控制工程基础第三章参考答案.docx

第三章习题及答案3-1.假设温度计可用1min阻何万时间是多少?传递函数描述其特性，现在用温度计测量盛在容器内的水温。发现需要Ts+试问该温度计指示出实际水温从10席变化到90%所需的解：4T=lmin,T=0.25minAz(G=I-e=0.1,r1=-Tln0.9z(r2)=0.9=1-et2=-Tln0.109t=t,-t,=Tln-=2.2T=0.55minr2,0.12.已知某系统的微分方程为y”(f)+3VQ)+2='Q)+3(f),初始条件)，(0_)=1,/(0J=2,试求：系统的零输入响应*)；激励F(157M(D时,系统的零状态响应yf(t)和全响应y(t)；激励F(,)5e23'7M(D时,系统的零状态响应Ra)和全响应y(£)。1=A1+A22=A2A,解:(D算子方程为:(p÷l)(p+2)X0=(P+3)/(0.yx(t)=AeT+e-2«=>yx=4e-z-3e-2t/0_;”(p)=W一_1.=h(t)=(2e-e-"适p2+3p+2p+1P+2力(0=力*=(-2e-z+ae2r)£“)XO=y+yf=(+2e-z-1e2z)(t)yf(t)=h(t)*e-3t(t)=(e'z-e，把XO=yx+yf=(5e-J4e-2%(f)3.已知某系统的微分方程为y*Q)+3y'Q)+2y(f)=TQ)+3(f),当激励/飞"47时，系统的全响应XO=(ye-r-e2zo试求零输入响应切(E)与零状态响应.(，)、自由响应与强迫响应、暂态响应与稳态响应。解：H")=2与3C=-f-¼，h(t)=(2et-e-2t)(t),p12304=06100011231=6>02=6×12-l×10=62>03=6×12×10-6×6×3-10×l×10=512>04=33=3×512=1536>0所以，此系统是稳定的。5,试确定下图所示系统的稳定性.+3p+2P+1P+2yf(t)=fe-4r2e-2t-yd(t)=je(l-e)-e-2,(l-e-2z)k(0=(-e4f-l""÷e")£(零状态响应)623yx(O=y(t)-yf(t)=(4e-z-3e2z)f(r)(零状态响应)强迫响应:TeTz；自由响应:(e-z-e-2zXz);OJZMr)全为暂态，不含稳态响应.4.设系统特征方程为：$4+6/+12+1(19+3=0。试用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别该系统的稳定性。解：用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别,a«=1,Sa=6,a2=12,a=10,ao=3均大于零，且有61000(b)解:伍).G(三)=-105(5+1)2sX10+s(s+l)10(5+1)52(5+21)ZXS)=52(5+21)+10(5+l)=53+21?+105+1RoUihd1012111210-1八5,>021$。1系统稳定。10小Ks(s+2)10w)=l10(10.÷l)=r÷102s÷105(5+2)D(三)=S2+102s+10满足必要条件，故系统稳定。6.已知单位反馈系统的开环传递函数为G(三)5(0.01.r+0.2v+l),试求系统稳定时，参数K和J的取值关系。解：D(三)=5(0.0k2+0.2s+1)+=0D(三)=53÷20s2+1005+100Jl=O100Routh:s3s220>0I(XRSl2000J-10(R()20s°100A>OR0k由左。步表第一列系数大于O得7>O,即*<20(4>0次>0)攵<20J47 .设单位反馈系统的开环传递函数为G(三)=,要求闭环特征根的实部均小于5(1+0.25)(1+0.15)-1,求K值应取的范围。解，系统特征方程为S(1.0.2S)(I+0.k)+K=O要使系统特征根实部小于-1,可以把原虚轴向左平移一个单位，令W=S+1,即s=w-l,代入原特征方程并整理得0.02M+0.24M+0.46Vp+K-0.72=0运用劳斯判据，最后得0.72<K<6.24八2一/、8 .设系统的闭环传递函数为6(三)=,T,试求最大超调量。;9.6%、峰值时间s÷2ns÷ntp=O.2秒时的闭环传递函数的参数;和3n的值。一切解：b%=egl=9.6%=0.6*tp=0.2n71-2：n=11=i9.6radStpl-20,2l-0.62259.设单位负反馈系统的开环传递函数为Gk(三)=-S(S+6)求(I)系统的阻尼比和无阻尼自然频率n(2)系统的峰值时间tp、超调量。、调整时间r=o.02)；25解：系统闭环传递函数Gs(三)=Ns:?='?”I+八S(S+6)+25s+65+25S(S+6)与标准形式对比，可知21=6,可=25故吗=5,=0.6又wrf=Wnl-2=5×l-0.62=4二=X=O785P必4二-0.6;T%=e口×100%=×100%=9.5%44=1.3310 .阶系统结构图如下图所示。要求系统闭环增益K(I)=2,调节时间40.4s,试确定参数K,Kz的值。图3-45系统结构图解由结构图写出闭环系统传递函数1Kl.兀+KK+1KR令闭环增益K=-=2,得：K2=0.53令调节时间4=37=0.4,得：K.15oKK11 .设某高阶系统可用下列一阶微分方程：TR)+c(f)=汇；«)+«)近似描述，其中，0<(T-r)<lo试证系统的动态性能指标为：(T-T-td=0.693+In-T；tr=2.2T；ts=3÷ln(-)T,1丁1.T-解设单位阶跃输入R(三)=1.s当初始条件为0时有：%=XllR(三)Ts+1、ZS+111T-:.C(三)=75+15S75+1C(Z)=hit)=1TT%l'1)当f=%时人=0.5=1-土二iTT.%=in2+ln(一)2)求。(即CQ)从0.1到0.9所需时间)当(r)=0,9=1一eT2，7；t2=7Tln(三)-lnO.l当(r)=0.1=-e,'f;tl=Tnn(Z)-InO.909则C=Z2-r1=Hn-=2.273)求tsW)=O.95=1-e-,tits=TnnIn0.05=+In20=73+In12 .已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在右半S平面根的个数及纯虚根。(1) D(三)=d+2s4+2+452+lk+10=0(2) D(三)s5+3/+12/+24,/+32s+48=0(3) D(5)=55+2-5-2=0(4) D(三)=J5+Zv4+24/+4Kv2-255-50=0解(1)D(三)=55+2s4+2s3+4s2+11.y+10=0Routh：S5S4S3S2SS0第一列元素变号两次,122464-12e10610有2个正根。1110(2)D(三)=55+3/÷12v3+2452+32v+48=0S432448S3S2S3x12-243=432x3-48”104×24-3×16IC=1244812×16-4×48C=0120辅助方程12?+48=0,Routh：S511232S048系统没有正根。对辅助方程求解，得到系统一对虚根$1,2=±j2。(3)D(三)=SF/一$一2=0Routh：S510-1S420-2辅助方程254-2=0S380辅助方程求导81=0S2-2S6S0-2S24辅助方程求导：24S=O第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程2/-2=0可解出：2-2=2(s+1)(5-1)(5+j×s-j)D(三)=55+2s4-S2=(S+2)(S+1)(5-I)G+J)Gj)(4)D(三)=S5+2+24+48d-25s-50=0Routh：S5124-25S4248-50辅助方程2+42-50=0S3896辅助方程求导8?+965=0S224-50S338/3S0-50第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程2/+48-50=0可解出:2s4+4&v2-50=2(5+I)(S-I)(S+/5)(S-/5)D(三)=s5+2s4+24s3+482-25s-50=(s+2)(5+I)(S-1)(5+J5)(s-5)13 .已知单位反馈控制系统开环传递函数如下，试分别求出当输入信号为1(。、，和”时系统的稳态误差。G(三)10(0.k+l)(0.5s+l)G(三)=7(5+3)5(5+4)(?+25+2)解:(1)G(三)=10(0.15+1)(0.55+1)K=IOv=0D(三)=(O.1.v+1)(0.55+1)+10=0经判断系统稳定)=1A1e"1+7CTTr(r)=fr()=产e=:e.Mm1.2)“7x321K=4x28v=lD(三)=SG+4)(s2+2v+2)+7(5+3)=0经判断：系统不稳定。14 .己知单位负反馈系统的开环传递函数如下：、100GK(三)=K5(5+2)求：(D试确定系统的型次V和开环增益K；(2)试求输入为r(f)=l+3f时，系统的稳态误差。解：(1)将传递函数化成标准形式GK(三)=10050S(S+2)s(0.5s+1)可见，v=l,这是一个I型系统开环增益K=50；(2)讨论输入信号，r(f)=l+3f,即A=l,B=3误差分J-=1+勺Kv1+3+=0+0.06=0.065015 .已知单位负反馈系统的开环传递函数如下：/、2GK(三)=252(5+0.1)(5÷0.2)求：(1)试确定系统的型次V和开环增益K；(2)试求输入为"1)=5+2,+4/时，系统的稳态误差。解：(1)将传递函数化成标准形式、2100GK(三)=-5=-2s2(s+0l)(5+0.2)52(111V+1)(5S+1)可见，v=2,这是一个II型系统开环增益K=Io0；(2)讨论输入信号，*f)=5+2f+4产,即A=5,B=2,C=4误差分524+=0+0+0.04=0.04l+oo10016 .在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定，图（八）和(b)分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K值为1。（八）温度传感器若B)=I(Z),(，)=O两种系统从响应开始达到稳态温度值的63.2%各需多长时间？当有阶跃扰动Q)=0.1时，求扰动对两种系统的温度的影响。解(D对（八）系统：Gd=舟=ST时间常数T=IOMT)=O.632（八）系统达到稳态温度值的63.2%需要10个单位时间;100100105+101对（八）系统：z,(5)J01,时间常数T=1011015+1101,h(T)=0.632(b)系统达到稳态温度值的63.2%需要0.099个单位时间。(2)对（八）系统：GG)=C"=IN(三)以。=0.1时，该扰动影响将一直保持。对(b)系统：(三)="1N(三)n(t)=0.1时，1_1()5+111100105+101105+1最终扰动影响为0.1x±0.001O17 .单位反馈系统的开环传递函数G(三)=一，求单位阶跃响应以。和调节时间1.。s(s+5)解：依题，系统闭环传递函数小/、444ITl=I(J>(三)=J1d+5s+4(5+1)(5+4)(s+J_)g+J_)K=O.25TIT?C(三)=(三)R(三)=Q+5(5+1)(5+4)S5+15+44C0=IimS(三)R(三)=Iim=1°SToD(S+l)(s+4)44C.=Iim(S+1)(三)R(三)=Iim=,STTs0s(s+4)3C2=Iim(S+4)R(三)=Iim-2STYs0s(s+l)341/z()=1二+-e4t334=4,""("I=3，町=33。18.设下图（八）所示系统的单位阶跃响应如图（b）所示。试确定系统参数KyK2和。解：由系统阶跃响应曲线有（b）图3-52系统结构图及单位阶跃响应()=3=lb%=(4-3)/3=33.3%系统闭环传递函数为(三)=KK?s2+as+K1s2+2ns+l=0.1联立求解得(1)33.3%J=0.3333.28由式（1）K1=G；=1108a=2n=22另外h()=IimS(三)-=Iim.=K)=3so5s0s+s+K19 .设角速度指示随动系统结构图如卜.图所示。若要求系统单位阶跃响应无超调，且调节时间尽可能短，问开环增益K应取何值，调节时间(是多少？%)解依题意应取4=1,这时可设闭环极点为4.2=1/及。写出系统闭环传递函数、IoK(三)=-27-/+l()s+IOK闭环特征多项式zX2zXD(三)=S2+105+1OK=I5+I=S2+5+比较系数有联立求解得”=02K=2.5因此有ts=4.757；=0.95V120 .单位反馈系统的开环传递函数为：G(三)=一-。试在满足T>O,K>1的条件下,5(75+1)(25+1)确定使系统稳定的T和K的取值范围，并以T和K为坐标画出使系统稳定的参数区域图。解特征方程为：ZXS)=2方+(2+7)/+q+)s+=ORouth：S32T1+K=>>oS22+TK=>T>-2S1+K.迦2+7=4T<2+K-XS0K=K>0综合所得条件，当>l时，使系统稳定的参数取值范围如图中阴影部所示。21.温度计的传递函数为，用其测量容器内的水温，Imin才能显示出该温度的98%的数值。若11+l加热容器使水温按10oCmin的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？解法一依题意，温度计闭环传递函数(三)=Ts+由一阶系统阶跃响应特性可知："(47)=98%,因此有4T=Imin,得出T=O.25min。视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为、(三)1K=TG(三)=1-(三)Tsv=l用静态误差系数法，当Nf)=Io1时，ejs=IOT=2.5oCoK解法二依题意,系统误差定义为e(t)=r(t)-c(t)f应有,(三)=取-21，=2eR(三)R(三)75+175+1e,=IimS(三)R(三)=IimT=IOT=2.5。ev0仆+15222.系统结构图如图所示。试求局部反馈加入前、后系统的静态位置误差系数、静态速度误差系数和静态加速度误差系数。解局部反馈加入前，系统开环传递函数为G(三)=10(2s+l)52(5+l)Kn=IimG(三)=QOKv=IimSGCS)=STOKa=Hm1.G(三)=IO(，0局部反馈加入后，系统开环传递函数为1025+15(5+1)10(25+1)Cj(三)-=sI20s(s2+5+20)(5+1)Kn=IimG(三)=8P50Kv=IimSG(三)=0.5s0Kil=IimS2G(三)=OSTO23.已知单位反馈系统的开环传递函数为：GG)=7(5+1)5(5+4)(?+25+2)试分别求出当输入信号Nf)=I(。，和/时系统的稳态误差e(f)="，)一CQ)。宙*-7(s+l)JK=78解G(三)=；s(s+4)(s+2s+2)v=l由静态误差系数法Nf)=IQ)时，esi=0A2中)=1时，=-77=-=114KZ“，)=/时，ess=24.系统结构图如图3-59所示，要使系统对rQ)而言是II型的，试确定参数Ko和汇的值。K(TS+1)解G(三)=(小+)WS+1)=S+1)1 KOK(TS+1)(7>+l)(7>+l)-KoK(s+l)区s+l)区s+l)K(C+1)K。=1/Kr=+T1T2S2+(T1+T2-KiiK)s+(1-K0K)依题意应有：-%=°联立求解得<T,+T2-KqKt=0此时系统开环传递函数为C、K(71+7)s+KG(三)=TiT2S2考虑系统的稳定性，系统特征方程为D(三)=TJ2S2+K(Ti+心)S+K=O当1,t2,>o时，系统稳定。25 .大型天线伺服系统结构图如图所示，其中J=O.707,例j=15,=0.15so(D当干扰(f)=10l(f),输入Nr)=O时，为保证系统的稳态误差小于0.01°,试确定K4的取值;当系统开环工作(K1.0),且输入Nf)=O时，确定由干扰"(f)=10lQ)引起的系统响应稳态值。解(1)干扰作用下系统的误差传递函数为1.10i,IlmS=SToS=I(MQ)时，令esstl=IimSNG)"S).v0(2)此时有_CDJ.V2Cv2+2ns+i)E(三)=-C(三)=FK'7-N(三)=S(S+2ns+n)evc=e()=IimSE(三)=-Oos026 .已知控制系统结构图如图所示，试求:按不加虚线所画的顺馈控制时，系统在干扰作用下的传递函数“(三)；当干扰«)=1(f)时，系统的稳态输出；若加入虚线所画的顺馈控制时，系统在干扰作用下的传递函数，并求Q)对输出CC)稳态值影响最小的适合K值。解(1)无顺馈时，系统误差传递函数为=黑=(s+l)(s+5)+2(Y+6s+25(2) c()=Iims(三)N(三)=lim.vn(5)=STOsos5120K-7+25s+5-20K52+65+25(3)有顺馈时，系统误差传递函数为./、C(三)5+1HW=TTTT=9NG)I20(5+1)(5+5),n()=IimS“(三)N(三)=Iim511(5)-=s0s()5-20K25K=0.2527.试求图中所示系统总的稳态误差。r(Z)=I(Z)S)l«(z)=K/)解：（八）.丸=.S(0.5s+1)1l2000.5/+5+2005(0.55+1)4)E(三)s(0.5s+l)NG)1I2000.51+5+200s(0.5s+l)"<+%=sMs)RG)+IimSQen(三)N(三)=Hm$.?川).Umss(°5"D31。0.5s2+s+200ss00.552+s+200s(b).MS)=1+S(S+)252+ls(s+l)(1.(三)=j1+s(s+l)5(5+l)5i2÷5+l1.S(S+I)?11.s(s+l)152+5+l528 .设复合校正控制系统结构图如图3-65所示，其中N(三)为可量测扰动。若要求系统输出C(三)完全不受N(三)的影响，且跟踪阶跃指令的稳态误差为零，试确定前馈补偿装置GCl(三)和串联校正装置Gc2(三)0图3-65复合控制系统结构图解(1)求Gts)。令旦KKG(三)小,、C(三)n+1(5)5(75+1)c,K2s+K1-KiGcl(三)(三)="NG)1KlKiK2Gc2(三)s(Ts+1)÷/C,(Ts+1)+/C,KG.(5)JHFss(Ts÷1)GN(三)=千。(2)求G02(三)。令二.(5)-二(S+K)(公+D当"z)=1(r)作用时，令eR(三)1llKxK2Gc2ss(Ts+1)+(Tv+1)+/C1K2Gc2(三)S5(75+1)明显地，取Gc2(三)=-可以达到目的。29 .复合控制系统结构图如图所示，图中KlK2,Tp岂均为大于零的常数。确定当闭环系统稳定时，参数K,K2tT1,4应满足的条件;当输入NF)=K)，时，选择校正装置GC(三),使得系统无稳态误差。解(1)系统误差传递函数15-G(三)二卬)=s(7>+1)=$(不+D(7>+D-6。(5)(率+1)而1.iKlK25(75+l)(75+l)+C1C2s(7s+l)Ws+l)Z)(三)=+(7+q)$2+s+KlK，2列劳斯表$3T1T2152T1+T2KlK2(0.TT2因KK2、1、弓均大于零，所以只要Ti+T2>TJ2KiK2即可满足稳定条件。(2)令ess=IimS<,(三)R(三)=IimS50s0Vos(7s+D(s+1)-K2Gc(三)(7s+1)S(S+1)(75+1)+KlK2可得=Iim501KGG)12=OGC(三)=SlK230.系统结构图如图所示。为确保系统稳定，如何取K值?S(Ok+1)(02s+1)为使系统特征根全部位于S平面S=-1的左侧，K应取何值？若"f)=2f+2时，要求系统稳态误差q<0.25,K应取何值？G(三)=5。K5(5+10)(5+5)V=1(1)D(三)=?+1Sv2+5Qv+5OCRouth：11550(15-K)155OK505OKK<15K>0系统稳定范围：OVK<15(2)在O(三)中做平移变换：s=s,D(s,)=(5,-l)3+l5(-I)2+50(s'-1)+50K=5,3+l2/2+23s,+(50K-36)Routh：12312-50/C122350K-3650K-36312K<=6.2450K>-0J250满足要求的范围是：(3)由静态误差系数法0.72<K<6.242当r(r)=2r+2时，令”=一0.25KK8.综合考虑稳定性与稳态误差要求可得:8Kvl531.判断下列系统的能控性。1）由于该系统控制矩阵6=,系统矩阵A=Ab=从而系统的能控性矩阵为显然有ranktc=rank?Ab=2=n满足能控性的充要条件，所以该系统能控。2）由于该系统控制矩阵为O-1系统矩阵为OO-21O-4O1-3则有,AB=A2B=OO-2OO-2从而系统的能控性矩阵为1OO1-11UcbABA2B=01-111-7-111-7115有ranktc=3=n满足能控性的充要条件，所以该系统能控。32.判断卜列系统的能观测性。(1)(2)解系统的观测矩阵C=1系统能观性矩阵为可知JJTW1010X1x2=001X2_*3_-2-4-3X3>110I-H,-Xy%121-1.X31,系统矩阵A=1,得1.1°_r111r1CA=H110=Q1c1。1.caJ|_21Clrank(0=rank=2=n满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。系统的观测矩阵C=01-1121,系统矩阵A=OO1于是-2-4-3系统能观性矩阵为CUo=CA=CA2O1-1121244-2-3-1-8-14-8220易知-C'ranko=rankCA=3=CA2满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。33.试确定当P与q为何值时下列系统不能控,为何值时不能观测。解系统的能控性矩阵为Uc=bAb=P其行列式为detZ?Ab=p2+p-12根据判定能控性的定理，若系统能控，则系统能控性矩阵的秩为2,亦即detZ?AbO,可知p-4或PW3。系统能观测性矩阵为其行列式为.c1->det=12q-q-cA根据判定能观性的定理，若系统能观，则系统能观性矩阵的秩为2,亦即detc'#0,可知或_cAj334 .将下列状态方程化为能控标准形-1-21X=x+U34J|_1_解该状态方程的能控性矩阵为Uc=bAZ?=知它是非奇异的。求得逆矩阵有,11-87-8一一=一一1-81-8得%T犬1-81-OO7-81_-8一一3-41-4一-2从而得到P881244.由此可得,32-2-31-3-241-83-41814一一PA-1-83-4181-4一.-,O.-+-X=-X此即为该状态方程的能控标准形。35 .将下列状态方程和输出方程化为能观标准形。y=-解给定系统的能观性矩阵为"cl一11Uo=o_cA|_02知它是非奇异的。求得逆矩阵有，1-21-2-1O由此可得,1-21-2一，I一OI一J1-21-2-1O根据求变换矩阵/公式有,O11-21-220-11代入系统的状态表达式。分别得Ao=T-iAT=O-212O2=T"=1所以该状态方程的能观标准型为-2x+4-1y=o36 .系统传递函数为G(三)=C3S2CCK2/+12/+225+121)建立系统能控标准形实现。2)建立系统能观测标准形实现。1)将G(三)分子分母同时除以2,可得G(三)的首项为一的最小公分母为(三)=s3+as2+25+3=$'+6/+1k+6则,P(三)=¾is)G(三)=bls2+b2s+4=5+4由于G(三)阵的4>，可采用能控性实现为验证由以上A,B,C构成的状态空间表达式，必有C(S/A)TB=G(三),从而此为该系统的能控性实现。2)将G(三)分子分母同时除以2,可得G(三)的首项为一的最小公分母为(三)=S3+als2-a2s+a3=s3+6s2+1k÷6则，HS)=ES)G(三)=+&S+4=5+4由于G(三)阵的>9,可采用能观性实现为。=。°/晨=。U验证由以上A,B,C构成的状态空间表达式，必有C(S-/4尸3=G(三),从而此为该系统的能观性实现。iKew=Hms(三)一=Iim!=OseS-o/C,+/C1Ar2Gf2(5)