微专题04 利用基本不等式解决多元最值问题（解析版）.docx

微专题04利用基本不等式解决多元最值问题【方法技巧与总结】利用基本不等式求解多元最值的常用技巧(1)互倒模型(2)平方和与积的转换(3)条件等式求范围(4)换元消元法【题型归纳目录】题型一：互倒模型题型二：平方和与积的转换题型三：条件等式求范围题型四：换元消元法【典型例题】题型一：互倒模型例1.若>2,b>3,则£十£的最小值是()a-2力-3A.16B.18C.20D.22【答案】C【解析】因为。2,b>3,所以49=a-2+/?-3hFlOa-2b-3a2h2a1-4+4h2-9+94=4a-2b-3a-2b-3-2)÷-3)÷÷10=2°(当且仅当=4R6时，等号成立)，所以，十三的最小值是20.故选：C例2.设。>勿>0,那么J+1、的最小值是.b(a-2b)【答案】16【解析】因4>Zh>0,Mh(a-2b)=2ba-2h)-(2/?+2Z?)2=y,当且仅当给=-M,即b=时'当且仅当片='即仁】时取，=，因此，=2÷±)8x27J=168所以当°=m4时，得取最小值故答案为：16例3.已知正实数源且+”2,三÷的最小值是（A.2B.IciD.【答案】C【解析】因为正实数db,a+2b=2t故3+l)+(3+D=4,所以W=*+D+侬+1)XWTj誓)'“1«+11z,2b+xa+lII2b+a+lI一故+=-(1+)+=-+-+-+2×a+2b+4a+2h+44+l2b+41=544当且仅当。=I6=?时取得等号，36故选：C例4.若正数,b满足1.+1=l,则上+普的最小值为一.aba-b-【答案】16【解析】因为正数m满足ab则有1.=-1.=!l,abh三=i11tz-l口r1七1b=1=,即启=-fbaaa-aMd*4164b16a、rUb16«.,则有+=+2J=16,a-b-abVabb当且仅当竺=华即有b=2,又i+J=l,abab3即有=,b=3,取得最小值，且为16.2故答案为：16.例5.已知实数x2y>0,z>0,则r彳二十丁丁的最小值为x+2y2y+3z【答案】1+四【解析】因为x2y>0,z>0,所以%+4y+3zxx+2y2y+3zx+2y+2y+3zxx+2y2y+3z2y+3zXx+2y2y+3z1+23,+3z+xl+22y+3z=1÷22x2y+3zV2x2y+3z当"X=2yf2yh3z=X=>2x=2y+3z,x=2y取等号“2x2y+3z综上所述：x+4)：3z+不；的最小值为+x+2y2y+3z故答案为：1+041例&已知当小赤m取到最小值时，-341【答案】4【解析】知。>方>0,当4a+丁三+/取到最小值时，a=42a+b2a-b4I41由题意知：4+-+-=2+Z>+-+2a-b+-2a+b2a-b2a+b2a-b可+与T2j(2f)一=6，4131当且仅当2a+b=-,2a-h=即=,b=3;时取等，2a+b2a-b42故当44+42a+h有取到最小值时,3故答案为：4.4例7.已知正数,人满足+b=l,cR,则r工+l+3的最小值为bc+babc+ah【答案】62-3【解析】由。+。=1,得6+2"+=l,a>0,0>0,r113a1c21/3。a2+2ab+b2xC21Aab小八？则一；+；+3c2=F(+)+3c2=F(+-+2)+3c2bc+bahc+abc+babc+ba-A7+3(c2+1)-36-3,当且仅当b=2。,-AT=3(/+1)时取“二”，c+lc+1所以当。=2乃=,。2=应-1时，停+1的最小值为6应-3.33bci+babci+ab题型二：平方和与积的转换例8。也C是不同时为°的实数,则忐%的最大值为.【答案】y【解析】ab+be_ab+bea2+2bi+c2a2+b2+b2+c2a2+b22abb2+c22bc当且仅当a"=时取等号'所以7%="占认旌W*7的最大值为1例9.若实数如满足病+4*，则金的最小值是【答案】J【解析】解析：令X=6,y=2，则_4恤一2刀.尸田"+力=",因为（3T3=1.所以m+2n-x+y-x+y-1x+y-2J22-拒y从而当尸即g,当且仅当户尸当时，等号成立，故事的最小值为1-应.故答案为：1-例10.若实数满足42一=4,则5宗+2必的最小值为【答案】4解析】4/+=1，设+g=x,则x0,a-g,S/+2a/?=5x；（x+，）+（x+，）（x）=；（9f+4）+.x2+=4,等号在冬即叫竽小一半或竽三竽时成立.所以5/+2必的最小值为4.故答案为：4例11.)已知0<<,则M=/：；15+j(2-/)的最大值为a+tz÷l1,11=;=-=【解析】当O<“<时，a2+2a+5(+l)-÷4(+1)+-4-44,4当且仅当时，即当。=1时，等号成立.a+l当OVaV>2时,a>2-a2=Ja?(2-/)，"二；匕=1,当且仅当/=2-/时，即当=1时，等号成立.因此，当。=1时，M取得最大值，即MnIaX=：+1=；.故答案为：,.4例12.若次，XZ均为正实数，则,斗：",的最大值是.x+y+z【答案】亚2【解析】因为,y,z均为正实数，XV÷VZ_xy+yz所以'+4+Z?一评+92)+(；/+/<孙+yz_xy+yz_J1oJ2y2y2(xy+yz)2，2xy+2yzJ'1I1.(Z,1.，即X=2一yz故答案为：立.2例13.已知X,ywR,2-【答案】马叵5【解析】；炉-jy+9y2=l,.x2+9y2=l+xy.6x>,即初,Z=芋y时等号成立.xy+9y2=l,则x+3y的最大值为.3153i?X=X=当且仅当x=3y,即2或F时，等号成立，51515U15I15221io.(+3>,)2=x2+6xy+9y2=1+Ixy1+7×-=,.215_215.-x+3y一$一，X+3)，的最大值为名叵.5故答案为：巫.5Xy+yz,<19例4不等式号七对任意正数"z恒成立,贝普的最大值是一【答案】1，版土二YI.1、/Xy+户_Xy+)'Z<J'+)'Z_1当=y=z时取等号，所以【解析】因为，r，>->1'>、cC-cX+2y+zX+y+y+z2xy+2yz2、3）；?+z2的最大值是、，即l+g-42'3,解得-gl,所以的最大值是1.故答案为：1例15,若>0,b>Of且他=3a+劝+27,则必的最小值为（）A.9B.16C.49D.81【答案】D【解析】由题意得"=3+3A+276疯+27,得而一6而-27=（痛一9）（向+3）0,解得疯9,即时81,当且仅当a=6=9时，等号成立.故选：D例16,已知实数。力，且而>0,则21”2R的最大值为.+h+ab+4【答案】IO【解析】由"+z2b>o,所以2£2岸土"OJa+b+ab-+42ab+ab+4ab1,11又由2昉+W+42+ah+±6,abVab当且仅当=6时，等号成立，所以可一产HJ.a-+b-+a-b-+46故答案为：!6例17.设x>0且则;了的最大值为【答案】空4【解析】由题意，x>0,l+y2>0由均值不等式，当>0,">0时，a2+b22abab<,2当且仅当M=/即=力时等号成立故(7x)XJl+y22"*")=x2+,即XJl+y2Y2222、4当且仅当缶=Trr了即=%=±q时等号成立故答案为：逑4例18.已知正实数X,y,Z满足f+V+z?=4,则心+2”的最大值为【答案】24【解析】二F,九Z为正实数,：.4=x2+y2+z24ZnyZf.*.xy+2yz25,当且仅当y=Jx=或z=时，等，成立,2.,.X+2yz的最大值为2正.故答案为：25"例9已知正实数X,y满足+y=i,则f+y2的最小值为【答案】12【解析】因为+y=l,所以孙早J=(gJ=j当且仅当=y=;时，等号成立，所以/+y?=(X+y)?一2封=l-2xyl-2×=g,所以的最小值为T,故答案为：题型三：条件等式求范围例20.设x>O,y>O,x+y-y2=4,则/+；的最小值等于()A.2B.4C.gD.-24【答案】B【解析】)x+y-x2y2=4,可得x+y=fy2+4且x>O,y>O,匚匚“11x+yx2y2+44、CI4".xyxyxyxyyxy4当且仅当Xy=一时，即肛=2等号成立，所以的最小值为4.故选：B.例21.已知实数X,>满足f+V=3,则(2二Y)2+(Tzv7的最小值为4【答案】-解析】设(2x+y)2=tn,(m>0),(x-2y)2=n,(n>0)可得m+=(2%+y)2+(x-2y)2=5(x2+/)=15,lll111zsz11.lz-n叭、1z_In?、4则r+r=(m+)(F)=(2+F)(2+2.1)=.(2x+y)2(x-2y)215mn15mn15Nmn15当且仅当W,即机=与时，等号成立.mn24故答案为：4X+3V例22.已知x>0,y>0,且x+2y=2,则一十的最小值为.X3y【答案】3+逑3【解析】因为+2y=2匚山、I4x+3y2x+4yx+3y_4yxCCqC4>3所以一+1=4+=l=3+-+-3+2J-=3÷-X3yX3yx3>jV33公=二r当且仅当X一3旷，即=3-Iy=农二i时，取等号，x+2y=2所以&+甘红的最小值为3+生叵.X3.y3故答案为：3+生叵3例23,若正数小人满足为+人=1,则不?+工的最小值是2-2a2-b【答案】巫-1.32【解析】设=2-2,y=2-0,则。=三口=2-口，可得+y=3(%v>O),2所以2-2a+2-b,l-wb_2十三+“3(小)二VMV23uV2当且仅当V=6-30,=3点-3时，等号成立，取得最小值.故答案为：2巨一321O例24.若>2,b>-1,且满足出?+。一=6,则一+二二的最小值为.a-2b+l【答案】3解析由(-2)S+l)="+_勿_2=6_2=4又>2,b>-1,则2>0,b+1>0所以198当且仅当一g二=以及ab+a2b=6,即=不。=5时取得等号.a-2b+31Q所以一1.?+的最小值为3a-2b+故答案为：3例25.已知正实数mb,满足4+8=6,则一*二+4的最大值为一.a+lZr+1【答案】11典6【解析】因为正实数叫b,满足+b=6,r1,labab2+a-vb+a2b6(ab+l)6(ab+1)6(ab+1)_=7/+从+(2+)(,2+i)(ab)2+a2+b2+(ab)2-2ab+37(Z>-1)2+36因为a+匕=6,a>0,Z?>0,所以0<成,(?)2=9,当且仅当a=h=3时取等号，令I=Ob-1,-Ivr,8,则原式="Mr+36二6(，+2)66=1+M=(÷2)2-4(÷2)÷40=z+2+J.2+2).J(r_4=,当且仅当，+2=2，即f=2M-2时取等号，此时取得最大值匕2叵,r+2Y6故答案为：11强.6例26,已知正实数4,b,C满足2(+h)="b,B,a+b+c=abcf则C的最大值为【答案珠【解析】由4>00>0,则2(+b)=而22,可得H16,当且仅当a=b=4时取等;又由+b+c=，加。可得C=ab-ab_112cb-222ab-2由必16可得0<2ab-230QQ贝则C的最大值为百.Q故答案为：悔.例27.已知4>0,力>0,且/匕+3从=3+Z?,则+3?的最小值为.【答案】4【解析】由题得时(。+幼)=3+A,.+3h=3+!,Obba所以(+3b)2=(3+1.)(+3b)=10+9l0+2j=16.babaNba(当且仅当=8=1时取等)因为+3b4,所以+外的最小值为4.故答案为：4例28.若直线5-勿-3=0(>0,b>0)过点,则J+1+J"2的最大值为【答案】23【解析】在线双一切一3=0过点(1,一1),则+6=3又>0,b>0,设r=+l+/+2,则f>0t2=a+l+S+2+2j(+l)0+2)=6+2j(+l)R+2)由.+)伍+2)f+1+b+2=9,当且仅当+l=b+2,即=2为=1时等号成立.所以=6+2j(4+l)S+2)12,BP23所以7T+2的最大值为23,当且仅当=2,b=l时等号成立.故答案为：2石例29.已知>0,b>Ot且+2+b+g=10,则:一，的最大值为.abba【答案】4【解析】因为。>0，人>0,且+2+h+M10,ab=10-又+d2j4=4,当且仅当。=&,即=2时取等号,÷12=2,当且仅当=,即b=l时取等号，14（14、所以a+b+-+6,则10+b+一4,baba）52即;-一4,当且仅当。=2、人=1时取等号；ba故答案为：41Q例30.）已知m。为正实数，R+=6+-+y,则+匕的最小值为【笑】81Q【解析】因为。>0、b>0且+b=6+-+;,所以(+力)=I6+|(a+/?)=6(«+/?)+10+6(+b)+10+2日=6(+8)+16当仅当2=即时取等号,即（+b）2-6（+b）-160解得。+力8或+6-2（舍去），当且仅当。=2、6=6时取等号;故答案为：8题型四：换元消元法例31.已知x>0,>j>0,x+y+2xy=2f则-2"：_1.IQ的最大值为.Xy+3孙+18【答案】I【解析】12=x+y+2xy2÷2x>,=>xy+-76,当x=y=2时取等,所以0<>2=>肛(0,4,故令r=Q,+l,则f0,5,Ay+1t_t_<_所以9丫2+3冷，+8_«_1)2+3«_1)+8/+,+6_/+3+_21+1一§，当上=4时，等号成立.rv÷11所以22的最大值为3Xy+3xy+189故答案为："例32已知正实数小人满足+<=2,则加力+的最小值是()ba5八91.A.B.3C.-D.2>2+【答案】A【解析】因为。+：=2,所以a=2-工>0,所以0<b<2»hb所以2"+，=2卜-坊+工=2(26-1)+3，ab)2b-2b-I令2-l=r,则b=?",且T<fV3>2'+11132所以2M+1.2f+2=2f+1.42,Q+1.3当且仅当2=五，即"5,6=片=§时，取等号,at2t2V2t22NqJ所以2他+的最小值是a2故选：A.例33.若正实数。，满足"3吗2加则祟的最大值为一【答案】【解析】因为正实数小方满足b+3A=2/?,所以b2b-3,b+2K三3-22_1X川-V+b-2(厂5)+£'2b-3当!=:，即b=2时取得最大值b22故答案为：y.2x2例34.已知正实数y满足：+xy÷-=2,则3x+2y+一的最小值为yy【答案】42【解析】因为H+w+竺=2,y所以/+D+2=4,y2所以X(J+y)+(x+y)=4,y所以(x+y)+：)=4,x+y=m令24,X+=ym则3x+2y+2=2(x+y)+1X+I=2/w+IAlm.=2而=4五,yy)mVM4当且仅当2团=一即Zn=m时取等号，m2所以3x+2y+q的最小值为4J.故答案为：4人.例35.若实数XQ'满足3f_2xy-y2=,则CVT的最大值为.5.v+2xy+y【答案】也4【解析】令x+)=r,则3f-2y-y2=42一(丁+2盯+J)=©?-/=1，即4产=+”,x+y_x+y_t_t""以5f+2y+y24x2+(x2+2xyf+/)(l+r2)+r2l+2r,当Yo时，T*°当£>0时，TTV=匚1,rZA因为;+22jpT=2,当且仅当;=2f,即f=乎时，等号成立，_1二1=五所以5x2+2xy+y21.+2t2近4.t所以W5的最大值为立5x+2xy+y4故答案为：巫.4例36)炉黑+7(”>1)的最大值为【答案】y【解析】令x-l=f,则x=r+l,/>0,x-ltt1/11所以“2-4x+7(r+l)2-4(r+l)+7r2-2+4f+i.22J7-22,当且仅当，=:，即，=2时，等号成立.所以7三7(>l)的最大值为故答案为：,J.例37.设正实数八八Z满足八3盯+”=。，转取得最大值时，自苫的最小值为一【答案】2【解析】正实数“、八Z满足/一3个+4丁z=0,Jl)z=x2-3xy+4y2f孙二孙二1.1.i_-ZX2-3+4/2+”_32一3，当旦仅当x=2y时，等号成立,yXVyX所以，当x=2y时，?取得最大值1,此时z=-3"+4y2=2y2,z.+=+=+-2P=2,当且仅当=戊时，等号成立.2z22y2y2y因此，5+a的最小值为近.2z故答案为：2例38.已知X,y=R+,且满足x+'-+2y+1=6,若Xy的最大值与最小值分别为M和加，M+n=2xy13【答案匕【解析】Vx,y=R+,设解=，,则子=1,，.6=XHF2y+=Ix+2y+=x+2y÷+-2Xy(2Xyjl2tt12r=(2/+2)x+(4/+1)y2(2r+2)(4r+l),.18仑(r+l)(4r+l)=4r2+5r+l,4r2-13r+l<0,13-3173+3i788孙的最大值与最小值分别为M和m,.、彳13+3713-378813M+m=.4X-2V例39.若实数x,y满足2/+盯一/=1,则MFw方的最大值为【答案】立4【解析】2+xy-j2=l,得(2x-y)(x+y)=l,设2x-y=f,+y=1.其中r0.t则x=!+-1.,y=2-1.,从而x-2y=f-1.5x2-2xy+Iy1=r+-f333f3/、1mlx-2yu1.u=t一一，贝I1-2TT=2，t5x-2xy+2yW+21V1,2不妨设>0,则2-I24，十2J×-“Y当且仅当=2,即=JI时取等号，即最大值为它.M4故答案为：.42+3y2例40.)已知x>0,y>0,则的最小值为.xy+V【答案】2【解析】*y>0,则x2+3y2+3y心+y+1y设二=/,z>o,y则炉+3丫=3=（1+1）2-2（，+1）+4=Sl）+2，+1）J.2=4.2=2,xy+y2t+r+1f+1Vt+4当且仅当f+l=-17,即t=l时取等号，此时x=y,t+1故三士驾的最小值为2,y+y故答案为2例41.若x,y均为正实数，且+二=1，则x+y的最小值为.'2x+yx+3yQ【答案】j【解析】令+y=f,则y=f-,由I-=得=1,1'-12x+yx+3y2x+t-xx+3t-3xx+t3t-2x所以41d2x+2t3t-2x因为x>0,y>0,所以2x+2>0,3r-2x>0,所以口+2）+（3-2刈（备+木卜5,所以4+1+4(3/-2x)2x+2t-+=5/,2x+2t3t-2x所以5，5二+2.二4,2x+2/3/-2x2x+2/3t-2x963所以5f9,即r1,当且仅当X=1,J=W,等号成立.9故答案为：I