微专题2-1 导数在研究函数中的应用（四大核心考点）解析版.docx

做专题2-1导数在研究函数中的应用(四大核心考点)【考点目录】考点一：利用导数研究函数的最值和极值考点二，利用导数研究曲线上某点切线方程考点三：利用导数研究函数的单调性考点四：函数在某点取得极值的条件题型解密考点一：利用导数研究函数的最值和极值一.选择题(共1小题)1. (2022秋黄浦区校级月考)若/(X)在区间SM内有定义,且x°g,b),则"八Xo)=0”是乜是函数/(X)的极值点”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分条件也非必要条件【分析】根据极值的概念，导数的几何意义即可求解.【解答】解：由/(x0)=0不一定能得到%是函数/(X)的极值点，反例/(x)=3,/,(O)=O,但X=O并不是/(x)的极值点，反过来：X0是函数/(x)的极值点也不一定能得到f,(x0)=0,反例/()=,x=0为f(x)的极小值点，但f(x0)不存在,./(%)=0”是是函数/(x)的极值点”的既非充分条件也非必要条件，故选：D.【点评】本题考查值的概念，导数的几何意义，属基础题.二.填空题(共10小题)2. (2023秋徐汇区校级期中)己知函数/(x)=-f+3+,若存在三个互不相等的实数小，p,使得/(m)=/()=/(P)=2024,则实数。的取值范围是_(2022,2026)【分析】由题意，对函数/(x)进行求导，利用导数求出函数的单调区间及极值，再根据题意列出不等式，即可得解.【解答】解:已知/a)=-/+?+。，函数定义域为H,可得/'(x)=-3/+3，当XCT时，,(x)<0f/(x)单调递减；当T<x<l时，(x)>O,/(x)单调递增：当x>l时,(x)<0,f(x)单调递减，所以当X=-I时，函数“X)取得极小值，极小值/(T)=-2,当X=I时，函数/(x)取得极大值，极大值/(1)=2+,若存在三个互不相等的实数小，p,使得/(M=(")=/(p)=2024,此时"2<2024,a+2>2024解得2022vV2026,则实数。的取值范围为(2022,2026).故答案为：(2022,2026).【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理和运算能力.3. (2022秋奉贤区期末)已知某商品的成本C和产量4满足关系C=50000+200夕，该商品的销售单价P和产量g满足关系式P=24200-1g2,则当产量。等于200时,利润最大.【分析】将利润表示出来，利用导数求出函数最值即可.【解答】解：每月生产g吨时的利润为/(夕)=(24200-(q2)q-(50000+200g)=-"+2400(50000(0.0).由/'(，)=-/+24000=0，解得夕=200或一200(舍去)，在0，+8)内只有一个点q=200使f,(q)=0,.它就是最大值点，且最大值为/(200)=XZOO,+24000X20050000=3150000(元).每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.故答案为：200.【点评】本题考查导数的应用，属于基础题.4. (2023秋松江区校级期中)函数/(x)=2f-l的极值点为Q.【分析】求出函数的导数，通过导数为0,即可求解函数的极值点.【解答】解：Vf(x)=2x2-lfff(x)=4x>0=>x>0./(x)在(-,0)上是减函数，在(0,+8)上是增函数,.当x=0时，函数取得极小值，无极大值.故答案为：0.【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值点，属于中档题.5. (2023春徐汇区校级期末)已知X,y(0,+8),满足2x+y=2,则x+Jx'+/的最小值为【分析】利用不，歹的关系将)，换成关于X的表达式，然后利用导数判断函数/(x)的单调性，进而求得式子最小值.【解答】解：由x>0,y=2-2x>0t解得0<x<l,则X÷yx2+y2=x+yx2+(2-2x)2=x+y5x2-8x+4=/(x),则/(x)=l+r,I=令/a)=。，解得=3,5x2-8x+45则可得Xw(0,)时，,(x)<0,XeeI)时，(x)>0,所以x=(,y时，函数/(x)取得极小值，也是最小值(+5×()2-8×+4=I.故答案为：5【点评】本题考查函数最值求法，属中档题.6. (2023春金山区校级期末)函数/(x)=史在(0,2上的最小值为_e_.X【分析】函数/(X)=交，(0,2,利用导数的运算法则可得广(X),研究函数/(X)的单调性即可得出X结论.【解答】解：函数/(x)=C,(0,2,XT(X)=华辿，f(1)=0,XX(0,1)时，f,(x)<O,函数“X)单调递减；x(l,2时，f,(x)>Ot函数/(X)单调递增.x=1时函数/(X)取得极小值即最小值，f(1)=e.故答案为：e.【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.7. (2023春杨浦区校级期中)已知/(x)=F,a>0,对于数列%,有q=0,+1=),若存在常数M>0使得对于任意的N*,都有册、M,则的取值范围是_(0占一e【分析】由题意，存在常数材>0使得对于任意的cN*,都有*.可得到的，解出册，/竺，a从而得到分离参数。，然后用导数研究函数的最值，从而求出。的取值范围.【解答】解：.存在常数M>0使得对于任意的N*,都有勺,4+卜，又1=ae°a(«>0)».aea°.,M,即akIn-.:.M=In-,.”WM>0).ae令f()="(x>0)，f,(x)=J».,.f(x)在(0,1)上单调递增,在(l,+)上单调递减，(xU=-0<,-!-.ee故答案为：(0,-.e【点评】本题考查数列的递推式和利用导数研究函数的最值，考查了转化思想和计算能力，属中档题.8. .(2022秋长宁区校级期末)己知产为直线x+2y-l=0上的一个动点，0为曲线42/N-X3+2/+=o上的一个动点，则线段尸。长度的最小值为_布一【分析】先把曲线转化为y=2-g+止+1,判断出线段的最小值即为与y=+；平行的直线与4J2y-3+2+l=0相切时，两平行线间的距离.利用导数求出切点坐标，利用点到直线的距离公式求解.,"+2/+1=0,【解答】解：直线x+2y-l=0可化为：y=x+1.t对于曲线4d2*当x=0时，代入得1=0不成立，所以X=O,寿+1'k-3+：平行的直线与所以4父一2ry-3+2/+1=0可化为y=2-X+导数为yt=4-l-,所以线段尸。的2X4-2。-+2/+1=0相切时,两平行线间的距离.设切点0(m)，由题意可得:4/n-2n=2m1m'2I1,m+r+122m14m=Im-2I1n=2mm+r+122m1解得：,22或.3.立42m=2aHw=3+4综上所述：线段尸。长度的最小值为?.故答案为：5.【点评】本题考查曲线的切线，考查点到直线的距离公式，考查线段长度最值转化为切点到直线的距离最值的思想方法，属于中档题.9. (2023春松江区校级期末)已知X=Xl和X=w分别是函数/(x)=2优-夕2(4>0且。口)的极小值点和极大值点.若凡吃，则4的取值范围是e【分析】由已知分析函数/'(x)=2("z-ex)至少应该两个变号零点，对其再求导f,x)=2ax(lna)i-2et分类讨论0<“<1和。>1时两种情况即可得出结果.【解答】解：对原函数求导/(力=2("7白-夕)，分析可知：/(x)在定义域内至少有两个变号零点,对其再求导可得：f,(x)=2/(EZ)2-Ie,当时，易知/(X)在R上单调递增，此时若存在/使得/(仆)=0,则r(x)在(-OO,小)单调递减，(/，+8)单调递增，此时若函数/(X)在X=%和X=W分别取极小值点和极大值点，应满足不满足题意;当0<<l时，易知/“(X)在R上单调递减，此时若存在/使得/(见)=0,则<x)在(Yo,%)单调递增，(,+8)单调递减，且XO=/空“一J,(Ina)此时若函数/(X)在X=再和X=W分别取极小值点和极大值点，且再，故仅需满足T(Xo)>O,ee-e-eBP：->elog,-=alna<=Inalna<In=>Ina<1-In(Ina)2>Inaa(Ina)2(Ina)2(Ina)2Ina解得：-<a<ef又因为OVaV1,<t?<1ee综上所述：。的取值范围是d,i).【点评】本题主要考查利用函数的导数研究函数极值点问题，考查运算求解能力，属于中档题.10. (2023春浦东新区校级月考)已知/(x)=阮a/+。，若对任意工，都有/(0,则实数。的取值范围是_2_+00)_.【分析】/(X)=加X-Or2+”,xl,+<»),可得,(x)=1._2qx,对4分类讨论，研究函数/(x)的单调X性，结合已知条件：对任意X.，都有/(戏,0,即可得出实数的取值范围.【解答】解：f(x)=Inx-ax1+,xl»+),af,(x)=-2ax,X当4.0时，f,(x)>0,函数/(x)在xl,+8)上单调递增，f(1)=0,.x>0时，/(x)>0,不满足题意，舍去.当>0时，ff(x)=必"丝，X>1,即0<<1时，f,(x),.O,函数/(X)在xel,+«>)上单调递增，同上，舍去.2a20<.1,a.；时，可得函数/(X)在1，总)上单调递增,在电,+8)上单调递减,”=旧时,函数/a)取得极大值即最大值，.,.XF,O>化为：ln1d)+2a1.0>函数g（八）=加(2)+2-1在a.；时单调递增，g(；)=0，因此对任意都有/(x)0,则实数的取值范围是g,+oo).故答案为：g,+8).【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及其最值、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.11. (2023春宝山区校级期中)已知正实数X,y满足加r=y/+/砂，则歹-"'的最大值为bt1.【分析】由正实数X,j,JSInx=yex+Iny,变形为二加二=Xe",eyIn-=xex>令/(x)=Xex(0,+oo),yyy利用导数研究函数的单调性可得加j=x,y=卞,可得y-e-=子，令g()=?,(0,+),利用导数研窕函数的单调性与极值即可得出结论.【解答】解：由正实数X,歹满足/“X=泗”,变形为三加色=xe"yyIn-.eyln-=xex.y令/(x)=X«r,x(0,+oo),ff()=(+)ex>0f.函数/(x)在XW(0,+oo)上单调递增.y令g(x)='1.x(0,+),e,/、2Xg(x)=h'.xe(0,2)时，g,(x)>0,此时函数g(x)单调递增；Xe(2,+8)时，g,(x)<0,此时函数g(x)单调递减.x=2时，函数g(x)取得极大值即最大值，g(2)=4.e2即N-"'的最大值为4.e故答案为：!e【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、构造法，考查了变形的重要性，考查了推理能力与计算能力，属于难题.三.解答题(共6小题)12. (2023秋普陀区校级月考)已知函数/(x)=3-0+4.(1)求函数/(x)在x=0处的切线方程；(2)若对任意的x(0,+8),/(工)+/(-幻.4加:+8恒成立，求。的取值范围；(3)当=3时，设函数g(x)=(x)-b,对于任意的女<1,试确定函数的零点个数，并说明理由.【分析】(1)对函数/(x)求导，求得/(0)=1,/(0)=4,再由点斜式得到答案;(2)问题可转化为4-半在(O,+oo)上恒成立，设A(X)=-*±,>0,利用导数求出函数万(X)的最小值XX即可；(3)根据题意化简可得=/一3%+&+1,令MX)=X2-3x+3+1,利用导数作出函数由劝的大致图象，XX结合图象即可得出结论.【解答】解：(1)(x)=3x2-20x+l,则/(0)=l,/(0)=4,二.函数/(x)在X=O处的切线方程为y-4=x,即y=x+4；(2)f(x)+f(-x)=x3-ax2+x+4+(-X)3-Q(T)2-x+4=-2ax2+8,二.对任意的X(O,+)»f(x)+f(-x).Alnx+8恒成立，即一2ax).Alnx,即,-3竽恒成立，令"(x)>0,解得>及，令"(x)<0,解得OVXVG，二.力(X)在(0,&)上单调递减，在(心,+8)上单调递增，hMmin=h(4e)=-.e.实数a的取值范围为(-*;e(3)当。=3时，g(x)=-3x2+X+4-Ax=X3-3x2+(1-k)x+4,令g(x)=O,则伏一I)X=X3-3f+4，显然xw，则左一I=X*-3x+3，11A:=Jt2-3x+1,XX,2411It/t,42x33x4(x2)(2x2÷x+2)令MX)=X2-3x+1,则e(x)=2x3-=；>XXXX由于/>O,2x2+x+2>O,则当x<2且XHo时，M(X)<。，当x>2时，'(x)>O，.函数0(x)在(-oo,0),(0,2)上单调递减，在(2,+oo)上单调递增，且e(2)=1,作出函数以外的图象如下图所示，由图象可知，当<1时，函数MX)与直线y=左仅有一个交点，即函数g(x)仅有一个零点.【点评】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查分离变量思想，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题.13.(2023秋奉贤区期末)若函数y=(x)满足：对任意的实数s,fw(0,+),有/(s+。>/(三)+f(，)恒成立，则称函数y=(x)为“增函数”.(1)求证：函数y=sinx不是“E增函数”；(2)若函数y=是“Z增函数”，求实数。的取值范围；(3)设g(x)=e17"(l+x),若曲线y=g(x)在X=XO处的切线方程为y=x,求Xo的值，并证明函数y=g(x)是“增函数”.【分析】(1)取反例即可证明；(2)若该函数是“增函数”，设出任意的s,f¢(0,+oo),则有2'+1-($+，)一421-s。+2"-上一。恒成立，运算即可得；(3)借助导数的几何意义，对该函数求导后令导函数值为1,可得该方程有根，且/=0是其中一个根，结合导数可证明该函数为严格增函数，故有且仅有%=0一个根，即可得与的值，而后设出MS)=g(s+。-g(三)-g")，结合前面得出的y=g,()在(0,+8)上是严格增函数，可得MS)=g(s+Z)-g(三)-g(f)在(0,+)上是严格增函数,又s>0，则VV(三)>卬(0)=-g(0)=0，即可得证.【解答】解：(1)证明：取S=Z=工，则sin(工+工)=0,Sin工+sin2=2,22222.0<2,故函数y=sinx不是"增函数”.(2).函数y=2i-x-是“E增函数”，对任意的s,/(0,+),有2f+f-,-(5+)->2s-i-S-a+2,-l-t-a恒成立，即2f+r,-2v,-2r,>-a恒成立，.工(2$_)(7恒成立，22又s,(0,+oo),故2',2,(l,+oo),则;一l)(2'-l)e(0,+),则1一40,即a.1.22(3)记g<x)=e，加(x+l)+-i-,x+l根据题意,得g'()=1加(+1)+一=1,x0+可得方程的一个解XO=O,令(x)=g'(x),212则,(x)=exln(x+1)+,令h(x)=ln(x+1)+7x+1(x+l)x+1(x+l)2+l则(X)=J+x+1(x+l)2(x+l)3(x+l)3>0,故MX)在(0,+00)上是严格增函数,又.A(O)=I,.h(x)>0(0,+8)恒成立，>(x)>0>因此y=g,()在(0,+8)上是严格增函数，所以XO=O是唯一解,又g(0)=e°川=0,此时在(X°,g(x°)处的切线方程即为y=x,故Xo=O成立；设w<s)=g(s+f)-g(三)-g(。，其中s>0,Z>0,M(三)=g'G+Z)-g'(三)，由y=g'(x)在(0,+8)上是严格增函数以及f>0,得g<s+)>g<s)，即M(三)=g,(s+/)-g'(三)>0,.MS)=g(s+，)-gG)-g«)在(0,+oo)上是严格增函数，.s>0,则MS)>W(O)=-g(0)=0,.g(s+r)>g(三)+g")，即得证.【点评】本题考查函数新定义、多次求导以得到函数的单调性、不等式的解法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.14. (2022秋松江区期末)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底。在水平线MN上，桥力B与AZN平行，OO为铅垂线(O'在4?上)，经测量，山谷左侧的轮廓曲线/O上任一点。到MN的距离九(米)与。到OO的距离。(米)之间满足关系式=/；山谷右侧的轮廓曲线40BO上任一点尸到MN的距离生(米)与尸到OO'的距离b(米)之间满足关系式A2=-焉/+6b；已知点5到。'的距离为40米；(1)求谷底O到桥面48的距离和桥力的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于Oo的桥墩Co和以1.且CE为80米，其中C,E在48上(不包括端点)，桥墩即每米造价为万元，桥墩Co每米造价3%万元(20);问：OE为多少米时，桥墩CO和即2的总造价最低？M【分析】（1）设44，BBi,CD1,历都与MN垂直，4,Bi,D1,6是相应垂足.结合己知条件，转化求解48即可.（2）以。为原点，OO'为N轴建立平面直角坐标系XQy（如图所示）.设尸（巷为），（0,40）,推出所，CDtCQ和Eb的总造价为/Q）,得到函数的解析式，利用函数的导数转化求解最小值即可.【解答】解：（1）设44，BB,CD1,环都与MN垂直，4，D1,即是相应垂足.由条件知，当。8=40时，BB.=-×403+6×40=160,1800则JJ1=160.由J-4=160,40得ON=80.所以/B=OZ+08=80+40=120(米).(2)以。为原点，O0'为歹轴建立平面直角坐标系X0(如图所示).设产(x,%),Xw(0,40),则必=+6x，EF=160-j2=160+x3-6x.因为CE=80,所以OC=80X.设O(X80,必)，则必=看(80-幻2,所以CQ=I60乂=160-七(80-x)2=-*产+4x.记桥墩CD和EF的总造价为f(x),则/(x)=(160+-X3-6x)+-(-X2+4x)=k(xi-x2+60)(0<x<40).80024080080f,(x)=k(x2-x+160)=x(x-20),80040800令/(x)=0,得x=20.(20,40)20X(0,20)f,(x)-O+/(X)极小值/所以当x=20时，/(x)取得最小值.当Of1为20米时，桥墩Co和b的总造价最低.【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数求解函数的最值，是中档题.15. (2023秋浦东新区期末)设y=(x)是定义在R上的函数，若存在区间,句和Q,b),使得>=(x)在。，上严格减,在K,句上严格增，则称歹=/()为“含谷函数”，a,b称为y=(x)的一个“含谷区间”.(1)判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由；y二2x,y=+cosX；(2)已知实数?>0,=/一2X-机及(工-1)是含谷函数，且2,4是它的一个含谷区间，求机的取值范围；(3)设p,qGR,h(x)=-X4+px3+qx2+(4-3p-2q)x.设函数y=;(X)是含谷函数，,6是它的一个含谷区间，并记力-。的最大值为1.(p,g).若h(1)h(2),且(1)”0,求1.(p,q)的最小值.【分析】(1)利用含谷函数定义判断函数的增减区间，再求谷点，证明函数是否为含谷函数；(2)由题意可判断函数在区间2,4内有谷点，利用谷点定义求参数取值范围；(3)分别讨论函数/?(幻的单调性，判断谷点所在区间，得到1.(p,q)的解析式，再利用力(1),.h(2)和A(1)”0消元求最值.【解答】解：(1)函数y=2x=卜2x,“<°,当工以，0时，单调递减，当0,+8)时，单调递2x,x.0增，所以y=2x是含谷函数，谷点X=0：函数y=x+cosx,求导y'=l-sin.0恒成立，函数单调递增，所以不是含谷函数.(2)由题意可知函数歹=/一2%-血。-1)在区间2,4内先减后增，且存在谷点，令g(x)=x2-2x-mln(x-1),所以g,(x)=2x-2-,x-1设夕(X)=g'(x)=2x-2-*，x-1所以/(x)=2+-(X-I)2由6>0可知，/(x)=2+,>0恒成立,(1)-所以g'(x)在区间2,4上单调递增，若满足谷点，g,(2)=2-w<0则有,m，解得2</<18,(4)=6->0故m的取值范围是(2,18).(3)因为h(x)=-X4+pxy+qx2+(4-3p-2q)x,所以,(x)=-4x3+3px2+2qx+(4-3p-2夕)=4(1-x)x2+(1-华)x+(l-),若/+(1_*口+(_y_)0恒成立，则函数N=A(X)在&1时严格增，在X1时严格减，不是谷函数，不满足题意；因此关于X的方程/+(I-?)+。-?-?)=。有两个相异实根，即>(),设两根为，6且。<夕，因为力(1)”0=僦0),所以函数y=7(x)在区间(-co,1上不为严格增，但是当X<加就1,a»尸时，hx)>O,y=%(x)为严格增，所以y=A(X)在区间(-8,1上的单调性至少改变一次，从而必有一个驻点，即<l,同理，因为方(1)h(2),所以6>1,因此，y=A(x)在区间(YO,和1,尸上严格增，在区间,1和?，+)上严格减,从而函数y=4(x)的含谷区间0,6必满足,ha,即1.(p,q)=-a=V=J(I-乎)?-4(1-芋-：)V442=J篝+*3+24,1.(p,g)=-a=42=J(I一汐一的一当号)=旧P23+2q因为力(1)=-+p+q+4-3p-2q=3-2p-q>h(2)=-16+8p+4+8-6p-4=-8+2p»由力(1),h(2)得3-2P-g”8+2/?>所以4p+q11,由力(1)O得3-2p-%0,所以2p+q.3,所以当p,4时，q.A-4p,当p>4时q.3-2p,当外4时，1.(p,q).旧p2一%+19.,当p>4时，1.(p),.p2-+3.2,因此均)的最小值为近，当夕=4,q=-5时成立.【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数新定义问题，考查了逻辑推理能力，属于难题.16. (2023秋松江区期末)已知函数y=(x),记/(x)=x+sinx,xeD.(1)若O=0,211t判断函数的单调性；(2)若O=(O,/J,不等式/(x)>Ax对任意XO恒成立，求实数Z的取值范围；(3)若O=R,则曲线y=(x)上是否存在三个不同的点4,B,C,使得曲线y=/(x)在4,B,C三点处的切线互相重合？若存在，求出所有符合要求的切线的方程；若不存在，请说明理由.【分析】(1)利用导数判断出/(x)在区间0,2句上的单调性.(2)由)>b分离参数2,然后利用构造函数法，结合多次求导来求得上的取值范围.(3)先设出切线方程，然后根据切线重合列方程，由此进行分类讨论来求得切线方程.【解答】解：.'(X)=I+cosx.0,当且仅当在X=乃时，f,(x)=O,函数y=/(4)在0，2乃上是增函数.(2)由题意得，(攵一I)X<sinx,于是左-<SinXX令(X)=皿，贝必，(X)=XC°sx：SinX,XX令“(X)=XCOSX-SinX»则/(X)=-XSinXV0,xe(0,自，.U(X)在(0,y上是严格减函数，于是U(X)<M(0)=0,x(0,j,由于f()=XCOS丁nX<0”。白,于是力(X)在(0,马上是严格减函数，x22l,x)=(一)=-,因此1<2，即左<巳+1.2111111(3)解法一：设力(须，必)、Bx2,y2)aC(X3,乃)，则曲线在4,B,C三点处的切线分别为直线，1:y=(1+Cosx1)x-x1COSx1+sinXl>2:y=(1+cosx2)x-x2cosx2+sinx2，I3:y=(1+cosx3)x-X3cosx3+sinx3.J直线4,I2,/3互相重合，.COS*=COSX2=COSX3,且-xlcosxl+sinx1=-x2cosx2+sinx2=-xicosx3+sinx3.COSX1=COSX2=COSX3，.sinxl=±sinx2,sinx2=±sinx3»sinx3=±sinx1.若SinXJ=-SinX2，sinx2=-sinx3,sinx3=-sinxl.则sinxl=O,SinX2=O,SinX3=O,于是-XCOSXl=-x2cosx2=-xicosx3，.COSX1=COSX2=COSX3=±1O,.x1=x2=3,与4,B,。三点互不重合矛盾若SinXl=SinX?，sinx2=sinxi>SinX3=sinx中至少一个成立，不妨设Sin须=sinx2成立，则xlcosxl=x2cosx2，cosxl=cosx2O»则x=%2，矛盾，舍去，于是CoSXl=CC)SX2=O，SinXl=SinX2=±1，满足要求的切线方程为y=x+l或歹=x-l解法2:假设存在三个不同点力(王，必)，B(x2»y2),C(X3，乃)在曲线歹=/(x)上满足条件,则必=X+sinx,-y2=x2+sinx2>>>3=x3+sinx3,且再，x2,七互不相同.曲线y=()在力，B,C三点处的切线方程分别为：1:y=(1+COSXl)X+sin再-x1cosx>I2:y=。+cosx2)x+sinx2-x2cosX2»4：y=(1+cosx3)x+sinx3-x3CoSX3»依题意，有CoS演=COSX2=C0S%3，且-x1Cosx1+sinx1=-x2cosx2+sinx2=-x3COSX3+Sinx3,由得，x2=2k11±xl>x3=2n11±x1»k,neZ.情形1：若工2=2%万+芭，x3=2n11+xl>k,11O,knf代入得，sinx1-x1cosx1=SinXl-(2k11+xl)cosxl=sinxi一(2万+演)COSXl.(2k;T)COS再(2；F)COSXl=O0,而左，n0,故COS*=O,sinXj=±1>此时满足条件的切线方程为y=x±l.情形2：若占=2A万一X,x3=2n11-x1»kn,代入得，sinxl-X1Cosx1=-sinX1一(2左万一西)COSXl=-sinx1-(2w-x1)cosx1.pfsinx1÷(-x1)cosxl=O>两式相减，sinx1+(,-xi)cosx1=0得(Acos%=0,由于1,故COS再=0,此时SinXl=0,与sin2xi+CoS2玉=1矛盾，舍去.情形3：若工2=2%万+芭，x3=2n11-x1,k0,代入得，sinx1-xlcosx1=sinxi-(2k11+x1)cosXl=-sinx1-(2n11-x1)cosxl.g(2)cosx1=0,故即=0,sinx1+(h-x1)cosxi=0则SinXJ=0,与sin2x÷cos2xl=1矛盾，舍去.情形4：若£=2%汗-x,x3=2n11+x1,?0,与情形3完全类似，舍去.综上，满足条件的切线方程为歹=x±l.解法3:假设存在三个不同点力(司，必)，B(x2»y2)»C(X3，/)在曲线歹=/(X)上满足条件，则乂=X+sinx,1y2=x2+sinx2>y3=x3+sinx3,且芭，X2>&互不相同.曲线y=(x)在4,B,C三点处的切线方程分别为：/):y=(1+CoSXl)X+sin再-x1cosx>I2:y=(1+cosx2)x+sinx2-x2cosX2>4：y=(1+cosx3)x+sinx3-x3COSX3，依题意，有COSXl=CoSX2=COS'3，且-x1cos*+sinx1=-x2cosx2+sinx2=-x3CoSX3+Sinx3»由得，Isinx1=sinx21=sinx31，由，令SinXl-X1Cosx1=sinx2-x2cosx2=sinx3-x3cosx3=t,则sinxi=t+xlcosxl,snx2=t+x2cosx1,sinxi=t+x3COSX3>即有t+xcosx11=/÷x2cosx2=/+x3cosx31,平方，得t2+2txlcosx1+xfcos2xi=t2+2tx2CoSX?+xjcos2x2=I2+2Ax3COSX3+X3C0s2x3,(X：-x2"os-+2(x1-x2)COSX1=O(Af-Xj)CO52X1+2(x1-X3)COSX1=0.-_xr-1111(X.-X,)c'O52X+2rcosx1=0由于再，X,当互不相同，即2(x1一七)COSM+2/cosx1=0相减，得(工2-工3)。/入1=°，于是CoSXl=0,则SinX=±1,此时满足条件的切线方程为y=x±.【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、切线方程、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.17.(2023黄浦区校级三模)设函数/(x)=3+2+加+c.(1)设。=8=4,求函数/(x)的单调区间；(2)求证：Y-3b>0是/(x)有三个不同零点的必要而不充分条件；(3)=0,Z>=,c=-1,证明：函数/(X)恰有一个零点尸，且存在唯一的严格递增正整数数列%,使得W=尸+ra：+产+.5【分析】/(x)=+4x2+4x+c,利用导数的运算法则可得:(X),令/3=0,解得X,分别解出fx)>0,fx)<0,即可得出函数/(x)单调区间.(2) /(x)有三个不同零点，可得/(x)有两个不同极值点，利用一元二次方程与判别式的关系、充要条件的判定方法即可得出结论.(3)由已知可得/(x)=/+3'-1，利用其单调性可得函数/(x)存在唯一零点re(0,；)，使得-=-=r+r4+，通过反证法即可证明结论.5l-【解答】解：(1)f(x)=xy+4x2+4x+c,fx)=32+Sx+4=(3x+2)(x+2),令八X)=0,解得x=_2或；，Xey,-2)时，”x)>。，函数/(x)单调递增x(-2,1)时一，(x)<。，函数/(x)单调递减三+)时，ff()>0»函数)单调递增.函数/G)单调递增区间为(-叫-2),(-,+oo),单调递减区间为(-2,-3.(2)证明：/(x)有三个不同零点，则/()有两个不同极值点，.(x)=3+20x+6有两个不同实数根,.=4fl2-12Z>>0,即/-3b>0.反之，若力一36>0,则<x)=32+20x+Z>有两个不同实数根，.(x)有两个不同极值点，但是，极值受到C的影响，因此人功不一定有三个不同零点，可能只有两个不同零点或一个零点.因此/-36>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.(3)证明：。=0,b=,。=一1,2'f()-i+-l»(x)=3x2+>0,.函数/(x)在R上单调递增，又/(0)=T<0,=-=>o,.函数/(X)存在唯一零点r(0,1),故数列a”=3-2(M)是满足条件的数列，若存在两个不同的递增正整数数列%,"满足条件，则w=d+r"2+z"J+=户+r+*+，5去掉上面等式两边相同的项可得：尸+d+/J+=N+芹+d+，这里4<$2<$3<，t<t2<t3,所有的不，。都不相同，不妨设SVf,则r,'<rs'<rs'+r"+rs,+r,'+r'i+rfi+.»M11Al<r,'s'+芹F+卢F+r+r2÷r3+=1<-1=1,矛盾，jIT1-12因此存在唯一的严格递增正整数数列勺,使得I=N+产+六+.【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、等比数列的求和公式、方程与不等式的解法、反证法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.考点二：利用导数研究曲线上某点切线方程一.填空题(共4小题)1. (2023秋闵行区校级期中)曲线/(x)=3在点(1,/(1)处的切线方程为_y=6x-3_.【分析】利用导数的几