抛物线的简单几何性质练习题集.docx
课时作业(十三)学业水平层次一、选择题1 .点尸(6,y)在抛物线2=2pMp>0)上，假设点P到抛物线焦点产的距离等于8,那么焦点尸到抛物线准线的距离等于()A.2B.1C.4D.8【解析】抛物线y2=2p(p>0)的准线为X=-E因为P(6,y)为抛物线上的点，所以点P到焦点尸的距离等于它到准线的距离，所以6+=8,所以p=4,即焦点F到抛物线的距离等于4,应选C.【答案】C2.(2014.成都高二检测)抛物线V=4的焦点为足点尸为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当aFPM为等边三角形时，其面积为()A.23B.4C.6D,43【解析】据题意知，JFPM为等边三角形，IPFI=IPM=田M,PM1.抛物线的准线.设从与，那么M(-l,m),等边三角形22边长为1+詈，又由7(l,0),IPM=IFM,得1+*=(1+ip+/,得m=2y,等边三角形的边长为4,其面积为45,应选D.【答案】D3.抛物线y2=2p(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，假设线段AB的中点的纵坐标为2,那么该抛物线的准线方程为()A.x=lB.x=-lC.x=2D.x=-2【解析】设A(x,y)fB(X2,y2)f代入抛物线方程得：y=2px,<yl=2px29一得，Cyi+y2)(y一")=2P(Xl-x2).又.y+y2-4,91.p2.XlX2号乙所求抛物线的准线方程为X=-1.【答案】B4 .(2014.课标II)设尸为抛物线CV=3的焦点，过尸且倾斜角为30。的直线交。于A,3两点，那么A3=()A粤B.6C.12D.73【解析】焦点厂的坐标为任，,直线AB的斜率为坐，所以V+/3直线AB的方程为丁=坐卜一胃，GCSS八、IC即'=弓"一4，代入V=3x,设Aa,y),B(X2,yi)9那么xi+%2=5,3213所以A3=X+x2+=e+=12,应选C.【答案】C二、填空题5 .抛物线y2=x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为【解析】设抛物线上点的坐标为(X,±),此点到准线的距离到顶点的距离为(+(点)2,由题意有x+=x2+(yx)2f.x=,力=±乎，此点坐标为9，÷4-【答案】土田)6 .(2014临沂高二检测)直线y=kx+2与抛物线=8x有且只有一个公共点，那么Z=.【解析】当Z=O时，直线与抛物线有唯一交点，当Z0时，联立方程消y得2x2+4(-2)x+4=0,由题意/=16(左一2)2163=0,J.k=,【答案】0或17 .(2014湖南)平面上一机器人在行进中始终保持与点尸(1,0)的距离和到直线X=-1的距离相等.假设机器人接触不到过点P(-l,0)且斜率为左的直线，那么火的取值范围是.【解析】设机器人为A(X,y)9依题意得点A在以尸(1,0)为焦点，x=-l为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y2=4x.过点P(1,0),斜率为Z的直线为y=Kr+l).Iy=4,由彳f.f得024y+4k=0.y=k-vk,当Z=O时，显然不符合题意；当k0时，依题意得/=(-4)2-4A4%vO,化简得解得女>1或k<-l,因此攵的取值范围为(-8,1)U(1,+).【答案】(-8,-1)U(1,+)三、解答题8 .假设抛物线的顶点在原点，开口向上，尸为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且IAM=屈，IAQ=3,求此抛物线的标准方程.【解】设所求抛物线的标准方程为X2=2PyS>0),设A(X0,yo),由题知VAF=3,yo+=3,VAM=11,o÷Po+2=17,S=8,代入方程=2pyo得，9 =2（3§）,解得p=2或p=4.所求抛物线的标准方程为x1=4y或X1=Sy.10 直线/经过抛物线y2=6的焦点E且与抛物线相交于4B两点.假设直线/的倾斜角为60。，求IABI的值;假设依用=9,求线段AB的中点M到准线的距离.【解】因为直线/的倾斜角为60。,所以其斜率k=tan6（）o=i又啰，。），所以直线/的方程为y=32)联H.1),+沁i殳4(x,y)fS(X2,y2),那么x+尤2=5,而A5=A7+8P=%+g+%2+=x+x2+p,所以A3=5+3=8.(2)设Aa1,y),B(X2,，由抛物线定义知AB=AF+Bf=x+x2+p=x+x2+3,所以x+x2=6,于是线段AB的中点M的横坐标是3.339又准线方程是X=一宗所以M到准线的距离为3+产会能力提升层次1.(2014湖南省长沙一中期中考试)抛物线x2=20,(p>O)的焦点为F,过尸作倾斜角为30。的直线与抛物线交于A,B两点，假设耨金(0,1),那么拨=()【解析】C.gD，2因为抛物线的焦点为,故过点尸且倾斜角为30。的直线的方程为y=卞,与抛物线方程联立得炉一芈p-p2=0,解方程得XA=一当P,XB=小P，所以段胃=TI=2，应选C.DDI入BD【答案】C2(2013大纲卷)抛物线Cy2=8x与点M(2,2),过C的焦点且斜率为上的直线与C交于A,3两点,假设M4M5=0,那么=()A.JB芈C.y2D.2【解析】由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0),那么过焦点且斜率为攵的直线的方程为y=Jt(-2),与抛物线方程联立，消去y化XlX2=4,简得Fx2一(4%2+8)x+4A2=0,设点A(X1,y)9B(X2,y2),那么加十所以y+y2=kx+x2)-4=,yy2=k2××2-2(xi+x2)+4=-16,因为MAMB=0,所以3+2)(l2+2)+32)(工-2)=0(*),将上面各个量代入(*),化简得炉-4%+4=0,所以4=2,应选D.【答案】D3 .抛物线2=2Py(P>0)的焦点为F,其准线与双曲线亍一左=1相交于4,B两点,假设AAB/为等边三角形，那么P=.【解析】由于x2=2py(p>0)的准线为尸一今，由F2，ix2-y2=3f解得准线与双曲线X2产=3的交点为【答案】64 .抛物线x=-V与过点(一1,0)且斜率为Z的直线相交于A,B两点，。为坐标原点，当AQAB的面积等于E时，求Z的值.【解】过点(一1,0)且斜率为k的直线方程为y=A(x+l),x=-y2f由方程组J一、消去X,整理得62+)1.Z=0,y=k(x+l)f设Aai,y),B(X2,y2)9由根与系数之间的关系得y1+y2=yy2=i.设直线与X轴交于点N,显然N点的坐标为(一1,0).SaOAB=SziOAArFSaOBN=IIoMIylI+ONIy2=*CWlIy1.：S&oab=+y2)2-4yy2=2J+4=W,解得女=一；或;.OO
