微专题12 奇偶性问题（解析版）.docx

微专题12奇偶性问题【方法技巧与总结】方法技巧一、函数的奇偶性概念及判断步骤1、函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个4,都有f(-x)=(x),那么/(x)称为偶函数.奇函数：若对于定义域内的任意一个工,都有/(-x)=-(x),那么/(另称为奇函数.诠释：(1)奇偶性是整体性质；(2)戈在定义域中，那么T在定义域中吗？-具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；(3)/(x)=(x)的等价形式为：/(x)-f(-x)=0,4z=KfM0),JM/(T)=-/(M的等价形式为：/W+/(-X)=。,与W=-KU)0):fW(4)由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有/(0)=0；(5)若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f()=O.2、奇偶函数的图象与性质(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.(2)如果一个函数为偶函数，则它的图象关于)，轴对称；反之，如果一个函数的图像关于)，轴对称，则这个函数是偶函数.3、用定义判断函数奇偶性的步骤(1)求函数f(x)的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；(2)结合函数Fa)的定义域，化简函数f(x)的解析式；(3)求/(-幻，可根据/(-外与/0)之间的关系，判断函数/(x)的奇偶性.若/(-X)=-/(x),则/*)是奇函数；若f(-)=F(%)，则/()是偶函数；若/(力工±/(幻，则/(X)既不是奇函数，也不是偶函数；若/(X)=/*)且/(X)=/(1)，则/(为既是奇函数，又是偶函数方法技巧二、判断函数奇偶性的常用方法(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点对称的，再判断/(-X)与±()之一是否相等.(2)验证法：在判断/()与/(x)的关系时，只需验证/(T)±(x)=0及S=±1是否成立即可.f(x)(3)图象法：奇(偶)函数等价于它的图象关于原点(y轴)对称.(4)性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数：一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.(5)分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量X的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称,然后判断了(-幻与/*)的关系.首先要特别注意X与T的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，f(x)与/(-幻对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.方法技巧三、关于函数奇偶性的常见结论(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数/(x)是偶函数。函数/(x)的图象关于y轴对称；函数八幻是奇函数。函数/a)的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数y=(x)在X=O处有意义，则有/(0)=0;偶函数y=f(x)必满足f(x)=f(x).(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数/(x)的定义域关于原点对称，则函数/(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式记g()=g/(X)+/(-)，(x)=g/(X)-f(-x)，则f(x)=g(x)+h(x).(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如/()+g(fW-g(xf(x)×g(fM÷g(x).对于运算函数有如下结论：奇±奇二奇；偶士偶=偶；奇±偶二非奇非偶；奇x(÷)奇二偶；奇x(÷)偶=奇；偶x(÷)偶二偶.(7)复合函数y=g(x)的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.【题型归纳目录】题型一：函数奇偶性的判断题型二：求函数值与解析式题型三：已知奇偶性求参数题型四：利用性质解决不等式问题题型五：性质的综合运用【典型例题】题型一：函数奇偶性的判断例1.下列函数是奇函数的是()A. y=>xB.y=2x2+3C.y=-D.y=-x2,xe(-1,1)【答案】C【解析】对于A：y=J7定义域为O,+"),不关J：原点对称，所以y=JT为非奇非偶函数，故A错误：对于B：y=(x)=22+3定义域为R,则f()=2()2+3=2f+3=(x),即y=2f+3为偶函数，故B错误；对于C：y=g(%)=-:定义域为(一8,0)U(0,),则g()=-W=T=-g(),故y=-g为奇函数，故C正确；对于D：>=/7(工)二一£,工£(一,)定义域为(-1,1),则力(一X)=-(T)2=一9="(),所以y二一12,%(一,)为偶函数，故D错误；故选：C例2.已知尸(X)=(V-2x)f(x),且力是定义在R上的奇函数，/(l)0,则F(X)()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数【答案】B【解析】由已知尸(K)的定义域为R,因为/(x)是定义在R上的奇函数，所以/(70=-/3),所以尸(X)=(-X3+2x)/(-)=(-«3-2x)(x)=F(x),所以Fa)为偶函数，又F(T)=(T+2)/(7)=/，F(l)=(l-2)(1)=-(1),又“l)0,所以尸(T)-f,所以尸(力不为奇函数，故选：B.例3.(多选题)己知函数“力，g(x)均为定义在R上的奇函数，且力工0,g(x)O,则()A./(x)+g(x)是奇函数B./(X)-g(x)是奇函数C./(x)g(x)是偶函数D./(X)Ig(X)I是偶函数【答案】ABC【解析】因为函数/(),g(x)均为定义在R上的奇函数，所以T)=-F(X),g(r)=-g(x),对于A选项，设F(X)=f(x)+g(x),则尸(T)=f(-x)+g()=-(x)-g(x)=-F(x),所以f(x)+g(x)为奇函数，故A正确：对于B选项,设尸(X)=/(%)g(x),则F(T)=/()-g(r)=-/(x)+g(x)=-尸(x)，所以f(x)-g(x)为奇函数，故B正确；对于C选项，设F(X)=/()g(),则/(一=/(一)g(-)=-()-g()=F(),所以f(x)g(x)为偶函数，故C正确；对于D选项,设尸(X)=/(x)Ig(X)I,则3(T)=()g()=-(x)卜g(x)=F(X),所以/(x)Ig(X)I是奇函数，故D错误.例4.(多选题)下列判断正确的是()A.x)=(x1)是偶函数C.f(x)=3-X?+Jf-3是奇函数【答案】BC【解析】对于A,由90且l0,故选：ABC.B. /(x)=f+X"<1是奇函数-x-+x,x>0iTD./(x)=2是非奇非偶函数卜+斗-3得TVxv1.则“力的定义域不关于原点对称，所以函数/(X)为非奇非偶函数，故A错误；对于B,函数外”的定义域关于原点对称，当QO时，TV0,/(x)+f(-x)=-x2+x+(-xy-X=O»当XVo时，也有f(x)+f(T)=0,所以f(力为奇函数，故B正确；对于C,由3fo且f-30,得/=3,BPx=+3,力的定义域关于原点对称，此时X)=0,所以了(力既是奇函数又是偶函数，故C正确；对于D,由l-fo且+3-30,得一lxl且x0,/U)的定义域关于原点对称，因为f(x)=f与1=ME,X+3-3X/(-x)=-EZ=-(x),所以函数/()为奇函数，故D错误.故选:BC.例5.判断下列函数的奇偶性./(x)=V；X)=(XT)席；(3)(x)=3-x2+x2-3;-2x,x<-1(4)/(X)=,2,-lxl.2x,x>1【解析】由奇偶性的定义对各个题一一判断即可得出答案.(1)/(力的定义域是(T4°)U(°，M),关于原点对称，又/(一=(一刈3-2=一13一£|=一/(刈，所以f(x)是奇函数.(2)因为/(力的定义域为卜1.l),不关于原点对称，所以/(X)既不是奇函数也不是偶函数.(3)因为")的定义域为卜"封，所以小)二°,则/(x)既是奇函数又是偶函数.(4)方法一(定义法)因为函数/(“)的定义域为R,所以函数/(“)的定义域关于原点对称.当x>l时，v-l,所以f(-x)=(-2)x(-X)=2x=f(x);当Txl时，/(x)=2;当JVT时,-x>l,所以/()=2()=-2x=f(x).综上，可知函数，(力为偶函数.方法二(图象法)作出函数/(x)的图象，如图所示，易知函数/(x)为偶函数.例6.设函数f()对任意灯yR,都有"+y)=)+f(y),证明：f()为奇函数.【解析】证明：函数/()的定义域为R，关于原点对称，因为函数/()对任意",”R,都有f(+y)=f()+f(y),令=y=o,贝j(o)=2/(0),得"0)=0,令y=r,则/(0)=(x)+(),所以“x)+f()=0,即f()=-f(),所以f(x)为奇函数.题型二：求函数值与解析式例7.已知y=/(x)是定义在R上的奇函数，当XO时，/(x)=-4x,则X<O时，/(X)的解析式为【答案】/(x)=-x2-4x【解析】当x<0时，则r>0,因为当x>0时，/(x)=x2-4x,且y=(x)是定义在R上的奇函数，所以f(-x)=(-)2-4-x)=2+4x=-f(x),即/U)=-X2-4x,故x<0时,/(%)的解析式为f(%)=2-4x.故答案为：f(x)=-x2-4x.例8.已知“可是偶函数，当x<0时，/(x)=x(x+l),则当x>0时，/(x)=.【答案】MK-I)【解析】由x>0,则TV0,且函数/(力是偶函数，故当x>0时，/(x)=()=()(r+l)=MxT)故答案为：MXT)例9.己知f(x),g(x)分别是R上的奇函数和偶函数,且f(x)+g(x)=3x2+l,试求“力和g(x)的表达式.【解析】解析：以一X代替条件等式中的孙则有“)+g(-x)=3f+l,又“力，g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，故-/(x)+g(x)=3x2+x+l.又f(x)+g(x)=3x2r+l,联立可得/(x)=,g(x)=3+l.例10.己知函数y=(x)的图象关于原点对称，且当x0时，/(x)=-2x试求/")在R上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.【解析】(I)/(幻的图象关于原点对称，./(X)是奇函数，J()=-"x).又/(X)的定义域为R,J(O)=-A0),解得/(0)=0.设戈<0,则一x>0,丁当X>0时，/(x)x2-2x,./()=(-X)2-2(T)=+2X=-/(X)'fM=-X2-2x,X2-2x(x>0)所以/=。U=O):-X2-2x(x<0)例I1.已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，/(x)=+2x.(1)求当x>0时,函数/(x)的解析式；(2)解不等式V/(x)-f(-x)>0.【解析】(1)由外力为奇函数，得"f)=一"H.当QO时，r<。，故f()=-f(x)=(rJ+2(-x)=x2-2t故当x>0时，f(x)=-x1+2x.由f(r)=-f("),得Xl/()-")="(x)+(x)=2rV(x)故叩(X)T(T)>0=2<f(x)>0=/律O或惴<0.如图所示，画出函数/(X)的图象.x>0(x<0由图易得J3>0的解集为(0,2),。<0的解集为(一2,0)，故不等式式“x)-")>0的解集为(-2,0)U(0,2).题型三：已知奇偶性求参数-X1+X,X>0例12.若函数/(x)=<x=0是奇函数，则实数。的值为.ax2+x,x<0【答案】1【解析】若/(力是奇函数，则有，(一X)=-/(x)当x>0时，-XV0,贝J(一X)=(-x)2+(一X)=公2一元，又当x>O时，f(x)=-x2+x,所以-f(x)=f由/(一X)=-f(x)，得Or2-X=Y-X,解得=i.故答案为：1.-x2+2x,x>0例13.已知函数/(x)J,X=O是奇函数，则m=.X2+mx,x<0【答案】2【解析】当x<0时，一x>0,f(-x)=-(-X)2+2(-x)=-X2-2x,又/(x)为奇函数，f(x=-f(-x)=x2+2xf而当X<0时，f(x)=X2+nx,所以/W=2.故答案为：2例14.定义在区间E2上的偶函数/()=jv2+ar+,最大值为小，则。+桃+=【答案】3【解析】由题意，函数/(可在,2上为偶函数，所以+2=0,解得=-2,又由/(x)的图象关于丁轴对称，可得=0,可得/(x)=Y+l(U2),可得了的最大值为5,即m=5,所以a+/+=0+5-2=3.故答案为：3.例15.若函数/(x)=3-bX2+r在34,2+上为奇函数，则,【答案】【解析】因为函数f(x)=3-b2+在3,2+上为奇函数，所以3o+2+=0,得=-1.2又f()=一/O),BP(-X)3-b(-x)2-l(-x)=-X3+bx2+x,即2bf=0恒成立，22所以6=0,所以。+力=-?.2故答案为:-.例16.已知函数/(x)=(aT)X3+2f7是偶函数，则a=.【答案】1【解析】函数)=(T)x3+21T是偶函数,则f(l)=/(l)，即一(a_l)+2_l=a_l+2_l,解之得4=1经检验符合题意.故答案为：1题型四：利用性质解决不等式问题例17.函数/(力为奇函数，/(x+2)是定义在(TT)上的减函数，若+则实数，的取值范围为.【答案】(1.2)【解析】由题意，/"+2)的定义域为(一3,-1),所以/(x)的定义域为(T1),则二=；：二：:1解得IVm<2.又/(x+2)是(一3,T)上的减函数，所以奇函数/(x)在(TI)上单调递减.由f(m-l)+(3-2m)v0,(w-l)<-(3-2w),所以/(加-1)</(2加-3),即1>2机一3,解得mv2.综上，Ivmv2.故答案为：(1,2).例18.已知函数y=(x)是定义在R上的奇函数，在(0,十上的图象如图所示，则使f(x)<0的X的取值集合为.【答案】(-3,0)u(3,y)【解析】解析y=()的图象如图所示，由图易得使/(x)<0的X的取值集合为(-3,0)u(3,÷).例19.奇函数/(x)在(0,+)上为增函数，(D=O,则不等式斗3.生2022()>0的解集为【答案】"IXVT或>l【解析】因为f(x)为奇函数，且在©+8)上是增函数，/(1)=0,所以/(T)=-F(I)=O,且在(YOQ)上也是增函数，因为2023/(幻一2022/(T)=2023*)+2022(x)=4045(x)>XXX(>0x<0x>0X<0即、A,小或、nf(N,I或I，即方>1或“<-1，所所以不等式的解集为/(x)>0=/(1)U)<0=t(-l)x>ix<-lxx<T或x>l.故答案为：xx<7或x>l.例20.已知奇函数在O,*)上单调递减，若f(2c1.l)>f(l),则实数。的取值范围为.【答案】(fl)【解析】因为奇函数/(x)在口+8)单调递减，所以/(x)在(yo,0)单调递减，且/(0)=0,所以/(x)在R上单调递减，则/(2-l)>f(l)等价于2a-1<1,解得”1,故答案为：(-,1)例21.己知偶函数/(x)的定义域为R,当xw0,+8)时，/(x)=,则/(xT)<l的解集为()c叵吗D-【答案】D【解析】/(x)=-=+1+3=-1+,j(x)在0,+8)上单调递减，又“力为偶函数，x+1x+1x+1)=，XT)<1，(-1)(x-1)p解得：或>,J(x-I)VI的解集为(o,g)俘+00)故选：D.例22.定义在R上的偶函数/(x)满足：对任意的牛x2e0,*o)(x产W),有小与3<0,则()%-X2A./(3)<(-2)<(l)B./(l)<(-2)<(3)C.f(-2)vVfD./(3)<(1)</(-2)【答案】A【解析】因为/(x)满足，对任意的X，&0,÷oo)(x1A),有G),士)<0,X-X2所以了(力在0,+8)上单调递减且“X)为偶函数,则-2)=/(2)由Iv2v3可得/(1)>”2)>(3),EP(3)<(-2)<(1)故选:A题型五：性质的综合运用例23.已知函数/(x)=W2+nr+2(w,"R)是定义在2m,m+3上的偶函数，则函数g(x)=f(x)+2x在-22上的最小值为【答案】-6【解析】I大I为函数/(工)=g2+m+2(历,1i)是定义在2/几?+3上的偶函数,/(T)=5即.2n+/H+3=02r2Cmx-nx+2=mx+nr÷2n=-2nx=0n=-1解得=0w=-l所以g(x)=f(x)+2x=Y+2x+2=3-(X-I):,xe-2,2,所以g(_2)=_(_2y+2x(_2)+2=-6,(2)=-22+2×2÷2=2,则g(X)而=Y，故答案为：-6例24.已知函数/(X)的定义域是O=xwRx±0,对任意为，都有：/U,x2)=U1)+U2),且当x>l时，/(x)>0.给出结论：“是偶函数；”力是奇函数；"，)在(o,y)上是增函数；/(力在(o,y)上是减函数.则正确结论的序号是.【答案】【解析】先探究函数的奇偶性：:对任意X1,占。都有：/(%)=/(%)+/(%2) 令X=X2=1,W×D=/(1)+/(1)=2/(1),BP/(1)=0；xi=2=-1,(-l)×(-l)=(-l)+(-l),p/(1)=2/(-1)=0,解得-I)=0；令M=T,42=x,有/(T)=/(T)+(x),即/(一x)=(x), /(可为偶函数.故正确，错误；再探究函数/(X)在(0,+8)上上的单调性：令>O，则%>1：*2 ；/(x1x2)=(x1)+(x2),且当时，/(x)>0,./(x1)-(x2)=(-x2)-(x2)=(+(x2)-(x2)=(>0,X2X2X2 /(X1)>/(X2),即函数/(力在(0,y)上单调递增，故正确，错误；故答案为：.例25.设函数/(X)=在区间-2,2上的最大值为M,最小值为M则(/+N-1)故2的值为【答案】1【解析】由题意知，/W=÷1(Xw-2,2),设g(x)=±t"则/()=g()+i,X+1因为g(-%)=；+：=-g，所以g(x)为奇函数，g(x)在区间12,2上的最大值与最小值的和为0,故M+N=2,所以(M+NT)2022=(27)3=i.故答案为：1例26.已知©是定义在区间一一上的奇函数'且人)=1,当me-hI1.。+尔。时，有与泮0成立.(1)判断兀t)在区间-1,1上的单调性，并证明；(2)若内乃/-24m+1对所有的-1,1恒成立，求实数的取值范围.【解析】(1)/)在区间-1,1上单调递增.证明如下：任取X/,X2三-1»1»且XVX2,则一切£一1,1.U)为奇函数,x)-AT2)=人内)+X2)=/(%)+止12)x+(f)(XT2).由已知条件得/(%)+/(一汽)r+(-)>0.又幻X2<0,7/1盯)一/(工2)<0，即风口)<«工2).U)在区间-1,1上单调递增.(2)7U)=1./U)在区间-1,1上单调递增,在区间-1，1上，0l”2-2卬"+1对所有的a-i,1恒成立,fn2-2am-1>1»即加22。哈。对所有的-1,1恒成立.设g(。)=-2ma-nr.若加=0,则g()=OO,对f,1恒成立.若小和，则g()为a的一次函数，若g()O,对-l,1恒成立，必须有g(-l)0,且g(l)0,.*.m<-2或m>2.综上所述，实数卅的取值范围是网"?=0,或wN2,或加0-2.例27.已知函数)=(x)是定义在H上的奇函数，且当x<0时，/(x)=x2+2x,现已画出函数段)在)，轴左侧的图象，如图所示.请补出函数y=(),R剩余部分的图象，并根据图象写出函数y=f(),R的单调增区间;(2)求函数y=(),xR的解析式；(3)已知关于X的方程Fa)二M有三个不相等的实数根，求实数的取值范围.有图可知,函数可用的单调增区间为(-1,1)；(2)因为当工<°时，/(x)=+2x,所以当x>0时，则一x<O,*f(-x)=(-x)2+2(-x)=X2-2xt由AX)为奇函数，f(x)=-f(-x)=-x2+2x,即当X>O时，/(x)=-X2+2x,又")=0,x2+2x,x<0所以函数)的解析式为f()=o,X=O-X2+2fx>0X2+2x,x<0f(x)=O,x=0作出函数y=()与y=m图象，如图,由图可知，当-<m<时，函数y=()与丁=桃图象有3个交点，即方程f()=m有3个不等的实根.所以小的取值范围为(-U).例28.函数y=()的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数y=()为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数"力的图象关于点P(,b)成中心对称的充要条件是函数y=(x+)-b是奇函数.(I)依据推广结论，求函数/(x)=d-3/的图象的对称中心；请利用函数/(x)=f-3/的对称性/(-2019)+(-2017)+(-2015)+/(-3)+/(-1)+/(1)+3)+5)+一+2017)+/(2019)+/(2021)的值；(3)类比上述推广结论，写出“函数y=()的图像关于3'轴成轴对称的充要条件是函数y=()为偶函数”的一个推广结论.(不需要证明)【解析】(1)设/(I)=""3/的图象的对称中心为P(则g(x)=(x+)-"为奇函数，所以g()=-g(x),Wf(-x+a)-b=b-f(x+a),所以f(-x+)+f(x+a)=2/?,KP(-x+6)-3(-x+)"+(x+a)3-3(x+)'=2bt整理得(6。一6)寸+2GT-»=0,(对函数“力定义域内的任意X都成立)，6«-6=0f=l所以3A2八，解得八02a-6a-2b=0b=-2所以函数"x)=V-32的图象的对称中心为(1,一2)；(2)由(1)知函数f(r)=l-3f图象的对称中心为(1,一2),所以/(-+l)+(+l)=T,则f(-2019)+f(2021)=(-2017)+f(2019)="T)+"3)=-4,又"1)=2,所以2019)+/(-2017)+/(-2015)+-+-3)+/(-1)+/(1)+3)+“5)+(2017)+(2019)+(2021)=-4×1010-2=-4042;(3)推论：函数y=(")的图象关于直线1=。成轴对称的充要条件是函数y=(+G为偶函数，或函数y=f()的图象关于直线Aa成轴对称的充要条件是'('+""/Sr).11.r-2O<x<lI例29.已知函数兀V)为奇函数，当工>0时，/(X)=T''若Kr)在-4,-上的最大值为切，最小值2-3,x1,1.为，求/n+.【解析】如图，画出Ax)在(0,+8)上的图象，1(x)min=yU)=-l,又/(g=2,a)=5,所以7(x)max=(4)=5,又;(X)为奇函数，所以当XWT，-；时，r)max=(D=-/U)=1./(X)min=<-4)=一<4)=-5.所以ZW=1.n=-5,故m+=l5=-4.例30.设函数"力的定义域为(T1),且满足:当x(-l,0)时，/(x)>0;")+"y)=产，%w(Ti).l+yj则/()是函数(填“奇"或"偶”)，/(x)在定义域上是函数(填“增”或“减”).【答案】奇减【解析】")+"y)=f(岩令x=y=O,则f(O)+"O)="O),所以"0)=0,令y=一,则/()+(-M=/(O)=o，又因为f(M的定义域关于原点对称，所以/(“为奇函数；任取x,w(-1,0),且大<%，则/(4)-/(W)=/(内)+/(-工2)=/(上一”I-X1X2;因为T<M<W<0,所以当一工2<0，0<X%2<,所以I-XIX2>°，所以<0,z+=0+(IF)>0,一中2l-1.2l-12所以户工>T,所以<产2<0,I-X1X21-x1x2(由条件得/FW>0,所以f()-(z)>O,所以/(X)在(To)上是减函数，J-X1X2;又“X)为奇函数，所以在(TI)上是减函数.【过关测试】一、单选题21 .某同学在研究函数/()=d时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是()kl+1A.函数/(x)是奇函数B.函数/(x)的值域是(1.+8)C.函数“力在R上是增函数D.方程/(x)=2有实根【答案】D【解析】对于A,f(-x)=-=f(x)f故f(%)是偶函数，/(-D=Z(I)=I,/(力不是奇函数，故A错-+1误，对于B,当x0时，/U)=x+l+-一一2,由对勾函数性质知/(x)(0)=0,x+1x+1而/(X)是偶函数，/(X)的值域是血+),故B错误，对于C,当x>0时，/U)=x+l+-2,由对勾函数性质知/(%)在(0,÷)上单调递增，x+1x+1而f(X)是偶函数，故/(X)在(F,0)上单调递减，故C错误，对于D,当x>O时，/(x)=2,即x2-2x-2=O,解得X=6+1,故D正确，故选：D2 .函数/(力=/-2凶+5的单调增区间是()A.(-,-1)和(O,l)B.(e,一1)和(l,+)C.-1,0和口,+oo)D.(-1,0)和(U)【答案】C【解析】由/(T)=(T)22|T+5=f_2W+5=x),则/(力为偶函数，/(x)的图像关于>轴对称.当x0时，/(x)=x2-2x+5,对称轴为x=1,所以力在I,”)上递增，在0递减:则当x0时,")在TO递增，在(Y>,-1递减,则有了(X)的递增区间为3 .若函数/(0=2/+3%y：2022d在卜2022,2022上的最大值为M,最小值为N,且M+N=2024,则实数J的值为()A.-506B.506C.2022D.2024【答案】B【解析】函数=空:生空!密：=2G+)+3x+2022x5=2,+3x+2022/,''X4+tX4+tX4+/令F(X)=/(x)-2=写答,因为F(T)=-3：管=一户，所以Fa)为奇函数，又“力在-2022,2022上的最大值为M,最小值为M且M+N=2024,所以尸(x)的最大值为"-力，最小值为N-2r,所以(-2)+(N-2)=0,则/=506.故选：B4 .已知定义在R上的函数/(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：WXWRJ(T)=f(x);,x2(0,侄)，当X户超时，/(百)一工Jaa)>。记=/，Z,=Z1.21,C=组，则()x-X235A.c<a<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a【答案】B【解析】依题意，1,x2(0,-hx),x1x2,J(X2)>0,Nr2f(x即.r1JGn,所以函数要在(0,+8)上单调递增.=>oXX1.X2又VXeR/(-x)=(x),所以函数是R上的偶函数，所以止尘世,则有犯<世<生，所以”，33135故选：B.5 .若函数“H=(2.1；I+。)为奇函数，则=()1 23A.：B.4C.-D.I2 34【答案】A【解析】由函数x)=(2x_；(x+a)为奇函数，可得"r)=-(x),所以Q2-l)(-+)(2x-1)(+),所以一工(21一1)(工+)=一式(一2工一1)(一工+4),化简得2(2-l)2=0恒成立，所以2-l=0,即a=g,f(xx=2x1经验证(2-l)f+ll4/T，定义域关于原点对称，且满足“)=-(x),故。=5；故选:A.6.已知偶函数/(同在10,+8)上单调递增，且-3)=0,则#(工-2)>0的解集是()A.-3<x<3B.xTVXVO或x>5C.x0<x<5D.xx<-5或x>l)【答案】B【解析】因为/(x)是偶函数且在0,+)上单调递增，/(-3)=0,故”3)=0,所以当XV-3或x>3时，/(x)>0,当-3<xv3时，/(x)<0./、fx>Ofx<O所以VX_2>0等价于02或2',x-2>3x-2<-3-3<x-2<3解得x>5或T<vO,所以不等式的解集为TVxvO或%>5,故选：B.7.定义在-2,2上的偶函数/(x)在区间0,2上单调递减,若“1-.)</(7),则实数?的取值范围是()A.m<一-B./M>C.-<m<-D.-<m22222【答案】C【解析】()是偶函数，(x)=(-x)=(x),故f(l-m)</(m)可变形为/(l-w)</(w),/W在区间0,2上单调递减，-2l-m2-m3故卜2m2l-n>m-2<m<2=>-m<-.2故选：C.8 .下列图象中，不可能是f(x)="+%aR)的图象的是()【解析】当=0时，/(x)=p为反比例函数，对应A中图象，故A错误；当>O时，3=r+g是对勾函数，函数为奇函数，且x>O时，/(x)在(,用上单调递减，在乎收上单调递增，对应D中图象，故D错误；当<0时，/(x)=r+:为奇函数，旦x>0时，尸奴，y=:均单调递减，故/(x)在(0,+)单调递减，对应C中图象，故C错误.故选：B.二、多选题9 .已知函数/(x)=Kk-4,其中R,下列结论正确的是()A,存在实数，使得函数/(x)为奇函数B,存在实数。，使得函数/("为偶函数C.当>0时，/(力的单调增区间为卜oo£j,(,+8)D.当"0时，/(力的单调减区间为6,【答案】AC【解析】Ih/(-x)=-x-x-c=-xx+a,显然当4=0时有/(一力=一/(%)，但不存在实数4使-工)=/(同成立，所以存在实数小使得函数/(X)为奇函数，不存在实数小使得函数/(X)为偶函数.所以选项A正确，选项B错误；“力TE当。>0时，易知"力在(Y>，Ml上单调递增,在他，力上单调递减,在(3)上单A-axtxa2J<2J调递增,所以选项C正确;同理可得,当"0时，/(力在(YOM)上单调递增,在(现上单调递减,在信+可上单调递增，所以选项D错误.故选：AC.10 .己知定义域为R的函数/(x)在(3,T)上为增函数，且/(-)为偶函数，则()A./(x)的图象关于直线x=-1对称B./(x)在(TE)上为增函数C.7(l)=(-2)D.-3)</(0)</卜£|【答案】AD【解析】因为/(x-l)为偶函数，且函数“力在(-8,T)上为增函数，所以/(X)的图象关于直线X=-I对称，且/(x)在(-1，内)上为减函数，所以A正确，B不正确；因为/(x)的图象关于直线X=-I对称，0)=(-3)(-2),所以C不正确；因为“刈的图象关于直线X=T对称，所以f(0)=(-2),/卜小=/(一|)，又/(x)在(-,T)上为增函数，所以/(一3)</(-2)</(-1),即_3)<0)<d，所以D正确.故选：AD.11.在复习了函数性质后，某同学发现：函数y=f()为奇函数的充要条件是y=")的图彖关于坐标原点成中心对称：可以引申为：函数y=(+G-匕为奇函数，则y=()图象关于点P(9)成中心对称.现在已知函数/(x)=2x3+n/+以+的图象关于(1.O)成中心对称，则下列结论正确的是()A. /0)=1B. /(2)=-lD.对任意xR,都有/(l+x)+(l-x)