微专题18 函数的应用（解析版）.docx

微专题18函数的应用【方法技巧与总结】知识点一、几种常见的函数模型1>一次函数模型：y=kx+b（k,b为常数，4WO）2、二次函数模型：y=a2+bx+c（4,b,c为常数，0）3、指数函数模型：yba+c（4,b,c为常，数，。工0,。>0且。工1）4、对数函数模型：y=/JilogrtX+n（?,为常数，m0,a>0且l）5、哥函数模型：y=ax"+b为常数，工0）6、分段函数模型：y=v+了<阳cx+a,xm知识点二、解答应用问题的基本思想和步骤1、解应用题的基本思想2、解答函数应用题的基本步骤求解函数应用题时一般按以下几步进行：第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.第二步：建模在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.第三步：求模运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.第四步：还原把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际共口TT乐上述四步可概括为以下流程：实际问题（文字语言）=数学问题（数量关系与函数模型）=建模（数学语言）=求模（求解数学问题）=反馈（还原成实际问题的解答）.【题型归纳目录】题型一：几类不同增长的函数模型题型二：二次函数模型题型三：分段函数模型题型四：分式型函数模型题型五：对数函数模型题型六：舞函数模型题型七：利用给定函数模型解决实际问题【典型例题】题型一：几类不同增长的函数模型例1.某地西红柿从2月I日起开始上市.通过市场调查，得到西红柿种植成本。（单位：元/10Okg）与上市时间，（单位：天）的数据如下表：时间，50120150种植成本026005002600由表知，体现。与Z数据关系的最佳函数模型是（）A.Q=at+bB.Q=at2+ht+cC.Q=atD.Q=HOgV【答案】B【解析】由提供的数据知，描述西红柿种植成本。与上市时间/的变化关系函数不可能是常数函数,也不是单调函数；而A,C,D对应的函数，在q0时，均为单调函数，这与表格提供的数据不吻合，所以，选取B,故选：B.例2.已知三个变量,力，为随变量X的变化数据如下表：X12468241664256>214163664%O122.5853则反映y,%，y3随X变化情况拟合较好的一组函数模型是（)A.yi=x2,%=2*,y3=Iog2xB.=2x,y2=x2fy3=Iog2xC.y=Iog2x,y2=x2fy3=2xD.y=2',y2=Iog2x,y3x2【答案】B【解析】从题表可以看出，三个变量%，%，必都随X的增大而增大，但是增长速度不同，其中变量凶的增长呈指数函数型变化，变量力的增长呈辕函数型变化，变量力的增长呈对数函数型变化.此外，也可以使用第五组数据代入检验得到答案.故选：B.例3.下列函数中，当X很大时，y随X的增大而增大速度最快的是()A.y=-exB.y=1001nxC.y=100xD.y=1002jf【答案】A【解析】由题意，当“很大时，指数函数增长速度大于一次函数的增长速度，一次函数的增长速度大于对数函数的增K速度，又e>2,所以当X很大时，)'随汇的增大而增大速度最快的是y二+e'故选：A变式1.下面对函数*)=°g/,go)=(；)与心)=/在区间(。，田)上的衰减情况的叙述正确的是A. /(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变快，MX)的衰减速度逐渐变慢B. /(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变慢，Mx)的衰减速度逐渐变快C. /(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变慢，MX)的衰减速度逐渐变慢D. /(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变快，MX)的衰减速度逐渐变快【答案】C【解析】由函数)=°g;",g()=(;)与心)=；3在区间(o,y)上的图象以及性质知函数/(X),g(x),MX)的衰减速度均逐渐变慢，故选:CX-2-10123y0.240.5112.023.988.02则X,y的函数关系与下列各类函数最接近的是（其中*b为待定系数）（）A.y=a+bxB.y=bxC.y=ax2+bD.y=-X【答案】B【解析】根据题表中的数据描点如图所示.yo对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快，JA不成立；C是偶函数，x=±l的函数值应该相等，,C不成立；*/X=OUt,2无意义，.d不成立；X对B,当x=0时，y=l,当x=l时，y=b=2O2,经验证它与各数据比较接近.故选：B.题型二：二次函数模型例4.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离'在某种路面上'某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速Mkmzh)满足下列关系：S=+急6<5.<8(为常数，且N),做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中仁,14<52<17S一二S210SO4070求的值；6<+4<85749F14<+<17IO4(2)要使刹车距离不超过12.6m,则行驶的最大速度是多少？2In496<5.<8【解析】(1)观察图象知，*=?+4,多=<+:，而M'y510414<s2<17c955<<，14因"N,于是得=6,所以及的值为6.(2)由(1)知，5=+-,当s126时，+12.6,整理得：(v+84)(v-60)0,5040050400解得-84酎60,显然y>0,因此0vu60,即v=60,所以行驶的最大速度是60k11Vh例5.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知总收40()X-r20<X<400益(单位：元)函数为R(X)=2'-一，其中”是仪器的产量(单位：台)80000,X>400(1)将利润/()(单位：元)表示为产量X的函数(利润=总收益一总成本);(2)当产量X为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？【解析】(1)依题意，总成本为20000+100x,当0400时，/(x)=400x-x2-I00x-20000=-x2+300x-20000,当X>400时，/(x)=8(XXX)-100x-2(XXX)=600Oo-100X,八一/+300x-20000,0400-综上所述2,其中xN:60000-100x,%>400(2)当0x400时，/(x)=-1X2+300x-20000=-(x-300)2÷25000,当x=300时，/(x)m=25000；当x>400时，f(x)=600700X是单调递减函数，.(x)=60000-100x<(400)=20000<25000,当=300时，/(x)mu=25000.答：当产量X为300台时，公司获利润最大，最大利润为25000元.例6.某景区要建一个游乐场(如图所示)，其中A。、CD分别靠现有墙DM、DN(墙。M长为27米，墙。N足够长)，其余用篱笆围成.篱笆。石将游乐场隔成等腰直角ACEO和长方形ADKe两部分，并在三处各留2米宽的大门，已知篱笆总长为54米，设AB长为X米，面积为>平方米.(1)求y与X的函数关系式及X的取值范围；(2)当AB多长时，游乐场的面积为320平方米？【解析】(1)SaE=TX2,因为48长为X米，所以DE=CK=X米，因为篱笆总长为54米，三处各留2米宽的大门，所以应：=54-工-2(工-2)+2=54-3工+4+2=(60-3力米，fx>O由ZW氏为27米，墙ON足够长，可知kS解得：llxv20,0<60-327所以长方形ADEB的面积为BEAB=(60-3x)x=-3+60x,所以y=,2-3f+60x=-22+50,11X<20；22(2)令y=320平方米，即-MY+60x=320,解得：x=16或8,2因为llx20,所以X=I6,所以当48长为16米时，游乐场的面积为320平方米.变式3.为节约能源，倡导绿色环保，某主题公园有60辆电动观光车供租赁使用，管理这些电动观光车的费用是每日120元.根据经验，若每辆电动观光车的日租金不超过5元，则电动观光车可以全部租出；若超过5元，则每超过1元，租不出的电动观光车就增加2辆.为了便于结算，每辆电动观光车的日租金X（元）只取整数，并且要求出租电动观光车一日的收入必须高于这一日的管理费用，用），（元）表示出租电动观光车的日净收入（即一日出租电动观光车的总收入减去管理费用后的所得）.求函数N=/（幻；（2）试问当每辆电动观光车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？【解析】（1）当x5时，y=60x-120,令60x-120>0,解得x>2,xN*,.3,.3x5,xN',当%>5时，y=60-2（x-5）x-120=-2x2+70x-120,令-2f+70x-120>0,其整数解为：2x33,eN",所以5vx33,XGN",所以60.I20,3x5,xeN"-2x2+70x-120,5<x33,xN*（2）对于y=60x-120,3x5,xwN*,显然当x=5时，ymax=I8O7,对于y=-2x2+70x-120,5<x33,xN*,因为y=-2（x-17.5）2+492.5,所以当x=17或18时，ynw=492元，492>180,考每辆电动观光车的日租金定在17或18元时，才能使日的净收入最多.题型三：分段函数模型例7.第二十二届世界杯足球赛将于2022年11月20日至12月18日在卡塔尔举行，这是世界杯足球赛首次在中东国家举行.本届世界杯很可能是“绝代双骄”梅西、。罗的绝唱，狂傲的青春也将被时间揽入温柔的怀抱.即将说再见时，才发现，那属于一代人的绝世风华，不会随年华逝去，只会在年华的飘零中不经意的想起.世界杯，是球员们圆梦的舞台，是球迷们情怀的归宿，也是商人们角逐的竞技场.某足球运动装备生产企业，2022年的固定成本为100o万元，每生产X千件装备，需另投入资金R（X）（万元）.经计算与市场X2+0v,0x<80评估得Ra）=<3052一27504+10000，调查发现，当生产10千件装备时需另投入的资金,x80XR（Io）=2100万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2022年最多能售出150千件.（1）写出2022年利润W（万元）关于年产量X（千件）的函数；（利润=销售总额-总成本）（2）求当2022年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？【解析】（I）由题意知，当X=IO时，R（IO）=IO2+13=2100,所以=200,当OxV80时，W=300x-(x2+200x)-100O=-x2+100x-100O；当80x150时，W=300a3°炭华。KlOOoO-100O=*+275"°OoO一电。,XX-X2+100x-l000,0x<80所以W=T；275。100oOTOoo,8OVE5O（2）当0xv80时，函数W在0,50）上是增函数，在50,80）上是减函数，所以当x=50时，W有最大值，最大值为1500：当80x150时，由基本不等式，得W=一1+129）+1750-2x-+1750=1550,当且仅当I=W则时取等号，X所以当X=100时，困有最大值，最大值为1550；因为1500<1550,所以当年产量为100千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为1550万元.已知总收益例8.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元,12400x-（）<r<400满足函数R（X）=2,（其中X是仪器的月产量）.80000,%>400（1）将利润y表示为月产量X的函数/（力；（2）当月产量X为何值时，平均每件产品所获利润最大？每件产品的最大利润为多少元？【解析】（I）设每月产量为X台，则总成本为20000+100x,、-X2+300x-20000(0%400)从而/(x)=J260000-100x(x>400)（2）设平均每件产品的月利润为g（”）,300-(x+,0X4002%三-100,x>400X当w0,400时，设任意的0m<x2400,1000010000÷xlX?x=I(X2-X1)10000，xx2显然当AVX200时，g(x)-g(z)<,当W>%10。时，g(x)-g(w)>O,所以，函数g(n)在区间0,100上单调递增，在区间100,400上单调递减，当X=100时，g(x)取得最大值为200元；当>400时，g(x)vg(400)=50,V50<200,所以当Ar=100时，平均每件产品所获利润最大为200元.例9.我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售.经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1350万元，每生产X(千台)电脑需要另投成本7(%)万元，且av2+100x+1000,0<v<40,Ta)=100OO八八另外每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售60Ix+7450,X40,X出.已知2021年共售出10000台平板电脑，企业获得年利润为1650万元.(1)求该企业获得年利润W(X)(万元)关于年产量X(千台)的函数关系式；(2)当年产量为多少千台时，该企业所获年利润最大?并求最大年利润.【解析】100Oo台=10千台,则(i0)=°°4+2,根据题意得：0.6xl0000-l00«-2000-1350=1650,解得=10,当OVXV40时，VV(x)=0.6×1(XX)x-1350-1Ox2-100x-1000=-1Ox2+500x-2350,当x40时，100(X)1Oof)OW(X)=0.6×1000x-1350-601x-+7450=-x+6100,XX-10x2+500x-2350,(Xr<40综上所述W(x)=10000+6100>40(2)当0<x<40时，lV(x)=-1Ox2+500x-2350=-10(x-25)2+3900当X=25时，W(X)取得最大值W(X)max=3900；当jc240时，1.zz、10000Qo/10000,.v.nnnW(x)=-X+6100-2jx+6100=900,当且仅当X=100时，W(X)a=5900因为5900>3900,故当年产量为100千台时,该企业所获年利润最大,最大年利润为5900万元.变式4.为了解决受新冠疫情影响，文具用品滞销的问题，文具店老板利用某直播平台卖货，销售的文具主要有圆珠笔、笔记本、文具盒、钢笔，价格依次为2元/支、10元/本、14元/个、25元/支.为了增加销量，老板决定对这4种文具进行1次优惠大促销：优惠活动，提供满50元减4元的优惠券，优惠券可叠加；优惠活动，提供买1套文具(包括1支圆珠笔、1本笔记本、1个文具盒、1支钢笔)减X(0<x<10,且xZ)元的优惠券，优惠券可叠加，每位顾客只能参加其中一种优惠活动，每位顾客在网上支付订单成功后，文具店老板都会得到支付款的80%.已知甲顾客购买了1套文具，选择优惠活动，并且文具店老板从甲顾客的支付款中得到了36元.求X的值：(2)已知乙、丙两位顺客计划在该文具店购买圆珠笔、笔记本、文具盒、钢笔这4种文具，计划购买的圆珠笔的数量多于笔记本的数量的2倍，笔记本的数量多于文具盒的数量，文具盒的数量多于钢笔的数量，钢笔数量的3倍多于圆珠笔的数量，当乙、丙购买的文具总数最少时，请你给乙、丙设计1种最省钱的购买方案，并求乙、丙花费的总费用的最小值.【解析】由题意得(5I)x80%=36,解得x=6(2)设购买圆珠笔，笔记本，文具盒，钢笔的数量分别为,h,c,d,且,"c,dcN.a>2h+b>c+由题意得I,ca+3d>a+得3J2+22(c+l)+2=2c+42(d+l)+4=2d+6,得d6,所以c7,08,a17.当乙、丙购买的文具总数最少时，«=17,b=8,c=l,4=6.未选择优惠活动之前，文具总价格为17x2+8x10+7x14+6x25=362元.350方案1：乙、丙一起购买，选择优惠活动，可以优惠三x4=28元.方案2,乙，丙一起购买，选择优惠活动，可以优惠6x6=36元.方案3：乙、丙分开购买，因为优惠活动的优惠力度更大，所以安排1人先购买6套文具，选择优惠活动，另一个人购买Il支圆珠笔、2本笔记本、1个文具盒，选择优惠活动.因为11x2+2x10+14=56,所以可以优惠6x6+4=40元，此时乙、丙花费的总费用最小，最小值为362-40=322元.故方案3最省钱，乙、丙花费的总费用的最小值为322元.题型四：分式型函数模型例10.甲乙两地相距5000km,汽车从甲地以Vkmh(60u120)的速度匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为元(0144),可变成本与速度V的平方成正比，比例系数为h已知当速度y为60kmh进行行驶时，每小时运输的可变成本的36元，设全程运输成本y元.(I)求全程运输成本y关于速度V的函数关系式；(2)为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？【解析】(1)由题意可设每小时运输的可变成本为人=加2,因为当速度U为60kmh进行行驶时，每小时运输的可变成本的36元,所以有36=/3600=Z=OO1,即6=0.01/,因此3,=222(4+o.o内=222E+5oU(6ovi2o)_500Oa+(2)因为'一一ZEO<"10而上单调递减，在1°而<三12°上单调递增,所以当lG6O时，即当36144时，有5000«“、C/500OaUC/y=+50v2J50v=lOOO4VYV当且仅当亚曳=5Oy时取等号，即当V=IO石时取等号，V当l()G<60时，即0v36时，应以速度丫为60kmh速度行驶，所以为使全程运输成本最小，当36144时，汽车应以lO&km/h的速度行驶，当0v36时，应以速度V为60kmh速度行驶.千瓦时，轮胎磨损费为例I1.某品牌电动汽车在某路段以每小时X千米的速度匀速行驶240千米.该路段限速60x100(单位：千米/时).充电费为1.5元/千瓦时，电动汽车行驶时每小时耗电三7元/千米，道路通行费为0.2元/千米.(1)求这次行车总费用y关于X的表达式；(2)当行车速度X为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.240N=【解析】(1)xIr-X10+1.5÷240+0.2x240=800J80036009x3x.o+÷48=X201036003xq+48X4=606(60x100)36003x'c,i+U2(2)因为60x100,X4所以y266+48,所以行车费最低为(604+48)元.3600手，即炉=4800,X=40GW60,100时取得.答：行车速度为x=40J千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用为(60J+48)元.例12.某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m,三块矩形区域的前、后与内墙各保留Im宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3m宽的通道，如图，设矩形温室的室内长为X(m),三块种植植物的矩形区域的总面积为y(11).写出y与尤之间的关系式y寸(),并写出X的取值范围：(2)若要求矩形区域总面积不少于656m2,求室内长X的取值范围.900z、/(m)【解析】(I)根据题意，温室的室内长为*m),则宽为X,所以三块种植植物的矩形区域的总面积为：/(x)=(x-3-3-l-l)-l-l=(x-8)-2=-2x-+916,x-8>0由900c八，可得x(8,450);2>0X771111f(x)=-2x+916656(2)由X,可得/-130x+360040,解得40x90,即室内长X的取值范围为40,90(单位m).变式5.近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，宁夏政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产.为此，该地政府决定为当地某A企业国庆节期间加班追产提供MXS0,20)(万元)的专项补贴.A企业在收到政府X(万元)补贴后，产量将增加到f=(x+2)(万件).同时A企业生产f(万件)产品需要投入成本为7r+2xj(万元)，并以每件(6+邛)元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本(1)求A企业国庆节期间加班追产所获收益R(X)(万元)关于政府补贴X(万元)的函数关系式；(2)当政府的专项补贴为多少万元时，A企业国庆节期间加班追产所获收益最大？f6+4ovr6+jovx+2)【解析】(1)由题意，销售金额：(x+2J(万元)，政府专项补贴：X(万元)，成7z+-+2=7(x÷2)÷-+2本：fx+2(万元)./4072l77所以收益R(X)=I6+3J(x+2)+x-7(x+2)+-+2x=38-2X-篇，x,2.R(X)=38-2a-=42-2(x+2)-=42-2(x+2)+r0由可知Jx+2''x+21.x+2jrxp,20J其中2(x+2)+号2j2(x+2)9=24,当且仅当2(x+2)=热，即产4时取等号，所以7?'R(X)=42-2(x+2)+-42-24=18,所以当I时，A企业国庆期间加班追产所获收益最大，最大值为18万元，即当政府的专项补贴为4万元时，A企业国庆期间加班追产所获收益最大，最大值为18万元.题型五：对数函数模型例13.某同学对航天知识有着浓厚的兴趣，通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具.早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出火箭的最大理想速度公式：U=GIn皆，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中。为喷流相对火箭的速度，人和外分别是火箭的初始质量和发动机熄火(推进剂用完)时的质量，tnk被称为火箭的质量比.某火箭的初始质量为160吨，喷流相对火箭的速度为2千米/秒，发动机熄火时的火箭质量为40吨，求该火箭的最大理想速度(保留2位有效数字)；(2)根据现在的科学水平，通常火箭的质量比不超过10.如果喷流相对火箭的速度为2千米/秒，请判断该火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由.(参考数据：ln20.69)【解析】(1)由题意，3=2,")=160,矶=40,V=tyIn=2×In=2In4=4In22.8,?40该火箭的最大理想速度为2.8千米/秒.10v=<ln-21nl0(2)5,¢9=2,.叫/e79>279>27=128»：7.9=Ine79>Inl28>In100=21n10.即%x=21nl<7.9该火箭的最大理想速度不能超过第一宇宙速度7.9千米/秒.例14.学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有90分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间X(单位：分)的函数关系，要求及图示如下：(1)函数是区间。90上的增函数；(2)每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；(3)每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；(4)每天最多得分不超过6分.现有三个函数模型y=kx+bk>O),y=k1.2x+b(k>0)ty=-og2行+2j+(Z>0)供选择.（1）请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式；（2）求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注：21.414,结果保留整数）【解析】（1）第一步：分析题中每个模型的特点对于模型当k0时，匀速增长；对于模型二，当攵0时，先慢后快增长；对于模型三，当左0时，先快后慢增长.第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选y=8og1+2）+.第三步：把题图中的两点代入选好的模型中，得到函数解析式k+n=0fA+w=0将（0,0）,（30,3）代入解析式得到八ZI、，即,Zclog24+/?=32k+n=3解得2=3,=-3,即y=31og?（石+2j-3.第四步：验证模型是否合适当X=90时，y=31og2（6+2）-3=6,满足每天得分最高不超过6分的条件.所以函数的解析式为,7log?信+2卜3.y=3log,f+2)-34.5log,f-+212.5=log,22由P5),得U5)V5得卷+222=4=5.656,得x54.84,所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟.例15.某集团公司为鼓励下属企业创业，拟对年产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金丁（单位：万元）随年产值X（单位：万元）的增加而增加，但奖金不低于7万元，且不超过年产值的15%.(1)若某下属企业年产值100万元，核定可得9万元奖金.试分析函数模型y=f(x)=lgx+依+5(左为常数)是否为符合集团的奖励原则，并说明原因；设。0,若函数模型g(x)="一符合奖励原则，试求的取值范围.参考数据：lg203.X÷o【解析】对于函数模型yfg+h+5M为常数)，当X=100时，y=9,代入模型解得所以/(x)=Ig%+x+5,奖励原则为：/(X)在区间50,500上递增；71(x)V015x恒成立，当x5O,5OO时，模型是增函数，符合奖励原则；当x=50时，/(50)=lg50+6=8-27.77;0.15x=0.15x50=7.5</(50),所以，模型不符合奖励原则，故该函数模型不符合奖励原则./、I5x-,、1,120+g(X)=g(%)=15(2)对于函数模型"8,可得占"8,因为>0,故函数g(x)在(-8,+)递增，则在50,500递增，符合奖励原则；由奖励原则得g(x)max=g(50)7,即15-里普7,解得344;又由奖励原则得g(x)015x,即”Y0.15x在50,500恒成立，x+8即货-276x+200,20-3/+276x,()=-3+276x,则抛物线y=力(%)开口向下，对称轴为X=答=46,O所以当xe50,500时，A(X)nttx=(50)=6300,由2*6300得.315,综上，315344.所以。的取值范围是315,344.变式6.近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.据了解，在不考虑M空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v=%ln一计算火箭的最大速度u(单位：ms).其中%m(单位ms)是喷流相对速度，小(单位：kg)是火箭(除推进剂外)的质量，M(单位：kg)是推进剂与火箭质量的总和，4称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000ms.m参考数据：ln230=5.4,1.648ve05<649.(1)当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的g,若要使火箭的最大速度增加500nVs,记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T,求不小于7的最小整数？【解析】当总质比为230时，V=20001n2302000×5.4=10800,即型火箭的最大速度为108ms.(2)4型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，所以A型火箭的喷流相对速度为2000l5=300011s,总质比为3加，由题意得：3000Ing200Oln必5003mm0ln-0.5n9e05=>-27小27m27mm因为1.648<e°s<1.649,所以44.496<27e°$<44.523,BP44.496<T<44.523,所以不小于7的最小整数为45.变式7.某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y(百万元)与年投资成本X(百万元)变化的一组数据：年份2015201620172018投资成本X35917.年利润y1234.给出以下3个函数模型：y=-+%y=q"(4hO,A>O,且81);y=logx+b)(>0,且al).(1)选择一个恰当的函数模型来描述X，y之间的关系，并求出其解析式；(2)试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型.【解析】(1)由表格中的数据可知，年利润y是随着投资成本X的递增而递增，而y=r十°是单调递减，所以不符合题意；将(3,1),(5,2)代入)，=6/(4声0/0,旦人为)，当冗=9时，y=2=8,不符介题意;将(3,1),(5,2)代入y=log(x+b)(>0,且l),y=log2(-l).当x=9时，y=Iog28=3；当X=I7时，y=Iog216=4.故可用来描述My之间的关系.（2）由题知°g2（xTR6,解得xN65.年利润占<10%,该企业要考虑转型.题型六：零函数模型例16.自2014年9月25日起，三峡大坝旅游景点对中国游客（含港、澳、台同胞、海外侨胞）施行门票免费，去三峡大坝旅游的游客人数增长越来越快，经统计发现2017年三峡大坝游客总量约为200万人，2018年约为240万人，2019年约为288万人，三峡大坝的年游客人数y与年份代码x（记2017年的年份代码为x=l,2018年年份代码为4=2,依此类推）有两个函数模型y=如、伏>0,>l）与y=pT+q（p>O）可供选择.（1）试判断哪个函数模型更合适（不需计算，简述理由即可），并求出该模型的函数解析式；（2）问大约在哪一年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍.（参考数据：21.4H31.73,Ig20.30,Ig30.48）【解析】（1）因为函数丁二履'/>°m>i）中，>随X的增长而增长的速度越来越快，而函数y=p6+q（p>0）,y随X的增长而增长的速度越来越慢，故由题意应选y=S"（A>0,>l）；则有上解得I500,ka=240k=3.y=522i2”,xeN*；3（2）设经过X年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍,则跑x1.2'=2迎XlW,即INI=2,33/.X-2=Iogj2Ig2Ig20.3Ig1.221g2+lg3-l0.083.75,%6,故大约在2022年三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍.例17果园A占地约3000亩，拟选用果树5进行种植，在相同种植条件下，果树8每亩最多可种植40棵，种植成本V（万元）与果树数量X（百棵）之间的关系如下表所示.X14916y14.47.811.2（1）根据以上表格中的数据判断：），=公+与y=c7+d哪一个更适合作为丁与X的函数模型；（2）已知该果园的年利润Z（万元）与乂的关系为z=2y-0.1x,则果树数量X为多少时年利润最大？【解析】若选择y=r+力乍为y与N的函数模型，将（li）'（4m4）的坐标分别带入，得=a+b4.4=4"力解得17215172.,.y=X1515止匕时，当x=9时,y=-0.07t15当X=I6时，y=18,与表格中的7.8和11.2相差较大,所以y=奴+不适合作为y与X的函数模型.若选择y=c7+d作为与X的函数模型，将（1,）（4,4.4）的坐标分别带入，得1=c+J4.4.2»解得17T12,-T17r12.y=x55此时，当x=9时,39_2y=g=7.8，当X=I6时，y=g=11.2,刚好与表格中的7.8和11.2相符合,所以），=Cy+d更适介作为Jljx的函数模型.（2）由题可知，该果园最冬120000棵该目种果树，所以确定X的取值范围为1°J2,y=-y-Vx-yW,z=2)'一0.1%二个一心一%=一51%一68«+48)令7=f(f2(3),则z=-(产-68/+经计算，当t=34时，Z=-A（/-68f+48）取最大值110.8（万元）,即，X=II56时（每