数。的取值范围是4,+oo).【过关测试】一、单选题1 .若使不等式f+(+2)x+20成立的任意一个X都满足不等式x-l0,则实数a的取值范围为()A.>-lB.a-lC.“<-lD.T【答案】B【解析】因为不等式r-lO的解集为卜xl,由题意得不等式x2+(+2)x+2a40的解集是巾41的子集，不等式x2+(+2)x+20,gJ(x+2)(x+a)0,当=2时,不等式的解集为一2,满足-2qxxl;当<2时，不等式的解集为国-2<x-,若x-2x-qxkl,则一ql,所以-l<2;当>2时，不等式的解集为x-x<-2,满足止x-2=xxW1；综上所述，实数0的取值范围为aT故选：B.2.若关于X的不等式早>0的解集为f，1，则。的取值范围为()ax+IaJA.(?,+<»)B.(0,1)C.(-f-l)D.(-1,0)【答案】C【解析】不等式>0等价于(工一1)(奴+l)>0,设x)=(xl)(ar+l),显然=0不符合题意，若>0,/(x)=-(x-l)x-，/W是开口向上，零点分别为1和-1.的抛物线，对于/(x)>0，解集为或Ql,不符合题意；若”0,则f(x)是开口向下，零点分别为1和-1的抛物线，a对于/(x)>0,依题意解集为卜：,1),即w(y,T),故选：C.3 .若关于X的不等式X2-(m+3)x+3z<0的解集中恰有3个整数，则实数闭的取值范围为()A.(6,7B.T,0)C.-h)u(6,7D.-1,7【答案】C【解析】不等式x2-(m+3)x+3mv,gp(x-3)(x-m)<0,当机>3时，不等式解集为(3,团)，此时要使解集中恰为3个整数，这3个整数只能是4,5,6,6<m7;当m=3时，不等式解集为0,此时不符合题意；当机<3时，不等式解集为(小3),此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0,1,2,-ln<O;故实数小的取值范围为T,0)=(6,7.故选：C二、多选题X22x-8>04 .已知关于X的不等式组.，0,-r八仅有一个整数解，则攵的值可能为()2x+(2k+l)x+7k<0A.-5B.-3C.11D.5【答案】ABD【解析】解不等式/-2x-8>0,得x>4或XV-27解方程2/+(2攵+7)x+7攵=0,得力=-5/2=-%777(1)当女>,即攵<时，不等式2f+(2+7)x+7&<0的解为：k<x<222此时不等式组-2x-8>02x2+(2k+7)x+7k<0的解集为卜攵,),依题意，则一5-AvT,即4vA5:777(2)当&即一&>一时，不等式2+(2A+7)x+7Z<0的解为：-<x<-k,要使不等式组的解集中只有一个整数,x2-2x-8>02x2+(2k+7)x+7k<0则需满足：-3<-5,即54Zv3;所以上的取值范围为-5,3)11(4,5.故选：ABD.5.已知R,关于X的不等式9>0的解集可能是()x-aA.xl<x<aB.HKl垢”)C.卜卜(。垢)1D.0【答案】BCD【解析】当<0时，不等式等价于(x1)口。)<0,解得<xvl;当。=0时，不等式的解集是0：当0<vl时，不等式等价于(X-I)(X-。)>0,解得x>l或彳<：当=l时，不等式的解集为xxh1;当>l时，不等式等价于(X-I)(X-)>0,解得x>或vl.故选:BCD.三、填空题6 .已知集合A=1.-2x-80,xwR,=x-(5+n)x+5m0,xR,设全集为R,若8qa4,则实数m的取值范围为.【答案】(4,+oo)【解析】解不等式d-2x-80,得2x4,所以QA=xk<-2或x>4,8=卜产-(5+w)x+5w0,xR=x(x-5)(x-77)O,因为当机=5时，B=5,满足题意；当相>5时，B=5,m,满足题意.当wV5时，B=n,5,由BqqA,得m>4,所以4<m<5.综上，的取值范围为(4,-8).故答案为：(4,一)7 .己知左为正实数，关于X的不等式(丘-二-4)*+2)<0的解集为AB=AcZ,则当A的值变化时，集合B中的元素个数的最小值为；【答案】64【解析】由方程去一公一4=0,可解得x=Z+74,当且仅当攵=2时，等号成立，则人=卜2,2+£),即(-2,4uA,由(-2,4cZ=T,0,l,2,3,4,则集合8中的元素最少有6个，故答案为：6.8 .不等式(。2-1)/-(。-1-1<0的解集是全体实数，求实数。的取值范围.3【答案】<a【解析】根据题意，C.ztl=(-1)+4(a2-l)<0,zt43当/_=0时，可得I,解得一二<<l,当=1时，不等式(/-l)x2-(a-l)x-l<O显然成立.3综上可得，<«1>故答案为：-<tzl.四、解答题9 .在ADB=A,ACBW0,30今4这三个条件中任选一个，补充在下面问题(3)中，若问题中的实数加存在，求1的取值范围；若不存在，说明理由.已知一元二次不等式以2_3x+2>0的解集A=<l或x>。,关于X的不等式v2-(m+8)x+加z<0的解集为3(其中相wR).(1)求。、的值；求集合3；(3)是否存在实数相，使得?【解析】(1)因为元二次不等式苏-3x+2>0的解集A=<l或x>。，则关于X的一元二次方程OX2-3x+2=0的两根分别为1、b,frz-3+2=01(2)由(1)可得8=卜,-(zw+2)+2m<=H(-2)(x-m)<.当/W=2时，8=卜(x-2)v=0；当n<2时，B=(-2)(x-zw)<0=xw<x<2)；当/H>2时，B=x(x-2)(x-11)<O=x2<x<w.(3)若选，A=xx<l或x>2,由ADB=A,则B=A,当帆=2时，B=0A;当m<2时，B=xm<x<2(XA,不合乎题意；当机>2时，B=x2<x<nA,合乎题意.综上所述，机2;选，当w=2时，8=0,此时AB=0,不合乎题意；当wv2时，6=j"<xv2,若ACAW0,则m<l,此时加<1；当m2时，B=x2<x<m,此时Ac8w0.综上所述，m<1或m>2；选，'A=xlx2.当m=2时，B=0A;当wv2时，=xn<x<2)A,则1<相<2；当加>2时，8=x2vx<w0A,不合乎题意.综上所述，lm2.10 .设集合A=xT<x<2,xR,8=x(x-)(x-2)<0,xeR,若B=A,求实数的取值范围.【解析】当4>0时，B=xa<x<2a,当a=0时，3=0,当"0时，B=x2a<x<af由3±A,而4=x-l<x<2,xeR,若。>0,有(等号不同时成立)，则O<4l:2a2若=0,显然B=0=A成立；2。1.1<0»有1/c(等号不同时成立)，则-W<O;a2211 .己知集合A=xlx2,8=xd-ar+420,若AcB,求实数。的取值范围.【解析】集合A=xlx2,=2-0c+40,若AqB,B一定非空，若A=2-60,得-44,B=R,AJB成立,若.>0,即>4或者v-4,设/(x)=f-0r+4,(1)/(1)=l-+4=5-6t0,即45,对称轴二<0,所以v-4,2/(2)=8-为"，即a4,对称轴12,不成立,练上，(-0>,4.12 .)解关于X的不等式加-(1-4)l<0(cR).【解析】当=O时，原不等式可化为x-4<0,解得x>-4；当>O时,原不等式可化为U(X+4)<0,解得4vx<T当"0时，原不等式可化为G_5卜+4)>0,<i>当1.<-4,即一!vv时，解得X<工或X>-4；a4avii>当1.二-4,即=1.时，解得<-4或x>T：a4viii>当4>一4,即<-,时，解得x<-4或x>,.a4a综上所述，当。<一：时，不等式解集为xx(-4或当=1时，不等式解集为巾工-4；当一1.<vO时,4不等式解集为kkd曲)-4,当=O时，不等式解集为xx>当o>0时，不等式解集为xT<xv;13 .当0时，解关于X的不等式加+(1次)x-20.【解析】由奴2+(l-2«)x-20可得(0r+l)(-2)>0当a=0时，原不等式即-2>0,解得应2;当a<0时，(僦+1)(-2)>0,方程(公+1)(-2)=O的两根为王=,0=2a当=-!时，原不等式解为：x=2；2当一1<<0时，->2,原不等式的解为：2x-,2aa当<一!时，一,v2,原不等式的解为：一,<x<2,2aa综上，当=0时，原不等式的解集为xx2;当；时，原不等式的解集为卜卜=2；当-g<<O时，原不等式的解集为：卜2xq;当<T忖，原不等式的解为：上廿1).14 .解关于X的不等式d+2+>0.【解析】方程f+2+a=0中44-4二4(1一。)，当1-。<0即>l时，不等式的解集是R,当1一。=0,即=l时，不等式的解集是xwRxwT,当1一。>0即时，由/+2+4=O解得：l=-afx2=-+>J-a,.vl时，不等式的解集是xx>集+Jl-asEx<-1-1-),综上，时，不等式的解集是K,。=1时，不等式的解集是“cRxw7,时，不等式的解集是“x>T+Jl-或XVT-Jl-0,15 .已知关于X不等式/-3x+6>4的解集为上<1或%>.(1)求实数。、b的值.(2)解关于X不等式-ax2+(ac+b)-hc>O.【解析】因为不等式-3x+6>4的解集为巾<1或x",所以x=l与是方程如2-3+2=0的两个实数根，且>0,b>l.I+/?=-=1由根与系数的关系得If,解得:=r.b=j也=2(2)原不等式化为f-(c+2)x+2c<0,SP(x-2)(x-c)<0,当c>2时，不等式的解集为x2<xvc;当cV2时，不等式的解集为Rc<xv2;当c=2时，不等式的解集为0.16 .(1)已知不等式如2+3x-2>O的解集为R"Vxv2,求小，的值；(2)求关于X的不等式V+(nT)x-a>0(其中QeH)的解集.【解析】(1)由题意4m+6-2=0,w=-I,不等式为一Y+3x-2>O,即V-3x+2vO,解得IVXV2,所以=1：(2)不等式/+(。-l)x-a>0可化为(X-IXX+a)>0,vT时，XVI或%>-。，。=一1时，,。>一1时，*<-。或工>1.综上，T时，不等式的解集为(e,l)(-,+),。>一1时，解集为(T0,-).