微专题22 函数嵌套问题（解析版）.docx

微专题22函数嵌套问题【题型归纳目录】题型一：“/(/(*)="型问题题型二："/(g()=人"型问题题型三：复合函数y=()-X的零点问题题型四：复合函数y=g()-的零点问题题型五：含参二次函数复合型零点问题题型六：零点求和问题题型七：其他型【典型例题】题型一：“/(/(*)="型问题例1.设函数/(X)=幻X-2I，/是函数g(x)=(f(X)-I的所有零点中的最大值，若(%,Z+1)(AZ),则Z=.【解析】解：,函数/(x)=xx-2,当x(0,2)时，f(x)=xx-2=x(2-x)=-(x-)2+,y1；又/是函数g(x)=(x)-l的所有零点中的最大值，所以/(O)=1+应，且/(2)=0<l+2,f(3)=3>1+应,因为j(A,k+1)(/:Z)»所以A=2,故答案为：2.例2.设函数f(x)=xx-2,则当XW(0,2)时,函数/(x)的最大值等于，若/是函数g(x)=(X)-I的所有零点中的最大值，且陶e(k,Z+1)(AZ),则Z=.【解析】解：当XW(0,2)时,f(x)=xx-2=x(2-x)=-(x-I)2+1,1;作函数/(X)=KlA2的图象如下,X=I或=l+&：又与是函数g(x)=f(x)-l的所有零点中的最大值，.f(%)=l+应；且7(2)=0<l÷2,f(3)=3>l+2；故k=2.故答案为：1,2.例3.己知函数/(幻=也叱+>"(7叫则函数g(x)=/Va)-1的零点个数为()5-x,3,+)A.3B.4C.5D.6【解析】解：令g(x)=/(/(x)-l=O,可得/(x)=-g或"r)=l或f(x)=4,函数/()=T%"+>""T3)的图象如图所示，5-x,xw3,+oo)由图象可知，当/*)=-3时，有1个解；当/(幻=1时，有3个解；当了3=4时，有1个解.综上所述，函数g(x)=f(x)-l的零点个数为5个.故选：C.变式1.已知函数/(x)=FgFI)'"'1，则函数g(x)=/V(X)-1的零点个数为()l-x+4x,X>OA.4B.7C.8D.9【解析】解：令/(X)=1，解得x=2±G或=一1,则令g(x)=O,可得*)=2±J或/(x)=-l,作出函数/(x)的图象如图所示，由图象可知，/()=2+6有3个零点，f()=2-有有3个零点，/(X)=T有1个零点,故函数g(x)有7个零点.故选：B.变式2.已知函数人幻=(T)'F<°),则函数g(%)=f"(x)+l的零点个数是()x-2,(x.0)A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】解：设M=(x)+1,解/(M)=O,得M=2或M=T,当M=-I时，由f(x)+l=T,得log2(-x)=-2或%-2=-2,即得K=O或X=-1.4当Af=2时,由f(%)+l=2得W即Iogz(T)=I或x-2=1.即4=一2或x=3,综合得:函数g(x)="(x)+l的零点为：工=一2或x=3或X=O或x=-!"共4个；4故选：D.变式3.已知函数f(x)=f+q,集合A=x(X)=0,xgRfB=(xf(f(x)=0,xR,若3为单元素集，试求q的值.【解析】.集合A=b"(x)=0,B=x(x)=0)/.ABB=xf(fM=0=x/2(x)+/(x)+=0)=xKf(X)+；/+g-；5为单元集，./(X)=g,4A=x(x)=0)=xx2+x+q=O,xwR,当A=0时，8=0不符题意，故A。，当A=x|x=_；)时，=1-4<=O,解得：4=；，(X)(X2+X4)+(X÷Xd)÷=O444,11X+X+=-=942-1-71-422+x+2=0,方程无解，不符B为单元集，故A*>=-J.方程f+g=0有2个不相等的实数解:_f-l-yl-4fT+Jl-4%=12'2AB当二1一年而WBM有7一年而=解得：=弁2巨或%=三虫（舍去）.同理当士号CB时有“=下或呼（舍八妗卜-3+23多人上,C1.=-4题型二："/(g(x)=A"型问题例4.已知函数/(幻=一/一21，g")="无x+l,x,O(1)求g"(1)的值；(2)若方程g"(x)-=O有4个实数根.求实数"的取值范围.【解析】解：(1)f(1)=-1-2=-3,gf=g(-3)=-3+l=-2,即g"(I)=-2.(2)令/(x)=t,则原方程化为g(t)=a,易知方程/(x)=f在E(fo,l)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y=g()(r<l)与y=的图象有2个不同的交点，作出函数)，=g(/<1)的图象，如图；g=1+i=g*)=x+»2E=2xg=l,由图象可知，当l,<3时，函数y=g(f),«<1)与y=有2个不同的交点，即所求的取值范囿是口，j).例5,设函数/(x)=-%2-2x,g(x)=<X+4x，X>°fh(x)gf(x).x+l,x,O(1)求函数MX)的单调递增区间.(2)若关于X的方程力(x)-=0有4个不同的实数很，求实数”的取值范围.【解析】解：(1)令一/一2X=O得，x=0,或=-2;.当X,-2,或x.O时，f(x,0,当一2vxv0时，F(X)>0；.h(x)=/（八）+wi-2x+l,x剌-2或XO当X,-2时，函数(X)为增函数；x.O时，函数力(X)为减函数;当一2vxv0时，令f(x)=r,Ovivl,设y=h(x)>则：y=/+»Ovrvl,y=/+为减函数,/(»1)时，y'>O,y=r+'为增函数；2"4r令/(X)=-炉-2x=；，WlJx=-l±-»,当-2<工<-1-4时，/(%)为增函数，g(x)为减函数，故(X)为减函数；当-1-等<%<-1时，/(乃为增函数，g(x)为增函数，故人(Jo为增函数；当7<x<T+#时，/(x)为减函数，g(x)为增函数，故h(x)为减函数;当-l+<x<O时，/(x)为减函数，g(x)为减函数，故(X)为增函数；综上所述，函数力(%)的单调递增区间为-1-孝，-1,-l+y,+00),(-00,-2：(2)由(1)可得，当X.0或%-2时，力(戏,1；x=-lF,力(幻取得极大值°X=T-立时，Kr)取得极小值1;42%=T+也时，力(X)取得极小值1.2由方程以幻-。=0有4个不同的实数很，即为y=4")的图象与直线y=。有4个交点.则的取值范围是1，-).例6.设函数f(x)=T2_2矍g*)=4+元，x>°,MX)=g"(),求函数(X)的单调递增区间.x+l,x,1O【解析】解：令一x2-2x=0得，x=0»或=-2;.当二，-2,或x.0时，F(X)M0,当一2vxVO时，U)>0;/、f(x)+-77»-2<X<0./?(%)=4(x)；-X2-2x+,xJ-2,或X0(1)当工，-2时，函数力(功为减函数；(2)当-2<xv0时，令/(x)=r,Ovrvl,14/2-I设y=(x),则：y=t+,Ovrvl,/=-；4r'4广.f(0,q)时,y<0,y=+1为减函数，f(,i)时,y>0,y=r+0为增函数;令/(X)=-X2-2x=;,则x=T±*,.当-2<x<T-孝时，/(%)为增函数，g(x)为减函数，故力(X)为减函数：当-l-*<x<T时，/(X)为增函数，g(x)为增函数，故人(%)为增函数；当-l<x<T+喙时，/(x)为减函数，g(x)为增函数，故力(%)为减函数：当-l+vx<0时，八幻为减函数，g(x)为减函数，故(幻为增函数：(3)当X.0时，为(%)为增函数;综上所述，函数/?。)的单调递增区间为-1-也，T,-1+立，÷oo).22x+1",O变式4.已知函数/(x)=-2x,g(x)=1,若函数y=g"(x)-有4个零点，则实数。的取x+;x>04x值范围是.【解析】解：由题意可得函数y=g"(x)与函数y=有4个交点，如图所示:故答案为U，彳).变式5.已知函数/(x)=J3f+,g(x)=+薮,则当方程g"(x)-=O有6个解时”的取一厂6x8,尤，O值范围是()A.<a<-B.a>3或一&,(IC.a>-D.网71444【解析】解：.函数f(x)=3-3f+1,g()=g()=/+元*>°,_%26x&,0f,W=3d-6x,令ra)=o得：x=o.或工=2,故当X=O时，函数/(外取极大值1,当x=2时，函数取极小值-3;则fM与y=根的交点情况为：当zwv-3,或时，有一个交点；当帆=一3,或?=1时，有两个交点；当-3<"z<l时，有三个交点；yig()与y=c的交点情况为:当OVaVl时有两个交点，一个在区间(-4,-3)上，一个在区间(-3,-2)上;当=l时有两个交点，个为-3,个为1.；2当白l时有两个交点，一个在区间(0，)上，一个在区间g-,1)上.若方程g"(x)-a=0有6个解，g(。一4=0有两个根，均在(一3)上,故(l,$»故选：A.题型三：复合函数y=f()-的零点问题例7.定义：若函数/(力对于其定义域内的某数/，有/(XU)=X0,则称/是/(x)的一个不动点，己知函数f(x)=0x2+(Zj+l)x+b-l(aO).(1)当=l,b=3时，求函数/(x)的不动点；(2)若对任意的实数人，函数/(力恒有两个不动点，求的取值范围；(3)在(2)的条件下，若y=f(x)图象上两个点A、8的横坐标是函数/(x)的不动点，且A、8的中点C在函数gCr)=r+-的图象上，求b的最小值.54-4+l【解析】解：(1)f(x)=x2+4x+2,由x2+4x+2=x,解得x=-2或x=-1,所以所求的不动点为T或一2.(2)令加+(b+l)x+b-1=%,则Or2+加+。一=o，由题意，方程恒有两个不等实根，所以A=-4S-l)>0,即-4Z>+44>0恒成立，则=16/16<0,故OVaV1.(3)设Acr,j1),B(x,K),(x1x7),g(x)=-x+,Sa-4+l又AB的中点在该宜线上，所以g(土)=-土+r_=土½,225a2-4+l22a1、5«2-4«+1而王，声应是方程的两个根，所以内+2=-g,即1=52工+,1.2/225/_4+1(1)2_4(1)+5(l-2)2+laaa.当=g(O,l)时，bmin=-2.例8.定义：若函数f(x)对于其定义域内的某一数所，有f(0)=x°,则称小是FW的一个不动点.已知函数fx=Cix2+(b+V)x+b-(aO).(1)当=l,人=一2时，求函数/(x)的不动点；(II)若对任意的实数6,函数/(X)恒有两个不动点，求"的取值范围.【解析】解：(I)当=l,人=一2时，/(x)=x2-X-3,因为/为/(x)的不动点，所以Xd-3=f即片一20-3=0解得Xo=T,X0=3,所以一1和3是/(x)=-3的不动点.(II)因为/(x)恒有两个相异的不动点，即方程/(%)=%恒有两个不同的解，即f(x)=r2+乐+b=o有两个不相等的实数根，所以从一4(b-l)>0恒成立,即对任意。£R，Z/-4«+4。>0恒成立，所以(-4)2-4×4a<0，所以2_<0,所以OVaV1,所以。的取值范围为(0,1).例9.设函数/(X)=JeX+x2-a(x>0,awR,e为自然对数的底数)，若存在beO,1使/(/(b)=b成立，则。的取值范围是.【解析】解：存在b0,1,使/(f(b)=6成立.存在btO,1,使/(b)=,(b)即函数/(x)与其反函数/"(幻在0,1上有交点./(幻=正+/一4在0,1上为增函数.函数/(x)与其反函数“)在0,1的交点在直线y=X上，即函数/(x)与其反函数/T(x)的交点就是/(x)与y=x的交点令：ex+x2-a=x2,则方程在0,1上一定有解.a=ex,掇We.故答案为：1领fae.变式6.设函数/Cr)=/+%+。.若对任意R,均有/(/(x)>x,则实数C的取值范围是.【解析】解：函数/(x)=Y+x+c.若对任意xR,均有/(/(x)>x,即为f(x2+x+c)>XtBp(2+X+c)2+X2+X+2c>,可得(f+x+c)2+X2+2c>0恒成立，由(V+c)2+2.0,即有c>0,故答案为：c>0.变式7.对于函数/(x),若/(x)=t,则称X为了的“不动点”，若/(f(x)=x,则称X为/*)的“稳定点"，记A=x"(x)=x,B=f(f()=i则下列说法错误的是()A.对于函数f(x)=x,有A=8成立B.若/*)是二次函数，且A是空集，则B为空集C.对于函数/(x)=(Jx,有A=B成立D.对于函数/(x)=2,存在be。”)，使得A=B成立X【解析】解：对于小函数/(X)=X,A=xIX=M=R=8,故A正确；对于3：若/(x)为二次函数，A是空集，则对任意实数4，方程/(x)=X无解，这样/(/(x)=X也无解，所以8也为空集，故B正确；对于C：函数/(x)=g)'为单调减函数，任取x0»则(；)"=x0,而/(/(%)="(；)")=/(%)=不，即人口8，反之，任取%8,则/(g)%)=%，若(g)*>%,则(；)M)<为，出现矛盾,若10<Jo，则(g)")>为，出现矛盾，所以(g)%=%，则BqA，综上所述，A=B故C正确；对于D：对于函数/0)=2,X由f(x)=X»得2=b,X当b>0时，X=±yb,所以A=6，的,又W(X)=/自，=x,X_X所以8=xxw0,所以AW8,故O错误；故选：D.变式8.对于函数f(x),若/Gro)=%,则称XO为函数/(x)的“不动点”：若/(/(/)=/，则称/为/*)的''稳定点”，如果函数/(x)=a?+l(awR)的稳定点恰是它的不动点，那么”的取值范围为()13311A.(-°,-B.(,+)C.-,D.(-1,44444【解析】解：/为函数/(X)的''不动点”,则方程/(x)=x,即2+l-x=0有实根，故=4.0,.,工，4如果“稳定点”恰是它的“不动点”，则上述方程的根%为方程f(/()=，即0+l=x的实根，方程f(x)=x可化为：a(r2+l)2+l=x,W4z(ar2+I)2-v2+r2+1=X,利用平方差公式分解因式得,/.a(ax2+1+x)(r2÷1-x)+(2+«-)=0,.*.a(x2+a-x)(x2+x+a+l)=O,.函数f(x)=公2+l(R)的"稳定点”恰是它的“不动点”，.方程/+x+l=O无实数根，3.,.14(+1)<O»a>,4综上，.c>»44故选：C变式9.对于函数f(x),若/So)=/，则称/为函数/U)的“不动点”；若/(/(x0)=%,则称/为函数"r)的“稳定点”.如果函数/(x)=f+3WR)的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数。的取值范围是()133131A.(-co,-B.(-,4o)C.(一2，-D.-444444【解析】解：/为函数/*)的“不动点”,则方程/(x)=x,即f+-4=0有实根，故a=l-4.0,.凡工，4如果“稳定点”恰是它的“不动点”，则上述方程的根与为方程/(/*)=无，即/+=x的实根，方程/(/*)=K可化为：(x2+a)2+a=x,BP(x2+a)2-x2+x2+a=x,利用平方差公式分解因式得，/.(x2+a+x)(x2+a-x)+(x2+-x)=0,/.(x2+a-x)(x2+x+6+l)=0,.函数)=f+(R)的"稳定点”恰是它的“不动点”，.方程V+x+l=O无实数根,.1-4(+l)v0,Q11Q1Q当二一时，X2+x+a+=X2+x+-=O解得X=»此时X1+a-X=X2-x=O的解为M=一一»,4424122两方程具有相同的实根，能同时满足/+=O有实根且(x2+-x)(x2+x+l)=O仃实根，因此=-之4满足题意.综上，一°殁人»44故选：D.变式10,设函数/(x)=("R).若存在bwO,1,使/(/(b)=8成立，则4的取值范围是()A.0,1B.1,2C.0,1D.：,1【解析】解：由/V(b)=6,可得/(b)=/-'(b),其中r,是函数/()的反函数因此命题“存在人0,1使/(/(b)=b成立"，转化为“存在bO,1,使/(b)=尸(b),即y=/*)的图象与函数,，=广(t)的图象有交点，且交点的横坐标匕0,1,y=f()的图象与y=/T(x)的图象关于直线y=%对称，.y=f(x)的图象与函数y=T(x)的图象的交点必定在直线y=x上，由此可得，y=(x)的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标bO,1,根据x-l=x,化简整理得x-=fxO,1,a=x-X2fx0,1,.根据二次函数的性质得出：假曲-4即实数。的取值范围为0,；.故选：A.变式11.设函数/(x)=V+2+-4(cR,e为自然对数的底数)，若存在匕0,1使(b)=b成立，则。的取值范围()A.1,eB.0,eC.2,eD.1,e+l【解析】解：因为存在b0,1,使/I/(b)=b成立，所以存在力e0,1,使/(b)=尸(b),即函数/(x)与其反函数在0,1上有交点，因为函数/(x)=e'+、+”在0,1上为单调递增函数，所以函数/(x)与其反函数在0,1的交点在直线y=X上，即函数/(x)与其反函数的交点即为/(x)与y=X的交点，令AeX+f+。-。=X，即e*+V+%一。=彳2在10,1上有解，所以“=e'+x在0,1上有解，因为=+x在0,1上单调递增，所以掇W6+1,则的取值范围为U，e+l故选：D.变式12,设函数/(X)=Jhix+f一"(WR),若存在1,e,使得/(/(b)=6成立，则实数”的取值范围是()A. 0,1B. 0,2C. 1,2D. -1,0【解析】解：由/(/(b)=b,可得/(b)=,(b),其中/T(X)是函数/(x)的反函数因此命题"存在bl,e使/(/(b)=b成立"，转化为“存在5wl,e，使/(b)=f-(b),即y=()的图象与函数y=f"()的图象有交点，旦交点的横坐标81,e，,y=/()的图象与y=lW的图象关于直线y=x对称，.y=f(x)的图象与函数y=/T(x)的图象的交点必定在直线y=X匕由此可得，y=(x)的图象与直线y=有交点，且交点横坐标hel,e,根据>lnx+x2-a=X,化简整理得InX=a.记F(X)-Inx，G(X)=a,由xl,e,可得尸()0,1,即阖/1.即实数。的取值范围为0,1.故选：A.变式13.设函数/(x)=Jr7(wR).若方程/(/(x)=x有解，则的取值范围为()A.(x),一B.(0C.(,-D.19+<x)488【解析】解：设/(x)=E,f.0,则方程/(/(X)=X等价为/=x,即=1.yt-a=X*"/=X,即/(x)=X，.yjx-a=X在X.0时有解，BPX-«=X2,/.a=-X2+x在x.0时成立，设g(x)=+=_(X2-X)=-(-I)2+1,x.0.当X=g时，g(x)取得最大值;，*-g(x),7，4即4,1.4故选：A.题型四：复合函数y=g()-的零点问题例IO设/(x),g(x)都是定义在R上的函数,若函数y=(g(x)-x有零点，则函数g(x)不可能是()A.X2-B.X2+-C.X2+x-D.X2+x+-5555【解析】解：.函数y=(g(x)有零点，方程f(g(x)=R有解,.g(f(ga)=g),.g(x)=x有解，若g(x)=d-3，则可判断f-1.=X有解，故成立；5若g(x)="2+1，则可判断V+J1.=X有解，故成立；5若g(/(x)=%2+x；,则可判断f+-1.=有解，故成立；5若g(x)=f+x+则可判断V+x+=x无解，故不成立；5故选：O例11.F(X)和g(x)都是定义在R上的函数，且方程x-g"(X)=0有实数解，则/g(x)不可能是()44A.3-2rB.2-3C.-1+-D.x-l+-【解析】解：因为x-g"(x)=0,所以g"(动=%，得Ag"0)=/(%)，即fgM=X，所以gf(幻=X与/g()=X是等价的，即=g"()有解，/g()=也有解，也就是说有解得都是有可能的,.当32X=X时，X=I成立；B.当2'-3=x时，2'=x+3结合图象有解；4 49C.当一x-l+=X时，即=|X-11,当x.l时，得X=,舍去；5510当XVl时，无解，故方程无解，C错误；D.当x-+M=X时，得X=N有解.510故选：C.例12.函数/(X)、g(x)都是定义在R上的函数，若x=g"(x)方程有解，则函数g"(x)不可能是()A.X1+x-B.X2-C.X2+x+-D.X2+-5 555解析解：X=gf()方程有解.，得g"(x)=x方程有实根，直接把四个答案分别代入，发现只有C无解；题目要我们选不可能的，所以只能选无解的那个C.故选：C题型五：含参二次函数复合型零点问题ck-l一Ira,',若关于X的方程尸(用_(26+1)/(幻+裙=0有7个+4x+4,x<0不同的实数解，则7=()A.n=6B.rn=2C.，=6或2D.ZW=6【解析】解：当m=2时，由/2(x)_5/(x)+4=0得/(幻=1或f(x)=4,当x.0时，/(x)=5l-,l-l,由51-l=l得x=l±logs2均符合，由5f-l=4得X=O,x=2均符合，当x<0时，/()=x2+4x÷4,由X2+4x+4=l得x=-l,X=3均符合，由X2+4x+4=4得X=O(舍)，X=Y符合，故z=2时，关于X的方程/。)-(2机+l)(x)+=o有7个不同的实数解，所以排除A和O;当z=6时，由2(x)-13(x)+9=0得/(x)=4或/*)=9,当W=4时，已经解出X=0，X=2，X=Y均符合；当了3=9时，由二H,C，解得X=I+IogslO,5-1=9由得=-5,x2+4x+4=9故帆=6时，原方程只有5个不同实根，不符合题意，故排除C故选：B.例14.设定义域为R的函数f(x)=F-Tx°若关于X的方程尸(幻-(27+1)/(幻+/=0有5个不x+4x+4,x<0同的实数解，则加=()A.6B.4或6C.6或2D.2【解析】解：题中原方程2(外一(2M+1)/(4)+*=0有5个不同的实数根,结合函数/(月的图象打得，令E=(x),则关于f的方程-(2加+I)，+>=。有一根为F*另一个根大于4或等于0.把Z=4代入方程t2-(2m+l)r+m2=0求得m=2tm=6.当m=2时，关于，的方程-(2m+l"+1=o有一根为，=4,另一个根等于1,不满足条件.当m=6时，关于，的方程-(2a+»+1=0有一根为，=4,另一个根等于9,满足条件.故选：A.例15设定义域为R的函数f(x)JfT二11""),若关于X的方程2*)+)+c=0有5个不同的实Ja=I)数解，则b+c值为()A.OB.1C.-1D.不能确定【解析】解：作函数/(%)=FTla")的图象，Kx=D.关于X的方程/2。)+好()+c=O有5个不同的实数解,.方程f+b+c=O有2个不同的实数解1,x1,.1+j=-h,ljr1=c,故b+c=-1-Xj+%11故选：C.变式14.设定义域为R的函数/(x)=f-k-11+1.D,若关于X的方程2/(幻-(2+3)(x)+3=O有五个0,(x=l)不同的实数解，则的取值范围是()A.(OJ)B.(0,-)C.(1.2)D.(1,)J(,2)【解析】解：作出/(X)的图象如图：设f=(x),则方程等价为2t2-(2a+3)t+3«=0,由图象可知，若关于X的方程2f2(x)-(2a+3)(x)+3=O仃五.个不同的实数解,即要求对应于f(x)等于某个常数有3个不同实数解，.故先根据题意作出f(x)的简图：由图可知，只有当f(x)=时，它有三个根.所以有：1<a<2®,再根据2f2(X)-(2a+3)(x)+3=O有两个不等实根，则判别式4=(2+3)242X3a>O,解得白3,233故lv<±或±vx<2,22故选：O.0有五个ax=1)变式设定义域为R的函数AM(I产+心也，若关于X的方程"心+切+%不同的实数解，则。的取值范围是()A.(OJ)B.(l)J(l1)c.(1,2)D.呜口12)【解析】解：题中原方程22*)-(2+3),f(x)+3=0有H只仃5个不同实数解,.即要求对应于F(X)等于某个常数有3个不同实数解，.故先根据题意作出/(x)的简图：由图可知，只有当/(x)=时，它有三个根.所以有：<a<2.再根据2f2(x)-(2a+3)(x)+3=0有两个不等实根，得：=(2÷3)2-4×2×3>0=>-(2)2结合得：l<<3或3v<222故选：D.变式16.设定义域为R的函数/(x)=12K,l,若关于K的方程力幻+爪)=0有4个不同的实根,Zg(x-l),>1则实数匕的取值范围为()A.(2,-hx>)B.(0,2C.-2,0)D.(o,-2)2*X1【解析】解：作函数/*)=''"'I的图象如下，U-1),>1Vf2(x)+bf(X)=Of.f(x)=0或/(X)=-力，结合图象可知，方程/(X)=0有且仅有一个根X=2,故方程/(X)=R有3个不同的根，0<-,2,故-ZAO,故选：C.变式17.(多选题)函数/(x)=+b+c(0)的图象关于直线对称，据此可推测，对任意的非零实数，b,cfw,n,关于X的方程/川/(x)f+4(%)+P=O的解集不可能是()A.1,2)B.1,3,6,9)C.1,2,3,4D.1,4,16,64)【解析】解：/(工)=2+云+。的对称轴为直线工=一2,2a设方程m"(x)f+械(x)+p=O的解为工，f2(x),则必有fx(x)=yl=x2+bx+c,f2(x)=y2=a2+hx+c,那么从图象上看，y=y,y=%是条平行于X轴的直线，它们与/(刈有交点，由对称性，则方程y=?+法+c的两个解天,占要关于直线X=-A对称，即天+w=-2,2aa同理方程%=32+云+。的两个解&，匕也要关于直线X=-2对称，即七+/=-2，2aa在A中，可以找到对称轴为直线x=3,2在C中，可以找到对称轴为直线X=2.5,在8中，找不到这样的组合使得对称轴致，也就是说无论怎么分组，都没办法使得其中两个的和等于另外两个的和，故答案3不可能，在。中,找不到这样的组合使得对称轴一致，也就是说无论怎么分组，都没办法使得其中两个的和等外两个的和，故答案。不可能，故选：BD.变式18.设定义域为R的函数/(幻=炉+广'0八，找出一组b和C的值，使得关于X的方程(x-1)2,>02(x)+b(x)+c=0有7个不同的实根.【解析】解：/*)的图象如图所示：b=-,c=!满足条件，理由如下：22设/*)=/，t2+bt+c=O»由图象可得以上有关于，的方程必须有一解为1,另一解在区间(U)中，才会使得关于X的方程/(X)+b/(X)+c=O有7个解.其中，/()=l有3个解，/(x)=e(O1)有四个解.所以可令4=1,G=g，即可得方程d3+'=0,22变式19.设定义域为R的函数/(X)=J"T,(XO),f(2)=4,/(-3)=/(-1)=1.a+bx+c,(x<0)（1）求/（x）的解析式;（2）若关于X的方程/（幻_（2m+1）/（幻+加=（）有7个不同的实数解，求实数m的值.【解析】解：（1）由题意，/（2）=4=4/(-3)=9-3/?+c=l»f(-)=-b+c=i4k'x.0X2+4x+4,x<04XTlx0(2)作幻=的图象如下,x+4x+4,x<0则/一(2m+»+1=0有两个不同的实数解，且有一个解为1或4若1是r2-(26+)t+m2=O得解,ffll-(2m+l)+n2=0;故M=O或TW=2；若ZW=O,则/一(26+l)r+112=O的两个解为,0；不成立；若m=2,则-(2m+i+=o的两个解为,4；由图知不成立;若4是/_(2m+Df+w2=0得解，MJ16-4(2m+l)+n2=0:故"z=6或n=2;若2=6,则“-(2/+1)1+疗=O的两个解为4,9：不成立;故不存在.题型六：零点求和问题例16.设定义域为R的函数/(X)=若关于X的方程f2(X)+bf(x)+c=O有三个不同的解X1,!,x<1I-Xx2,%，则工：+年+疗的值是()A.1B.3C.5D.10【解析】解:令/(x)=f,做出/(x)的函数图象如下:4”IlIIIII,-4-3-2TQ1234由图象可知当f=l时，/(x)=f有三解，当OVrVl或时，F(X)=r有两解，当4,()时，方程/()=r无解.关于4的方程f2*)+V()+c=0有三个不同的解不，x2,x3,1*()=1，当XVl时，令一=1解得X=0，当x>l时，令=1解得x=2,当Ar=I时，显然=l是/(x)=l的解.不妨设$<%V,贝JX=O,x2=1»X3=2,故选：Cr1例17.设定义域为火的函数/*)=次-1，若关于X的方程f*)2+"*)+c=0有三个不同的实数根1.x=IX1，X2fX3，则X；+x；+W等于()【解析】解：分段函数的图象如图所示：由图可知，只有当/(X)=I时，它有三个根.由-=1>BPIX-11=1>Ix-H解得X=O,X=2或X=1.关于X的方程2()+4()+b=0有H只有3个不同实数解,解分别是2,1,0,即为=2,x2=l,再=。，.x；+E+W=4+1+O=5,例应设定义域为R的函数e)=*>E'则关于'的方程尸有5个不同的实数解X(i=l,2,3,4,5),则fa+W+七+4+&+2)=()A. -B.-C.2D.124【解析】解：画出/(x)的图象,令/(X)=，则产+的+c=0有两个不等的实由于关于X的方程尸(幻+"+C=O有5个不同的实数解,数根，且其中一个为2,画出直线y-m(m2),得到5个交点，其横坐标为内，x2,x3»x4»X5»设匹=2,且XI<x2<x3<x4<x5由于y=gx-2的图象关于门线x=2对称，则X1+/=W+七=4,即有X+x2+&+Z+毛=10，则/(x1+x2+x3+x4+x5+2)=/(12)=ZglO=I,故选：O.变式20.(多选题)设定义域为妥的函数/(X)=x+l'"7,若关于X的方程"(x)f+叭X)+=O有且l,x=-l仅有三个不同的实数解七,x2,X3,且Xvx2vx3下列说法正确的是()A.B. +a+b=0C.xl+x3>2x2D.x1+x3=-2X-1【解析】