微专题32 周期性与双对称问题（解析版）.docx

微专题32周期性与双对称问题【方法技巧与总结】1、周期性技巧函数式满足关系(XeR)周期f(x+T)=fMTf(x+T)=-f(x)2Tfx+T)=;/*+7)=/()Fa)2Tf(x+T)=f(X-T)2Tf(x+T)=-f(X-T)47ff(a+x)=f(a-x)f(h+x)=f(b-x)2(b-a)f(a+x)f(a-x)/(幻为偶函数2af(a+x)=-f(a-x)f(b+x)=-f(b-x)2(h-a)f(a+x)=-f(a-x)/(X)为奇函数2af(a+x)=f(a-x)f(b+x)=-f(b-x)4(b-a)ff(a+x)=fa-x)/3)为奇函数4f(a+x)=-f(a-x)/(X)为偶函数4a2、函数的的对称性与周期性的关系(1)若函数y=f(x)有两条对称轴x=,X=ba<b),则函数f(x)是周期函数，且T=2(Z>-);(2)若函数y=(x)的图象有两个对称中心(,c),S,c)(<勿，则函数y=(x)是周期函数，且T2(b-a);(3)若函数y=f(x)有一条对称轴x=和一个对称中心(b,O)(<Z?),则函数y=/(x)是周期函数,且T=4S-).3、对称性技巧(1)若函数y=(x)关于直线x=a对称，则/(+x)=(-x).(2)若函数y=(x)关于点(,力)对称，则/(+x)+(-X)=2Z;.(3)函数y=(+x)与y=()关于y轴对称，函数y='(+x)与y=-f(-x)关于原点对称.【题型归纳目录】题型一：单纯考查周期性题型二：双对称函数的周期性题型三：函数对称性与周期性的综合问题【典型例题】题型一：单纯考查周期性例1.已知定义域为R的函数/*),满足对任意xR,都有/(l+x)=/(lX),且/(r)=/(X),当IgX(x>0)x0,1时，fx)=X,若函数g(x)="-2,则函数y=(x)-g(x)在区间-11,11上的零点的个数是()A.18B.19C.20D.21【解析】解：令X=X+1,由/(1+x)=/(1-x).得至If(x+2)=(l-x-l)=/()，.f(-x)=f(x)，A/(x+2)=(x)，./(x)为以2为周期的周期函数，X0>1时，f(x)=x»当X引-1,01，f(X)=-X,作出函数/(X)与g()的图象，由图象可知，两个图象有19个交点，即函数y=(x)-g(x)在区间-11,11上零点的个数是19个.例2.定义在R上的函数y=(x)满足以下三个条件：对于任意的实数XR,都有/(2+x)+(2-x)=0成立；函数y=(x+l)的图象关于>轴对称：对任意的X,x20,1,x12,Px1/(x1)+x2f(2)>xf(2)+x2()则/(2021),/(2022),f(2O23)的大小关系为()A./(2021)>/(2023)>/(2O22)B./(2O21)>/(2O22)>/(2023)C./(2O23)>/(2O22)>/(2021)D./(2O22)>/(2021)>/(2O23)【解析】解：.,对于任意的实数xR,都有f(2+x)+(2-x)=0成立，函数y=/(x)的图象关于(2,0)成中心对称；又函数y=f(x+l)为偶函数，/./(x)的图象关于X=I对称，即/(2T)=f(x)t.f(2+x)=-f(x),用2+x替换X,得/(4+x)=F(X),即函数的周期丁=4；又对任意的七，20>1»x1x2»都有Xj(X)+2(X2)>Mf(X2)+/(芭)成立，即Xx,x20,1,XlWX2,PW(x1-x2)(xi)-(2)>0,.y=/(X)在0,1上单调递增,由0得函数y=/(x)的图象如下：由图知，f(1)>/(2)>/(3),/,/(2021)>/(2022)>/(2023),故选：B.例3.己知/")为定义在A上的偶函数，当X例时,W(x+l)=-,且当x0,1)时,/(x)=log2(x+l),给出下列命题：(2OI4)+/(-2015)=0；函数f(x)在定义域上是周期为2的函数；直线y=X与函数/(X)的图象有2个交点；函数f(x)的值域为(-1J).其中正确的是()A.B.C.D.【解析】解：/(X)为定义在R匕的偶函数,且当工.0时，有+i)=-(x),且当x0,1)时，/(x)=log2(x+l),故函数/(#的图象如下图所示：由图可得：/(2014)+(-2015)=0+0=0,故正确；函数/(%)在定义域上不是周期函数，故错误；直线y=x与函数f(x)的图象有1个交点，故错误；函数的值域为故正确：故正确的命题序号有：®故选：C.变式1.(多选题)已知定义在R上的奇函数f(x),满足对任意的XwR,都有/(2+x)=(-x)成立，且当旗Ik1时，/(x)=x,那么下列说法中正确的有()A.函数/(x)为周期函数B.函数/(x)的对称中心为点(攵，O)(AZ)C.当滕*4时，函数/*)的图象与X轴围成的图形的面积为2D.f(1)+/(2)+f(3)+.+/(2021)=1【解析】解：/*)为奇函数，/(x+2)=(-x),.(x+2)=-Jfa),又:Kx+4)=-f(x+2),.J(x+4)=(x),.函数/(x)的周期为4,.A1E确，f(x+2)=(),.函数f(x)的对称轴为X=I,.点(1,0)不是对称中心，.8错误，当够/1时，f(x)=xt：.f(1)=1.f(3)=/(-1)=-1,函数f(x)的周期为4,.f(2)=/(-2)=0,f(4)=/(0)=0,:.f(1)+/(2)+f(3)+.+/(2021)=505/(1)÷/(2)+/(3)+/(4)+f(1)=1,.O正确，函数的大致图象如下:.当既k4时，函数/(用的图象与X轴围成的图形的面积为1.1x2x2=2,.CE确.2故选：ACD.av+1,-1,<0变式2设/(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间-1上,小)=也腐1其中,x+1a，bwR,则/(1)=-,若/()=/(),则+劝的值为Or+1.T,x<0【解析】解：因为在区间一1,1上，f(x)=bx+21+l所以/(1)=；+；=b；2(或/(1)=f(-)=i-):11又知道q)=f(/,而/(|)=1一1=/($=，由(1)得2,+b=0，联立得所以+3b=2+(-12)=T0,故答案为：匕上(或1-)，-10.2变式3.已知tan(x+)=+tan*,可知函数y=lanx的一个周期为万.类比上述结论，设。为正常41-tanx数，且/a+。)=三恪，则函数y=(x)的一个周期为_4a_.【解析】解：,tan(x+)=+tan.可知函数y=tanx的一个周期为7.41-tanx设为正常数，且+)=t2，1-zU)1,÷.,/u+2,)=11Z(£1£)=izZJ4=_2_=_1.-f(x+a)11÷/(x)-2(x)/(x)-/U+4。)=1-=/(X)/(+2)17故函数y=/(x)的一个周期为40.故答案为：4a.变式4设/*)是周期为4的奇函数，当骐Jr1时，/(x)=xl+x),贝J=【解析解：由题意可得，f()=f()=f(4)=f()=×(1+)=X.22222222故答案为：-之.4变式5.设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若函数/(x)=x+g(x)在区间3,4上的值域为-2,5,则/在区间-10,10上的值域为【解析】解：法一：g(x)为R上周期为1的函数,则g()=g(%+D又函数f(x)=x+g(x)在3,4的值域是-2,5令x+6=r,当xe3,4时，F=X+6e9,10此时，f(r)=f+g(O=(x+6)+g(x+6)=(x+6)+g(x)=x+g(x)+6所以，在te9,10时，/(r)4,11.(1)同理，令x-13=f,在当x3,4时，r=x-13-10,-9此时，/Q)=+g)=(x-13)+g(x-13)=(x-13)+g(x)=x+g(x)-13所以，当才T0,-9时，/(r)-15,-8.(2)由(1)(2)得到,Fa)在T0,10上的值域为T5,11故答案为：-15,11法二：由题意/(x)-X=g(x)在R上成立ift(x÷l)-(x+l)=(x+l)所以f(x+l)-(x)=l由此知自变量增大1,函数值也增大1故f(x)在-10,10上的值域为-15,11故答案为：-15,11题型二：双对称函数的周期性例4.己知定义在R上的函数/*)满足/()=-(x),/(l+)=(l-),当0<,l时，f(x)=2xt则f(2017)+/(2016)=()A.OB.1C.2D.3【解析】解：.定义在A上的函数/(x)满足/(T)=-/，函数/(x)为奇函数，又.(l+)=(l-),可得f×+1)=/(r-1),即为+2)=-(x),即有f3+4)=-f0+2)=),函数F(X)为周期为4的周期函数，/,/(2017)=/(504×4+1)=/(1),由当0v41时，/(x)=2v,可得/(1)=2,由/(2016)=/(504×4)=/(0)=0,则/(2017)+/(2016)=/(1)+/(0)=2.故选：C.例5.已知定义在R上的函数/(x)满足/(2-x)=-f(x),且f(x-2)=f(-幻，当x(-l,l)时,/(X)=X2+1，则/(2020)=()A.-1B.0C.1D.2【解析】解：由函数满足/(2x)=-(x),可知/Q)的对称中心为。,0),因为/(x-2)=(-x),可知/(x)的对称轴为“=-1,所以可得Jf(X)的周期为8,所以/(2020)=/(4),由已知函数/(x)满足/(2-幻=一/(X),令x=4,f(-2)=-f(4),由已知/(x2)=/(x),令K=0,/(-2)=/(0)=1,所以/(4)=-1.故选：A.例6.定义在R上的函数/(x)满足/(4一X)=/*),f(2-x)=-f(x)f且当xe0,2时，/(X)=X-B则/(2011)=()A.0B.1C.2D.3【解析】解：若定义在R上的函数/(%)满足/(4-力=/(“),则函数的图象关于直线x=2对称若定义在R上的函数/(x)满足f(2-x)=-f(x),则函数的图象关于点(1,0)点中心对称由函数周期的确定方法可得4为函数的一个周期则/(2011)=f(3)=f(1)又当xeO,2时，/(x)=X-I,.(2011)=0故选：A.变式6.已知/(x)是定义在R上的偶函数，且/(x+4)=(x-2).若当X4一3,0时，f(x)=6xf贝J/(919)=()A.2B.3C.5D.6【解析】解：/(x+4)=/(%-2).(x)的周期为6,.(919)=/(1)=/(-1)=6.故选：D.变式7.已知定义在R上的偶函数/(X)满足f(l-x)+(l+x)=0,若/(0)=3,则/(2022)+/(2023)=()A.0B.-3C.3D.6【解析】解：根据题意,函数/(x)满足/(1一x)+(l+x)=0,则/(r)+(2+x)=0,又由f(x)为偶函数，则有f(x+2)=-/(-X)=-f(x),则有/(x+4)=-(x+2)=(x),即函数f(x)是周期为4的周期函数，又由/(1x)+(l+x)=0,令X=O可得：f(1)+f(1)=0,变形可得/(1)=0,/(2022)=/(2+2020)=/(2)=-/(0)=-3,/(2023)=/(3+2020)=/(3)=-/(I)=0,则/(2022)+/(2023)=-3,故选：B.变式8.已知函数/(X)为R上的奇函数，且图象关于点(3,0)对称，且当Xe(0,3)时，/(x)=(g)'T,则函数/在区间2013,2018上的()A.最小值为-2B.最小值为-NC.最大值为0D.最大值为工488【解析】解：由函数/(x)为R上的奇函数，可知图象关于(0,0)对称，f(-X)=-f(x)t.图象关于点(3,0)对称，则/(6-x)=-(x)./(6-X)=f(-x)，.函数是以7=6为周期的周期函数，.当XW(0,3)时，/(x)=(一)r-1,.xe(T0)时，根据奇函数关于原点对称可知，/(x)=l-23/(x)在(-3,2上单调递减，函数取得最小值/(2),4.T=6,/(x)在区间2013,2018上取得最小值,4故选：A.变式9.己知f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于点(3,0)对称，当X(0,3)时/(X)=炉，则当x2018,2019时，/(1)的最小值为()A.0B.eC.e2D./【解析】解："(x)关于(3,0)对称，.J(x)+(6-幻=0,(x)=-/(6-X)=f(x-6),f(x)的周期为6,2018,2019时，/(x)最小值即为x2,3时/(X)的最小值.2,3),f(x)min=f(2)=e2ff(3)=/(-3)=-/(3),.i./(3)=0,.xe2,3,f(X)tnin=0.故选：A.变式10.已知函数/(幻是定义在R上的周期为2的奇函数，当0vx<l时，/(x)=3x,贝J/(-1)+/(D=-3-.【解析】解：,/(幻是定义在R上的周期为2的奇函数，.(x+2)=(x),(1)=/(-1),即f(1)=-/(1),./=0,且/(-|)=/(-|+2)=/(-=-吗)，又O<XV1时，f(x)=3jc,()=32=3,.(-)=-3，/(-)+/(D=-3.故答案为：->J题型三：函数对称性与周期性的综合问题例7.己知定义在R上的奇函数/满足且在区间0,2上是增函数，则有(A./(-25)</(80)</(Il)B./(11)</(8O)</(-25)C./(-25)<(ll)<(8O)D./(8O)<(ll)<(-25)【解析】解：(x-4)=-(x),得f(x-8)=fCr),即函数的周期是8.因为/Cr)是奇函数，所以/(x-4)=-(x)=(-x),即函数关于X=2对称，同时关于x=2对称.所以f(80)=(0),/(11)=/(3)=f(1),/(-25)=/(-1).因为奇函数在区间0,2上是增函数，所以函数在-2,2上为增函数.所以f(T)v(0)<(1),即f(-25)<f(80)v(ll).故选：A.例8.已知定义在R上的奇函数/*)满足/(x+8)=(x),关于x=2对称且在区间0,2上单调递增，则()A./(-25)</(11)</(80)B./(80)</(11)</(-25)C./(11)<(80)<(-25)D./(-25)</(80)</(11)【解析】解：因为/(x)满足f(x+8)=(),所以/(X)的周期为8,则/(25)=/(T)，/(80)=/(0),/(11)=/(3),又因为/(x)为R上的奇函数，且关于x=2对称，所以/(3)=/(1),又一(x)在区间0，2上单调递增，则/")在-2,0上也是单调递增，所以/(X)在-2,2上单调递增，故/(T)v(0)<f，所以f(-25)v(80)v(ll)故选：D.例9.函数f(x)是定义域在R上的偶函数，且f(x)=-(2-幻，若/(x)在区间1,2上是减函数，则/(x)()A.在区间-2,T上是增函数，在区间3,4上是增函数B.在区间-2,-1上是增函数，在区间3,4上是减函数C.在区间-2,T上是减函数，在区间3,4上是增函数D.在区间-2,T上是减函数，在区间3,4上是减函数【解析】解：/(x)是定义域在R上的偶函数，且*)=-(2r),(x)=-(2-x)=-(x-2),即/(%+2)=-/3,三(x+4)=-(+2)=(),即函数的周期是4,/(X)在区间U,2上是减函数，.在区间-2,T上是增函数，*/f(x)=-f(2-x)f函数关于(1,0)成中心对称，则函数在0,1上为减函数，则-1,0上为增函数，则在3,4上为增函数，故选：A.变式H,已知f(x)是定义在A上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称.以下关于f(x)的结论：一(力是周期函数；/a)满足/Cr)=/(4X)；f(x)在。2)上单调递减；/(X)=COS段是满足条件的一个函数.其中所有正确的结论是()A.©B.C.D.【解析】解：函数/*)是定义在R上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称.对于，由于/(T)=/(幻，函数的图象关于(1,0)对称，thf(x+2)=-f(x)f所以F(X+4)=-F(X+2)=f(x),所以函数/(X)是周期函数，故正确；对于，函数/3为偶函数，则AT)=/(4),由于函数为偶函数，故满足/(X)=/(4-力故正确；由于函数关于y轴对称，且函数/(x)关于(1,0)对称，所以函数/*)在(0,2)上不单调，故函数/(x)在(0,2)上单调递减错误，故错误；由于函数/(x)=8s上既关于y轴对称，又关于(1,0)对称，故正确.故选：C.变式12.(多选题)已知/(幻是定义域为(-oo,和)的奇函数，/(x+l)是偶函数，且当XW(0,1时，/(%)=-x(x-2),则()A. /(幻是周期为2的函数B. /(2019)+/(2020)=-IC.F(X)的值域为-1,1D.y=(x)在0,2万上有4个零点【解析】解：对于A,/(x)为R上的奇函数，/(x+l)为偶函数，所以/(x)图象关于X=I对称，/(2+幻=f(-x)=-f(x)即/(x+4)=-(x+2)=(x)则是周期为4的周期函数，A错误：对于B/*)定义域为R的奇函数，则/(0)=0，/a)是周期为4的周期函数，则/(2020)=/(0)=0：当Xe(0,1时，f(x)=-x(x-2),则/(1)=-l×(l-2)=l,贝U/(2019)=/(T+2020)=(T)=-f(I)=T,贝J/(2019)+/(2020)=T,故B正确.对于C,当x(0,1时，fM=-x(x-2)f此时有0v(a,l,又由/(%)为R上的奇函数，则xT,0)时，-1.J(X)<0,/(0)=0,函数关于X=I对称，所以函数八处的值域T,1.故C正确.对于£>,/(0)二0,且x(0,1时，/(x)=-x(x-2),/.x0,1,f(x)=-x(x-2)».xe»2,2-x0»I,fW=/(2-x)=-x(x-2),/.x0,2,f(x)=-x(x-2),/(x)是奇函数，x-2,0,/(x)=x(x+2),/(x)的周期为4,.x2,4,/(x)=(x-2)(x-4),/.X4,6>f(x)=-(x-4)(x-6)»/.X6»211,/(x)=(x-6)(x-8),根据解析式，可得x0,加上有4个交点，故力正确.故选：BCD.变式13.(多选题)已知/(x)为定义在R上的奇函数，当尤.0时，有/(+l)=-(),且当x0,1)时，/(x)=log2(x+l),下列命题错误的是()A./(2019)+/(-2020)=0B.函数/(x)在定义域上是周期为2的函数C.直线y=X与函数/a)的图象有2个交点D.函数f(X)的值域为-1,1【解析】解：当1.,%<2,则Q,x-l<l,则由X.0时，有f(x+1)=-fx)，得/(x)=-f(x-1)=-Iog2X»(1.,X<2)当x.0时，W(x+l)=-(x),得/(%+2)=F(x),则力是周期为2的周期函数,/(x)是奇函数，.作出函数/*)的图象如图，则“X)在定义域上不是正切函数，故8错误，且f=_/(0)=0,/(2019)+/(-2020)=/(1)+/(0)=0,故A正确,作出函数F(X)的图象如图：当X=I时，Iog2(l+l)=l,即在-1,1内宜线y=x与函数F(X)的图象仃1个交点，故C错误,函数的值域为(-1,1),故。错误，变式14.在R上定义的函数/(幻是偶函数，且f(x)=(2-X),若f(x)在区间1,2上是减函数,则/(外在区间4,51上是一增(填增.减)函数.【解析】解：/(x)是偶函数，.J(r)=(x),又U)=(2-x),则/(x)=(x-2),即f(x+2)=(x),.(x)是周期函数,周期T=2,设x4,5,则x-4e0,1,.当x4,5时，/(x)=/(x-4),.f(x)=f(2-x)t.f(x)关于直线X=I对称，又.F(X)在区间1,2上是减函数，根据对称区间上单调性相反，.J(x)在0,1上是增函数，.函数八力在区间4,5上是单调增函数.故答案为：增.变式15,设函数八#的定义域为R,若/(x+l)与/&-1)都是奇函数，则函数y=f(x)在区间0,100上至少有个零点.【解析】解：(x+l)与/(X-I)都是奇函数/(-÷1)=-/(+1)由知/(x)关于点(1,0)对称，./(D=0由知/(X)关于点(TO)对称，/(1)=0又由得f(-x+1)=-f(x-3)®联立可得：/(+l)=(-3)J(X)=AD原函数周期7=4./(1+11T)=/(1+4m)=0(11N)/(-1+nT)=/(-1+4n)=0(N)令(+4m100,(J-l+4/z100zf3Ixxil99lxxl101f：双M,一双方4444又m，ncN.?，各有25个取值.在0,100上至少有50个零点故答案为：50【过关测试】一.选择题1 .若定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(%)且xw-l,1时,/(X)HxI,则方程/(x)=l0g3|划的根的个数是()A.4B.5C.6D.7【解析】解：根据题意，函数/(x)满足/(x+2)=(x),则f(x)是周期为2的周期函数，又由xT,1时，Fa)=IXI,则/“)的图象如图，再作出)，=IogyIXl的图象，分析可得两个函数的图象有4个交点，则方程f(x)=l0g31XI有4个根，故选：A.2 .已知/(x)是定义在R上的奇函数，满足/(_1+4)=/弓+幻.当x(0,)时，/(x)=w(x2-x+l),则函数f(x)在区间0,6上的零点个数是()A.3B.5C.7D.9【解析】解：f()是定义在R上的奇函数，满足/(-+x)=(+x).3333/(x+)=/(+),uJfUf(x+3)=f(x),函数/*)的周期为3,.,当X£(0,1.5)时f(X)=ln(x2-x+l),令/(x)=0,则x2-x+l=l,解得X=I又.函数/(x)是定义域为R的奇函数，.在区间口一1.5,1.5上，/(-D=-/=0，/(0)=0./(1.5)=/(-1.5+3)=/(-1.5)=-/(-1.5)，.J(T)=/(I)=/(0)=/(1.5)=/(-1.5)=0又函数/(x)是周期为3的周期函数，则方程/(x)=0在区间0,6上的解有0,1,1.5,2,3,4,4.5,5,6,共9个，故选：D.3 .已知/(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当够*2时，/(x)=x3-3x2+h:,则函数y=(x)的图象在区间0,8上与X轴的交点个数为()A.6B.7C.8D.9【解析】解：由/(x)是R匕最小正周期为2的周期函数可得f(0)=/(2),即0=8-12+2h解得2=2.故当滕上2时，/(x)=-32+2x=x(x-l)(x-2),故函数在一个周期上有3个零点，即X=O,1,3.再由函数的周期性可得，y=(x)在区间0,8上有9个零点，即X=O,1,2,3,4,5,6,7,8,9.故选：D.4 .已知定义在R上的函数/(x)=卜且/(x+2)=(x).若方程/区-2=0有三个不相等2-1.-1,0)的实数根，则实数Z的取值范围是()C.(-l-0D(一卜力居【解析】解：作函数/(幻=11+；：；)与g(x)=去+2的图象如下,直线g(x)=kx+2恒过点(0,2),f3-2I'-3-03f3-21kn=1，n1-0,3-21kfi=>93-03结合图象可知，实数k的取值范围是(11)J(-1,-),故选：C5.定义在R上的偶函数/(%)满足/(x+l)+(X)=0,且在3,4上是增函数，A、B是锐角三角形的两个内角，则()A.f(sinA)<f(cosB)B.f(sinA)>f(sB)C./(sinA)>/(sinB)D./(cosA)>/(cosB)【解析】解:由+D+f()=o得F(X+D=-F(X)即Fa+2)=f(x),所以函数的周期为2,因为/(X)在3,4上是增函数，所以/(R)在-1,0上为增函数，因为IAX)为偶函数，所以/(x)在0,1上为单调减函数.因为在锐角三角形中，11-A-B<-,所以A+8>X,所以X>A>2-8>0,2222所以sinA>sin(-B)=cosB,2因为/(x)在0,1上为单调减函数.所以/(sinA)</(cosB),故选：A6.定义在R上的偶函数/(x)满足/(x)+f(X-I)=0,且在-5,-4上是增函数，A,8是锐角三角形的两个内角，则()A.f(sinA)>f(cosB)B.f(sinA)<f(cosB)C.f(sinA)>f(sinB)D.f(cosA)>f(cosB)【解析】解：4、B是锐角三角形的两个内角，.A+B>-,可得A>X-8,22y=COSx在区间(0,上是减函数，y>A>-B>0».sinA>sin(-B)=cosB»即锐角.角形的两个内角A、8是满足SinA>cos8，2.函数/(x)满足/(x+l)=-f(x)>.f(x+2)=-f(x+1)=4-(x)=f(x),可得函数/(x)是周期为2的函数.用在-5,-4上是增函数，.J(x)在-1,0上也是增函数，再结合函数/(力是定义在R上的偶函数，可得/(x)在0,1上是减函数.锐角三角形的两个内角A、8是满足SinA>cos8,且Sin8、cosA0.1/.f(sinA)<f(cosB).故选：B7.已知定义在R上的奇函数/(x)满足/(x-4)=-U)，且-ve0,2时，/(x)=log2(x+l),则下列说法正确的是()A.f(3)=1B.函数/(幻在-6,-2上是增函数C.函数F(X)关于直线x=4对称D.若关于的方程/(x)-7=0在-8,8上所有根之和为-8,则一定有?(0,1)【解析】解：取X=1,得/(1一4)=一/(1)=-Iog2(1+1)=-1,所以f(3)=-(-3)=11故AIE确；奇函数/(x),0»2时，/(x)=log2(x+l),x-2,2时，函数为单调增函数，,函数f(x)关于直线工=-2对称，函数人冷在-6,-2上是减函数，故B不正确；定义在R上的奇函数f(x)满足f(-4)=-f(x),JM(x-4)=(-x),/./(x-2)=/(-X-2),函数f(x)关于直线X=-2对称，故C不正确；若m(0,l),则关于的方程f(x)-M=O在-8,8上有4个根，其中两根的和为-6x2=72另两根的和为2x2=4,所以所有根之和为-8.反之，不定成立，故。不正确.故选：A.8.若定义在A上的偶函数/*)满足*+l)=-(x),且在区间0,1上单调递减，则()A./vg)v(l)B./(1)<(2)<(1)C.<(2)<(l)D./(l)<<(2)【解析】解：/(x+l)=-(x),.(x+2)=f(x+1)+1=-U+0=fM，.函数人冷的周期T=2,./(2)=/(0),又函数F(X)为偶函数，且在区间0,1上单调递减，.函数/(x)必在区间-1,0单调递增，由对称性可知/(0)>/(g)>/(1)/(D<<(2)故选：O9.已知定义在正整数集上的函数/(X)满足条件：f(1)=2,f(2)=一2,/(h+2)=(+1)-(),则/(2008)的值为()A.2B.-2C.4D.T【解析】解：由题意，/(1)=2,f(2)=一2,/(w+2)=(w+l)-(n),:.f(3)=-4,f(4)=-2,/(+2)=/5+1)-/()，/(+3)=/(+2)-/(+1)两式相加，得/5+3)=-/()./(+6)=-f(n+3)=/(w).函数值以6为周期，周期出现.-/(2008)=/(6×334+4)=/(4)/,/(2008)=-2故选：B.二.多选题10.已知定义在R上的函数y=(x)满足条件/(x+2)=-(x),且函数)，=/。-1)为奇函数，则()A.函数y=(x)是周期函数B.函数y=/(x)的图象关于点(-1,0)对称C.函数y=f(x)为R上的偶函数D.函数y=(x)为R上的单调函数【解析】解：因为fa+2)=-f),所以/(+4)=-f(x+2)=f(X),即7=4,故A正确;因为函数y=(x-l)为奇函数，所以函数y=(x-l)图像关于原点成中心对称.将y=(x-l)的图象向左平移1个单位可得y=()的图象，则y=(x)的图象关于点(-1,0)对称，所以B正确；又函数y=(x-l)为奇函数，所以fJx-D=jf-×)=-f(x-2)=-fx+2),根据/(x+2)=-(x),有/()=f(x),即函数/(力为R上的偶函数，C正确；因为函数y=/(x-1)为奇函数，所以/(-1)=0,又函数/1)为R上的偶函数，f(1)=0,所以函数不单调，。不正确.故选：ABC.11 .函数/(x)的定义域为R,且/*+1)与f(x+2)都为奇函数，则()A.f(x)为奇函数B.7(X)为周期函数C./(x+3)为奇函数D./(x+4)为偶函数【解析】解：f(x+l)与f(x+2)都为奇函数，.(-x+D=_/(%+1)，/(-X+2)=-/(x÷2)，由可得/I-(x+1)+1=f(÷1÷1)>IqJf(-x)=f(x+2)»/.由得f(-x)=/(-X+2),所以f(x)的周期为2,.3=f(x+2),则/3为奇函数，.f(x+1)=f(x+3),则/(x+3)为奇函数，故选：ABC.12 .函数/(x)的定义域为R,且/(x)与/(x+l)都为奇函数，则()A./(x-l)为奇函数B./(幻为周期函数C./(x+3)为奇函数D./(x+2)为偶函数【解析】解：根据题意，/(x+l)都为奇函数，则/3的图象关于点(1,0)对称，则有-/(T)=/(2+x),又由F(X)为奇函数，则/(-x)=-(x),则有f(x+2)=(x),则/(%)是周期为2的周期函数，8止确，又由f(x)的图象关于点(1.O)对称，则点(-1,0)和(3,0)也是函数图象的对称中心，则函数/(x7),*+3)都是奇函数，则4、C正确；对于。，/(x+2)=(x),f(x+2)是奇函数，。错误：故选：ABC.三.填空题13 .已知定义在R上的函数F(X)满足f(x+2)=f(x),当xw-l,1时Fa)=e1"w-2,则关于函数F(X)有如下四个结论:/")为偶函数；八幻的图象关于直线x=2对称；方程/0)=1-x有两个不等实根；7<彳)其中所有正确结论的编号是一【解析】解：对于，由题意知/(x+2)=(x),所以/(万是周期为2的函数；当xJ,1时，/(x)=elw-2,f(-x)=ei-2=eii-2=f(x),所以f(x)为偶函数，正确；对于，/(x)是偶函数，对称轴是X=0,又f(x)是周期为2的函数，所以/(x)的图象关于直线=2对称，正确；对，由知f(x)是周期函数，且为偶函数，由函数)，=/(幻